浅谈高数中求解函数极限的方法

　　关键词： 高等数学 函数极限 求解联盟
　　中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：（2011）32-0239-01
　　1函数极限的相关概念及性质
　　函数的极限與数列的极限比较类似可以考虑自变量x→+∞时，f（x）所呈现出的变化趋势；也可以考虑当自变量x→a时f（x）所呈现出的变化趋势。不过與数列的极限相比而言函数的极限复杂程度比较高，其根本原因就是由于自变量性质的变化呈现出多样性不过通过分析可以发现，这種复杂性很多时候体现在对极限期定义叙述有所不同等方面而在其它方面，例如极限的性质、运算以及相关的证明方法等都与数列的极限极为相似在理解函数的极限概念时，主要有以下两个定义：
　　第一设f是定义在[a，+∞）的函数其中A为实数，在任给的ε>0的条件下有正数Ｍ（≥a）存在，如果x>M则有| f（x）A| <ε，此时就可以认为在x→+∞A就是函数f的极限，其表达式为：f（x）→A（x→+∞）第二，假设f（x）函數是在点x0的某个空心邻域U0（x0；δ′）中有定义，此时A为定数，如果对于任给的ε>0δ（<δ′）>0，使得当0<| x-x0 |<δ时则| f（x）-A |<ε，则当x趋于x0时可以稱函数f以A为极限，或者也可以称作A是x→x0时f（x）的极限其可以记为f（x）→A（x→x0）。由上述两个概念的分析过程就可以出函数极限的思想及性质如果要利用函数极限进行解题，就要对函数极限各种性质进行熟练的掌握而函数极限的性质可以为以下几点：第一，函数极限有局部有界性即如果f（x）→A（x→x0），则在x0的某个去心邻域内f（x）有界；第二函数极限表现出显著的唯一性，即当x→x0时存在f（x）极限，則这个极限是独一无二的；第三函数极限表现出局部保号性，即如果f（x）→A（x→x0）并且A>0或者<0，则对于任何正数rr>0或者f（x）<-r<0；第四函数極限表现出相应的迫敛性，即当函数g（x）≤f（x）≤h（x）以及limg（x）=Alimh（x）=A两个条件同时具备时，则imf（x）存在并且等于A
　　2求解函数极限的方法
　　在求极限的过程中，利用一些运算方法与技巧以相关的概念、定理和公式为依据进行快速求解。下面我们来看几种求解函数极限的方法
利用极限的描述性定义我们可以将极限的描述性进行如下定义：如果自变量的绝对值|x|无限增大，则函数值f（x）也会相应与常数A無限的接近此时就可以称当x趋向无穷时函数f（x）以A为极限；或者f（x）收敛至A，可以记为A或f（x）→A（x→∞）通过上述描述性说明就可以進行函数极限的估算，而且方法非常简单六种基本初等函数的极限都可以按照描述性定义，与图像相结合后方便的得出不过对于六类基本的初等函数极限需要牢固的掌握，这也是求解复杂函数极限的基础理论但是一些极限的定义容易被混淆，在实际应用的过程中要特別注意
　　2.2 运用两个重要极限求函数极限
　　①重要极限一。■中sinx和x是两个类型完全不同的函数，但是却可以通过该极限促使三角函數和一次函数之间建立起关系二者之间的比值得以实现。而且该极限的应用范围非常广泛在解决一些实际问题时非常有效。例如下题：
　　解：■■=■■=■■
　　 =■■=lim2*■■■■■=■
　　某些三角函数相关的极限可以利用该极限方便的求出比如：
　　lim■，或者lim■等等通过该重要极限均可将这些函数的极限方便、快捷的求出。
　　②重要极限二■1+■■=e
　　求lim1+■■，这其中a和b均为常数
　　在该重要极限中，x趋近无穷而x1趋近于0，该条件与上个重要极限一样要同时满足上述条件才能使用。不过如果使得x=■因为x→∞，因此y→0则该重偠极限可以进行如下代换：
　　■（1+y）■，则可进一步得出重要极限的另外一种形式因此该极限能够扩充为两个极限，为：■1+■■=e以忣lim（1+x）■。在运用该极限时必须注意的是要看x所趋近的是0还是∞如果x→∞，括号内一定要是■其指数为x；如果x→0，则括号内为x指数為■，这些在应用时必须注意相对应不可混淆，如果有一项无法匹配该重要极限就不能用。
　　此外还有四则运算法则等方法，不過因为四则运算方法是最基础的方法之一它与结构良性知识比较接近，在实际的应用过程中只需掌握相关四则运算法则就能够将法则矗接套用进去最终求解，因此此处不做赘述总之，高等数学中极限的地位非常突出而在数列极限与函数极限中，函数极限的作用尤其突出
　　[1]罗伟.探讨求函数极限的三种常用方法[J].数学学习与研究，2011（1）.
　　[2]扶炜刘松.常见的函数极限求法分析[J].时空，2010（4）.
　　[3]张锐.函数極限求解方法归纳[J].周刊2011（5）.

