本来要拿着《数学手册》一个字┅个地录入的符号实在麻烦，到网上一搜哇塞！和我要输入的一模一样，所以就粘贴过来了（不好意思）

定义中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使

m║x║α≤║x║β≤M║x║

可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得

3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║

4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║

则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数.

注意, 矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量

序列收敛的概念與性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩

阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:

║Ax║≤║A║║x║

所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的.

定理3. 设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则

是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范數或算子范数,它们具有相容性

单位矩阵的算子范数为1

可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义:

常用的三种向量范数诱导絀的矩阵范数是

此外还有Frobenius范数: .它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数.

谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下關系:

相容性和齐次性就导出结果.

定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)

以下这个地方讲得更为详细，因为它的公式是图片格式無法粘贴，自己去看吧