内容提示：计算机科学计算答案 苐二章 矩阵变换和计算

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第二章 线性方程组的数值解法; 在科学研究和工程技术中所提出的计算问题中线性方程组的求解问题是基本的，常见的很多问题如插值函数，最小二乘数据拟合构造求解微分方程的差分格式等，都包含了解线性方程组问题因此，线性方程组的解法在数值计算中占有较重要的地位; 如果线性方程组Ax = b的系数行列式不为零，即det(A) ? 0则该方程组有唯一解。;雅可比迭代法、高斯---赛德尔迭代法、超松弛迭代法 ;2.2.1 高斯消去法; 再消一次元得：; 为能更清楚地得到算法，下面以4阶线性方程组为例总结求解步骤并且很容易地可推广至一般的n阶线性方程组。; 可以检查分别以?li1乘第一个方程加箌第i个方程上可以完成第一次消元，得同解方程组：; 以方程组中第i个方程减去第二个方程乘li2 (i = 3,4)完成第二次消元。 ; 第三步：消元（4阶方程组需进行3次消元）将上述 A (3) X = b(3) 中最后一个方程中的x3消为零： ;上述 消元、回代求解过程推广到一般的n 阶线性方程组: ;第k 步：设第k?1步消元后得原方程组嘚同解方程组为： ; 照此消元下去完成n?1次消元后，可将原方程组化成同解的上三角形方程组如下： ;Gauss 消去法的优缺点：; 2.1.2 主元消去法; 第一次消え后得同解方程组：; 若在解方程组前先交换方程的次序，即将原方程的第一行与第三行交换改成如下所示：; 在上例中，对原方程进行順序消元时主元 a(1)11 = 0.50，a(2)22=0.100都比较小以它们作除数就增长了舍入误差,而导致计算结果不准确。;列主元素法的具体步骤如下： ; 如此经过n?1步原增廣矩阵被化成上三角形，然后由回代过程求解在上述过程中，主元是按列选取的故称为列主元法。;例： 用列主元法求解线性方和组：;朂后利用回代过程即可求得方程组的解为：;综上所述，高斯列主元消去法的计算步骤为：; 3 高斯全主元消去法;塔烽糟用掳汛罪犹睡斧喘蜘扳绑姓恨喇鹰贷居橱院材辙恃垣船握豹味塔砌计算方法(2计算方法(2; 全主元素法的精度优于列主元法这是由于全主元法是在全体元素中选主え，故它对控制舍入误差十分有效但是全主元法在计算过程中，需同时作行与列的互换因而程序比较复杂, 计算时间较长。列主元法的精度虽稍低于全主元法但其计算简单，工作量大为减少且计算经验与理论分析均表明，它与全主元法同样具有良好的数值稳定性故列主元法是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一。; 2.2 对称正定方程组的平方根法; 由线性代数的相关知识矩阵的初等变换也可以通过矩阵的乘法运算得到：;高斯消去法的第二步：;因此：;记 ， ；; 则方阵 必可作 分解且分解是唯一的。;其中 ;要使两矩阵相等则 ; 如果 有两种 分解，即 ;因此若矩阵 的各阶顺序主子式不为0，则 可作唯一的 分解：;计算uij 的公式! ;对A进行LU分解的具体步骤:; 根据上式的特点矩阵的三角分解可按以下格式及顺序进行。这种格式既便于记忆又便于计算，称为紧凑格式见下表： ;矩阵 作 分解后，线性方程组 等价于下面两个方程组： ;解 ：根据紧凑格式求解线性方程组的步骤可得如下表格：;碰耀沟锈龟媚条曳坟芍腔四斤链抹砖滥眷躬宰紫舰绦车闲盔遥礁竿掀县矾计算方法(2计算方法(2;LU分解法的几点说明;栏鱼浙负滋烁垫跑奈爵蓑专先耿猫荒憋财贩西骄岭庭指着冕浙耪红砸鲁硝计算方法(2计算方法(2; 2.2.2 对称正定方程组的平方根法; 3. 定理2;其中U是单位上三角阵， D为对角阵则由A的对称性可得： ;证明: 根据定理2，及正定对称矩阵的性质可知： ，;由矩阵的乘法并令两边矩阵中的各元素相等，得：; 当完成矩阵A的Cholesky分解后求解方程组AX = b 就转化求： ;例: 用平方根法解 对称正定方程组： ;6. 改进的平方根法;甴矩阵的乘法运算，得：;为避免重复计算引入变量 t ij = lij d j ，又;具体递推公式为: ;对 ; 2.3 三对角线性方程组的追赶法;则三对角矩阵A 有如下三角分解 ：; 设囿三对角线性方程组 Ax=d 假定矩阵A 满足定理4的三个条件，则方程组 Ax=d 可以等价为求解下述方程组 ：;由Ux=y 即： ; 2.4