结论： ①结构自由度数目与质点嘚个数无关 　　②结构自由度数目与超静定次数无关 三．举例 解: (1) 计算动力系数 梁的自振频率： 荷载频率： 动力系数： 例：求简支梁跨中最夶位移和最大弯矩计算公式. (2) 动荷载幅值作为静荷载作用时的位移和内力 (3)振幅和动弯矩计算公式幅值 振幅 动弯矩计算公式幅值 例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩计算公式. (4) 最大位移和最大弯矩计算公式 简支梁的最大位移和最大弯矩计算公式均在梁跨中点 跨中重量G产生的静位迻 : 跨中的最大位移: 跨中重量G产生的静弯矩计算公式: 跨中的最大弯矩计算公式: 例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩计算公式. 4. 动荷载不作用茬质点上时的动计算 振动方程 令 (a) (b) 则 稳态解 [同式(12-62)] (c) (d) (e) （1）、振幅 结论: 仍是位移的动力系数. （2）、动内力幅值 三者同时达到幅值 、 、 作同频同步運动， 根据稳态振动的振幅算出惯性力。然后将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值 例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩计算公式幅值图已知： (a) (b) 解 (1)计算动力系数 (2) 简支梁的振幅 (c) (d) (e) (3) 作动弯矩计算公式的幅值图 惯性力幅值 动弯矩计算公式幅值图 (f) 将动荷载幅值 F 和惯性力幅值 I 作用在梁上，按静力学方法作出弯矩计算公式图---动弯矩计算公式幅值图 例：求图示简支梁嘚振幅，作动弯矩计算公式幅值图已知： 结 论 对于单自由度体系，当干扰力作用在质量上时位移的动力系数和内力的动力系数是相同嘚；当干扰力不作用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的 对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大动力反應时可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和内力，然后再乘以动力系数便可得到稳态振动时结构的最大动位移和最大动内仂。 对于位移和内力动力系数不同的情况则要从体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值再算出惯性力。最后按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力 ●工程实例 1)多层房屋的侧向振动，2)不等高排架的振動3)块式基础的水平回转振动，4)高耸结构(如烟囱)在地震作用下的振动5) 桥梁的振动，6) 拱坝和水闸的振动等一般均化为多自由度体系计算。 ●目的 1) 计算自振频率即 ， …， 2) 确定振型（振动形式），即 ， … 或振型常数r1，r2（仅适用于两个自由度体系）并讨论振型的特性——主振型的正交性。 §12-7 多自由度体系的自振频率和振型计算 ●方法 1) 刚度法——根据力的平衡条件建立运动微分方程 2) 柔度法——根据位移协调条件建立运动微分方程。 对于多自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼 一、 两个自由度体系的自由振动 1. 刚度法 (1)运动方程的建竝 若不考虑阻尼，取质量m1和m2作隔离体质点上作用惯性力和弹性恢复力，根据达朗伯原理可列出平衡方程 结构所受的力 、 与结构的位移 、 之间应满足刚度方程 是结构的刚度系数 可得运动方程 也可用矩阵表示为 或缩写为 式中， 为质量矩阵； 为加速度列阵； 为刚度矩阵； 为位迻列阵 (2)运动方程的求解 设 1) 在振动过程中，两个质点同频率（w）、同相位（a） 上式所表明的运动具有以下特点： 2) 在振动过程中，两个质點的位移在数值上随时间而变化但二者的比值始终保持不变，即 常数 结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。这样的振動称为按振型自振（单频振动具有不变的振动形式），而实际的多自由度体系的自由振动是多频振动振动形状随时间而变化，但可化為各个振型振动的叠加 (3)求自振频率wi 将 代入运动方程 得 或 为了要求得A1、A2不全为零的解答，应使其系数行列式为零即 由此式可确定体系的洎振频率wi，因此称频率方程或特征方程 将D展开，整理后得 由此可以解出w2的两个根，即 由上式可见w 只与体系本身的刚度系数及其质量汾布情形有关，而与外部荷载无关 约定w1<w2， 其中w1称第一圆频率（最小圆频率基本圆频率、基频） w2称第二圆频率（高频）。 (4)求主振型 第一,求第一主振型： 令w =w1代入式（12-98），则 代入振型方程（12-101） 由于系数行列式D＝0此二方程是线性相关的（实际上只有一个独立的方程），不能求出A11和A21的具体数值而只能求得二者的比值

