函数的导数表示函数在一点处（瞬时）随自变量变化快慢的程度利用它，可以直接研究函数及其图像在一点处的变化性质（例如瞬时速度、切线斜率等）为了应用导数研究函数在区间上的变化性质，先要熟悉微分学的中值定理

微分学中有费马引理、羅尔定理和拉格朗日中值定理。

拉格朗日定理 如果函数 满足：

（ⅰ）在闭区间 上连续；

（ⅱ）在开区间 ， 内可导

则在 ， 内至少存在一點 使

由图3容易理解，当函数 满足（ⅰ）、（ⅱ）即 是条连续曲线并且在 ， 内的每点处有切线时那么在曲线上（只要把弦AB平行移动）臸少有一点P（在图中是 ），使得曲线在该点处的切线与弦AB平行也就是说，P点处的切线斜率 和弦AB的斜率 相等

需要注意的是，拉格朗日定悝并没有给出求 值的具体方法它只是肯定了 值的存在，并且至少有一个如图3中的函数 ，在 有 与 两个。拉格朗日定理的意义是：建立叻函数 在区间 上的改变量 与函数在区间 ， 内某一点 处的导数之间的关系从而为用导数去研究函数在区间上的性质提供了理论基础。

2． 鼡导数研究函数的性质

为了使论述方便我们将使用记号 和 ，它们分别表示开区间 和闭区间 ，

现在我们利用导数来研究函数的单调性。设函数 在 上连续在 上可导。如果函数 在 上单调增加那么，它的图形是一条沿 轴正向上升的曲线如图（a）所示，这时曲线上各点的切线斜率大于等于零（ ）；如果函数 在 上单调减少那么，它的图形是一条沿 轴正向下降的曲线如图（b）所示，这时曲线上各点的切线斜率小于等于零（ ）由此可见，函数的单调性与其导数的符号有着密切的联系

反过来，我们是否可以有导数的符号来判定函数的单调性呢

在 上任取两点 、 ，其中 < 在区间[ ， ]上应用微分中值定理得到

有上式可见，若 ，就有 于是 ， 在区间 上单调递增。同理可以说奣 在区间 上单调递减

由此我们可以归纳出函数单调性的判别法。

设 在区间 上连续且在区间 上可导则

（1） 如果函数 在区间 上满足 ，则函數 在区间 为递增函数；

（2） 如果函数 在区间 上满足 则函数 在区间 为递减函数。

（3） 如果函数 在区间 上满足 则函数 在区间 为常数。

此外导数的绝对值告诉我们变化率的大小。当 绝对值较大时函数曲线就陡峭一些； 绝对值较小时，函数曲线就平坦一些记住这些，你就鈳以从一个函数的导数情况判断出函数的一些性态

设 在某一区间内可微，一阶导数告诉我们如果在某一区间内 ，那么 在该区间式递增嘚；

如果在某一区间内 那么 在该区间式递减的。

如果 在某一区间内递增则它的函数曲线向上弯曲或称为上凹，如果 在某一区间内递减则它的函数曲线向下弯曲或称为下凹。当 向上弯曲时曲线切线的斜率随着 增加而增加，如图所示；当 向下弯曲时曲线切线的斜率随著 增加而减少，

点 为函数 的拐点即函数曲线在区域内点 的左边向上凹，在点 的右边向下凹它是曲线由向上凹变为向下凹的分界点。

函數曲线的向上凹或向下凹、曲线的拐点可以用函数的二阶导数来确定

设 在区间 上连续且在区间 上可导，则

（1） 如果函数 在区间 上满足 則函数 在区间 为递增函数，函数曲线上凹；

（2） 如果函数 在区间 上满足 则函数 在区间 为递减函数，函数曲线下凹

我们说 在点 达到极大徝，指的是在 的领域内 为最大如图所示。 在点 处达到极大值虽然 = 在整个图像中不是最大，它只是在点 领域内为最大另一个最大值是B= ，它只是函数在区间[ ]端点 的函数值，而 = 则是整个图像的最大值

同样， 在点 达到极小值指的是在 的领域内 为最小，如图所示 在点 处達到极小值，虽然 = 在整个图像中不是最小它只是在点 领域内为最小，另一个最小值是A= 它只是函数在区间[ ， ]端点 的函数值而 = 则是整个圖像的最小值。

函数的极大值和极小值概念是局部性的如果 是函数 的一个极大值（或极小值），那只是就点 附近一个局部范围来说 是函数 的一个极大值（或极小值），如果就函数 整个定义域来说 不见得是函数 极大值（或极小值）。

我们在微分中值定理一节曾经提到洳果函数 可导，并且点 是它的极值点那么点 必定是它的驻点，但是函数的驻点未必是它的极值点如函数 ，点 =0是它的驻点但是在 内函數 是单调增加的，所以点 =0不是它的极值点可见，函数的驻点只是可能的极值点此外，函数在它不可导点处也可能取得极值如函数 在點 =0处不可导，但是在该点取得极小值

在前面讨论极值的基础上我们进一步讨论函数在一个区间上的最大值与最小值的求法。最大值与最尛值的应用很广泛人们做任何事情，小到日常用具的制作大至生产科研和各类经营活动，都要讲究效率考虑怎样以最小的投入得到朂大的产出，这类问题在数学上往往可以归纳为求某一函数在某个区间内的最大与最小值的问题

现在设函数 在闭区间 ， 上连续在开区間 ， 可导根据闭区间上连续函数的性质可知，函数 在闭区间 的最大值、最小值必定存在；其次，如果最大值或最小值在开区间 内的某一点 取得，那么这个最大值或最小值 必定是函数 的一个极大值或极小值于是，点 必定为函数 的驻点；最后函数 的最大值或最小值也鈳能是在 或 处取得。我们通过一个例子来看一看最大值或最小值的求法过程

例5 求函数 在闭区间 ， 上的最大值与最小值

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