第1.2节 行列式的性质

主要内容: 一、荇列式的性质 二、行列式的计算 三、思考与练习

性质1：行列式与它的转置行列式相等.

说明 : 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式

的性質凡是对行成立的对列也同样成立.

推论：行列式可按列展开也可按行展开．

性质2：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以

一数 k ，等於用数 k 乘此行列式.

推论: 如果行列式的某一行（列）的元素皆为零则 此行列式的值为零.

性质３: 交换行列式两行（列）元素的位置行列式 变號. 证明: 提示：应用数学归纳法. 推论1: 如果行列式有两行（列）完 全相同，则 此行列式为零. 证明: 互换相同的两行有 D ? ? D,

推论２: 行列式任一行（列）的所以元素与另一行 (列)

对应元素的代数余子式之乘积的和等于零. 推论3: 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此 行列式为零． Proof:

定理1.2: 阶荇列式D 的任意一行（列）的元素与其对应

的代数余子式乘积之和等于D ；某一行（列）

的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子

利用行列式按行按列展开定理并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式

性质４: 若行列式的某一列（行）的元素都是兩数之和.

则D等于下列两个行列式之和：

性质５: 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一

数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列 式不變．

解法1：直接用定理1.2按第一行展开

利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角 形行列式从而算得行列式的值．
例4: 计算n 阶行列式
(1)若n阶行列式D=0，则D有两行元素相同. (2)若n阶行列式D有一行元素为零则D=0. (错 ) (对 )

(3)若二阶行列式D=0，则D的两行元素对应成比例． (对 ) (4)若一个n阶行列式D中為零的元素超过

}

}