第三章 线性方程组 习题三 1.判断下列命题是否正确并说明理由. （1）用高斯消元法解线性方程组时对增广矩阵的初等变换，仅限于行及交换 两列的变换； 解 正确 （2）无论對于齐次还是非齐次的线性方程组，只要系数矩阵的秩等于未知量的 个数则方程组就有唯一解； ? 解 不正确。缺少条件r(A ) r(A ) 否则非齐次的線性方程组可能无解。 （3）n 个方程n 个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数矩 阵满秩； ? 解 正确系数矩阵满秩? r(A ) r(A ) n ?线性方程组有唯一解 （4）非齐次线性方程组有唯一解时，方程的个数必等于未知量的个数； ? 解 不正确非齐次线性方程组有唯一解时，r(A ) r(A ) 未知量的个数而方 程的个数未必等于未知量的个数，例如 ?2x ? x ?3x 3, ?2 ?1 3 3 ? 0 ? 1 2 3 ? ? ? ? （5）若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数则该方程组有非零解； 解 正确。设A X = o , n ?m, r A ?m ?n 方程组有非零解 m?n n?1 ? ? （6）三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解； 解 不正确。对于齐次線性方程组正确见（5）. 对于非齐次线性方程组不正确， ? 缺少条件r(A ) r(A ) 非齐次的线性方程组可能无解。 （7）两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩； 第三章 线性方程组 解 正确设AX = b , CX = d 同解 （无解除外），即两个线性方程组的增广矩阵 经行初等变换后得到的最简形矩阵完全楿同 （除零行个数可能不同外这是因为两个 方程组的方程个数可能不同，但未知量个数必相同）故最简形中系数矩阵、增广矩 阵均相哃的秩，即两个方程组的系数矩阵A ,C 及其增广矩阵都有相同的秩 （8）两个皆为三个方程四个未知量的方程组，若它们的系数矩阵有相同的秩 则两个方程组同解. 解 不正确。它们的系数矩阵有相同的秩对于非齐次线性方程组来说，增广矩 阵的秩未必相同若增广矩阵的秩不楿同，则至少有一个非齐次线性方程组无解 即使系数矩阵、增广矩阵的秩相同，但最简形未必相同此时也不同解。 3.讨论p 取何值时下述非齐次线性方程组无解，有唯一解有无