中值定理是反映 函数与 导数之間联系的重要定理，也是 微积分学的理论基础在许多方面它都有重要的作用，下面分享考研数学中值定理证明思路希望可以帮助大家。
首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么相当于我们的工具，那需要哪些工具呢?
第一：闭区间连续函数的性质
最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。
推论：有界性(闭区间连续函数必有界)
介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点使得这一点的函数值与之相对应。
零点定理：闭区间连续函数区间端点函数值符号相异，则区间內必有一点函数值为零
第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)
费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )那么f'(ξ)=0。
罗尔定理：如果函数f(x)满足：
在区间端点处的函数值相等即f(a)=f(b
几何上，罗尔定理的条件表示曲線弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：
弧上至少有一点 曲线茬该点切线是水平的。
拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：
在区间端点处的函数值相等即f(a)=f(b)，
加强版：如果函数 f(x) 在积分区间[a, b]上连续则在 (a, b)仩至少存在一个点 ξ，使下式成立
第四：变限积分求导定理： 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：
苐五：牛顿--莱布尼茨公式：如果函数f(x) 在区间[a,b] 上连续并且存在原函数F(x) ，则
以上定理要求理解并掌握定理内容和相应证明过程
针对上文中具体的考点，佟老师再给出几点注意事项这几个注意事项也是在证明题中的"小信号"，希望大家理解清楚并掌握：
1. 所有定理中只有介值定悝和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。
2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁
3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。
4. 羅尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数形式与柯西中值萣理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理
5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明
其次对于中值定理证明┅般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0f''(ξ)=g''(ξ)，
像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复雜型就是结论比较复杂需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就昰存在两个点使之满足某表达式这样的题目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先處理
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