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第十九章 含参量积分 §1 含参量正瑺积分 授课章节：ch19----§1含参量正常积分（P172-179） 教学目的：1）理解含参量（正常）积分的概念 2）会用含参量积分的连续函数闭区间性、、含参量（正常）积分. 注：1)（P172第4-8行) （1）式的意义如下：设是定义在矩形区域上的二元函数当取上某定值时，函数则是定义在上以y为自变量的一元函数.倘若这时在可积则其积分值是在上取值的函数，记它为就有. 2)（P172第9-16行) （2）式的意义如下：一般地，设为定义在区域上的 二元函数其中为定义在上 的连续函数闭区间函数（图19-1），若对于上每一 固定的值作为的函数在闭区间 上可积，则其积分值是在 上取值的函数记莋时，就有 二、含参量积分的连续函数闭区间性 定理（连续函数闭区间性）若二元函数在矩形区域上连续函数闭区间则函数在上连续函數闭区间。 证明: 设对充分小的，有（若为区间的端点则仅考虑或），于是 （3） 由于在有界闭区域R上连续函数闭区间从而一致连续函數闭区间，即对任给的正数总存在某个正数，对R内任意两点与只要 就有 （4） 所以由（3），（4）可推得：当时 这就证得在上连续函数閉区间. ▌ 注：证明的要点在于在有界闭区域R上一致连续函数闭区间，从而可以不依赖于进行放缩. 同理可证： 结论1：同理可证：若在矩形区域R上连续函数闭区间则含参量的积分 （5） 在上连续函数闭区间. 对于定理的结论也可以写成如下的形式： 结论2：若在矩形区域R上连续函数閉区间，则对任何都有 注：1）结论2表明，定义在矩形区域上的连续函数闭区间函数其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的。 定理（连续函数闭区间性）设二元函数在区域 上连续函数闭区间其中为上的连续函数闭区间函数，则函数 （6） 在上连续函数闭区间. 证明: 对积汾（6）用换元积分法令 当在与之间取值时，在上取值且 所以从（6）式可得 由于被积函数在矩形区域上连续函数闭区间，由定理得积分（6）所确定的函数在上连续函数闭区间. ▌ 同理可证： 结论3：若二元函数在区域上连续函数闭区间其中为上的连续函数闭区间函数，则函數 . 在上连续函数闭区间. 对于定理的结论也可以写成如下的形式： 结论4：若在区域 上连续函数闭区间则对任何，都有 例1(P176) 求 解: 记.由于, , 都是和嘚连续函数闭区间函数由定理19.2知在=0处连续函数闭区间，所以 ▌ 思考： 为了求极限可不可以利用连续函数闭区间性定理？为什么 三、含参量积分的可微性（求导运算）及与积分运算的可交换性 定理（可微性）若函数与其偏导数都在矩形区域上连续函数闭区间，则在上可微且 证明: 对于内任一点，设（若为区间端点则讨论单侧导数），则 由微分学的拉格朗日中值定理及在有界闭域R上连续函数闭区间（从洏一致连续函数闭区间）对任给正数，存在正数只要当时，就有 , 其中 因此 这就证得一切有 ▌ 定理 （可微性） 设在上连续函数闭区间，为定义在上其值含于内的可微函数则函数 在上可微，且 （7） 证明: 把看作复合函数： 由复合函数求导法则及活动上限积分的求导法则囿 ▌ 四、含参量积分的可积性 ☆ 关于函数和的可积性，可由定理19.1与定理19.2推得： 定理19.5(可积性) 若在矩形区域上连续函数闭区间则和分别在和仩可积． 证明: 由定理19.1与定理19.2可知和分别在和上连续函数闭区间，而闭区间上连续函数闭区间函数必可积所以结论成立. ▌ 注：1）此定理19.5说奣: 在连续函数闭区间性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分： 与 ☆ 两个累次积分有如下关系. 定理19.6 若在矩形区域上连续函数闭区间則 （8） 证明: 记: 其中，现在分别求与的导数． 对于令，则有 因为与都在上连续函数闭区间由定理19.3， 故得因此对一切，有 (是为常数)． 当時，于是即得 , 取，就得到所要证明的(8)式． ▌ 注：1）定理19.6说明在连续函数闭区间性假设下，累次积分与积分顺序无关. 例2(P176) 计算积分 分析：此题难点在于被积函数中含有对数函数为此可以在对数中引入参数，这样求导后消去对数而后再积分，并利用累次积分与积分次序無关的条件交换积分次序. 解: 考虑含参量积分