求极限的各种方法1．约去零因子求极限．约去零因子求极限例例 1：求极限11lim41???xxx【说明】表明无限接近但，所以这一零因子可以约去1?x1与x1?x1?x【解】=46) 1)(1(lim1) 1)(1)(1(lim2121??????????xxxxxxxx2．分子分母同除求极限．分子分母同除求极限例例 1 LL3．分子．分子(母母)有理化求极限有理化求极限例例 3：求极限)13(lim22??? ???xx x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式【解】 13)13)(13(lim)13(lim ????????????? ??????xxxxxxxx xx0 132lim 22? ???? ???xxx例例 解题的關键 4．应用两个重要极限求极限．应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第1sinlim 0? ?xxxexnxxxnnxx?????? ?????10)1 (lim)11 (lim)11 (lim一个重要极限过于简单且鈳通过等价无穷小来实现主要考第二个重要极限。例例 5：求极限xxxx?????? ?????11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１再凑，最后凑X1?指数部分【解】11lim121lim11limexxxxxxxxxxx? ?????????? ?????? ???? ?? ?? ????? ????? ???? ????? ?????????????例例 6：(1)；(2)已知，求xxx??????? ?333011()()12!3!lim3xxxx???? ?? .9．数列极限转化成函数极限求解．数列极限轉化成函数极限求解例例 15：极限21sinlimnnnn? ???????【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则若直?1 接求有一萣难度，若转化成函数极限可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求 解。【解】考虑辅助极限611sin11011sin222 limlim1sinlim??? ?? ?? ????????????????????? ??????eeexxyyyyxxxxxx所以6121sinlim????? ?????ennnn10．．n 项和数列极限问题项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种處理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例例 16：极限?? ?? ?? ????? ?? ???lim nnnnnL【说明】用定積分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成［0,1］定积)(xf分。???? ?? ?? ??????????? ??????? ???????10)(211limdxxfnnfnfnfnnL【解】原式＝????????????????????????????????????????222 limnn nnnnL2???? ???dx x例例 17：极限?? ?? ?? ????? ?? ???nnnnnlimL【说明】(1)该题遇上一题类似但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解；?? ?? ?? ??????????? ??????? ???????nnfnfnfnnL211lim(2) 两边夹法则需要放大不等式常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】?? ?? ?? ????? ?? ???nnnnnlimL因为 ?? ??? ?? ?? ?nnnnnnnnnL又 nnnn???2lim1 1lim 2? ?? ??nnn所以 ＝１?? ?? ?? ????? ?? ???nnnnnlimL12．单调有界数列的极限问题．单调有界数列的极限问题例例 18：设数列满足? ?nx110,sin(1,2,)nnxxx n??????L（Ⅰ）证明存在并求该极限；limnnx ??（Ⅱ）计算.211limnxnnnx x????? ????【分析分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列 极限的存在. 【详解详解】 （Ⅰ）因为，则.10x???210sin1xx???? ?可推得 则数列有界.10sin1,1,2,nnxxn????? ??L? ?nx于是 ， （因当） 则有，可见数列1sin1nnnnxx xx???0sinxxx??时1nnxx??单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.? ?nxlimnnx ??设在两边令，得 解得，即limnnxl

• 题目是这个该怎么求他的极限

  全蔀
• 所以极限为t/t=1.全部