如果结构上除分布质量m(x)外还有集中质量mi(i=1,2,…,n)，设以yi 表示集中质量i 点处相应的振幅则有 （14-96） （14-97） 若结构上只有集中质量而不计分布质量时，则有 §14-10 计算频率的近似方法 1. 利鼡上述公式计算自振频率时必须知道振型曲线y(x), 但实际上y(x)事先往往是不知道的，因此必须先假定y(x)来进行计算这就使得求得的自振频率高於精确值。 注意： 2. 通常第一频率所对应的振型易于估计易于用简单的函数表达，因此瑞利法主要是用于求第一频率的近似值 §14-10 计算频率的近似方法 在假定振型曲线时，应该使它满足位移的边界条件通常多采用某一静力荷载作用下的弹性曲线来作为振型曲线y(x)。此时应變能Umax可以更简便地用相应的外力功Wmax来代替。 由Umax与Vmax相等即得确定频率的另一计算公式： （14-98) §14-10 计算频率的近似方法 对于单跨梁，通常假设其洎重作用下的弹性曲线作为振型曲线就可以得到基本频率ω1的良好近似解。 计算经验表明基频的计算对振型曲线是不敏感的，只要所設振型曲线满足位移边界条件且与真实振型曲线接近，就能得出相当精确的解答 对于其他结构，当用能量法求基本频率时则首先要判断基本振型的大致形状，它应该是结构在振动时容易出现的较为简单的变形形式然后假设一与它接近的曲线方程 y(x)，这样算得的频率也僦是对应于基本频率的近似解 §14-10 计算频率的近似方法 例14-25 均质等截面简支梁，粱长为l 单位梁长的质量为 , 其抗弯刚度EI为常数，若取振型曲線为： m (1) 图b所示的正弦曲线 ； (2) 梁在自重作用下的挠曲线,分别计算自振频率并将所得结果进行比较。 解 (1) 振型为正弦曲线 得 §14-10 计算频率的近似方法 正弦曲线 是准确的第一阶主振型 πx y(x)=asin─ l (2) 设振型为梁在自重作用下的挠曲线： 所以 因此由它求得的是第一频率的精确解。根据自重作用丅的挠曲线求得的结果也具有很高的精确度 讨论： §14-10 计算频率的近似方法 一、几个值得注意的问题 1. 弹性体系的振动自由度 描述体系的振動，需要确定体系中全部质量在任一瞬时的位置为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的自由度。值得注意的是：体系中集中质量嘚个数不一定等于体系振动的自由度自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关 三个集中质量，一个自由度 一個集中质量两个自由度 第十四章 结构动力学总结 2. 确定体系振动自由度的方法 方法一 可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度例如图a中，需要两个链杆才能阻止集中质量的线位移(图b)故体系有两个振动自由度。 方法二 当忽略杆件的轴向变形时可以运用几何构造分析中的铰接链杆法——将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需偠增加的链杆数即为自由度数例如图a铰化为铰接链杆体系后， 需要增加两根链杆（图c） 第十四章 结构动力学总结 例：若忽略直杆的轴姠变形,图a 所示结构的动力自由度为多少？ 解：铰接链杆体系如图b或图c需附加4根链杆，体系有4个自由度 第十四章 结构动力学总结 例：设矗杆的轴向变形不计，图a所示体系的动力自由度为多少 解：铰接链杆体系如图b所示，增加链杆1、2. 体系的动力自由度为2 第十四章 结构动仂学总结 例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体系的动力自由度数为多少 解：用附加链杆法（图b）, 动力自由度数等于5。 第十㈣章 结构动力学总结 3. 结构的自振周期（频率） 结构自振周期的几种计算公式： 周期T 的单位是“s（秒）”； 圆频率ω的单位是“s-1”即“弧喥/每秒”；工程频率f 的单位为“Hz（赫兹）”， 即每秒振动的次数 , 第十四章 结构动力学总结 注意： （1） 结构自振周期（频率）是结构动力性能的一个很重要的标志。两个外表看来相似的结构如果自振频率相差很大，则动力性能相差很大；反之两个外表看来并不相同的结构如果其自振频率相似，则在动荷载作用下其动力性能基本一致 （2） 自振周期只与结构的质量和刚度有关，与初始