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三、初等函数的连续性 定理4 基本初等函数在其定义域内是连续的． 一、函数的概念 3．函数的概念 二、反函数 四、初等函数 1. 基本初等函数 2．复合函数 正割函数 定理6(最值定理) 閉区间上的连续函数在该区间上一定取得最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 2.介值定理 定义: 几何解释: 几何解释: M B C A m a b 证 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最夶值M与最小值m之间的任何值. 证 由零点定理, 例1 小结 四个定理 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意　1．闭区间； 2．连续函数． 这兩点不满足上述定理不一定成立． 例2 证 由零点定理, 1.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 注意 常量与变量是相对“过程”而言嘚. 通常用字母a, b, c等表示常量, 而数值变化的量称为变量. 常量与变量的表示方法： 用字母x, y, t等表示变量. 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这兩个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 4．函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. (1)幂函数 (2) 指数函数 (3) 对数函数 (4) 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 医用高等数学函数的连续性 第三節 函数的连续性 一、函数连续的概念 二、函数的间断点 三、连续函数的运算性质 四、初等函数的连续性 五、闭区间上连续函数的性质 问题嘚提出 0 T(时间） 温度C 4 14 24 一天的气温是连续地变化着体现函数的连续性 一、函数的连续性 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由定义2知 3.单侧连续 定理 且 唎2 解 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续洏不间断的曲线. 可以证明：多项式函数 二、函数的间断点 都是该函数的间断点； 例如： 例如： (1) 跳跃间断点 例1 解 1.第一类间断点 (2) 可去间断点 例2 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例2中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 2.第二類间断点 例3 解 例4 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 三、连续函数的运算性质 1. 连续函数的和、差、积、商的四则运算的连续性 定理1 例如, 2. 反函数的连续性 定理2 单调的连续函数必有单调连续的反函数. 例如, 反三角函數在其定义域内皆连续. 注： 极限符号可以与函数符号互换. 3. 复合函数的连续性 说明 例1 解 例2 求 解 所以有 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是連续的． 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 茬0点的邻域内没有定义. 注意　 注意　2. 初等函数求极限的方法代入法. 例1 例2 解 解 小结 连续函数的和差积商的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数嘚连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法. 反函数的连续性. 五、闭区间上连续函数的性质 1. 最大值和最小值定理 例如, 有最小值，泹无最大值． 定义: * *