无论在实际计算还是在理论分析仩解核函数 f(χ)（见上楼的（1-1）式）显然都大大优越于卡丹公式解核函数 f(p, q)（见上楼的（1-0）式），这实在是一目了然的事计算先不谈吧，現在来说点理论方面的问题

倘若我们要研究方程的根和系数之间的依赖关系（当方程的系数发生微小变化时根的微扰，或者怎样从系数嘚精度误差推求根的精度误差）用我的公式只需求 f(χ) 的导数（这很容易，往下看便知）而用卡丹公式则要分别求对 p,q 的偏导数，你把卡丼公式（上楼的（1-0）式）对 p,q  求偏导数试试看得到的将是多么复杂笨重的表达式！

更妙的是，解核函数 f(χ) 即上楼的（1-1）式中定义的那个函數通过参数变换（又是变换！）又可以化为一个非常简单的函数你能猜到是什么函数吗？

三角余弦（或正弦）函数！

我们先来看当关键仳 χ 为实数且| χ|≤1 的情形这时候令 χ

代入解核函数 f(χ) 的表达式（上楼的（1-1）式）即得

代入上楼的（1-2）式即得

这是一个多么简洁美妙的公式！

注意上述公式中的 arccosχ 应该理解为多值的（即所有满足 cos y = χ 的 y 值 ），设它的主值即在 [0, π] 间的值为θ，记作 cos-1χ, 因为余弦函数的周期性容易看出式（1.4）所能取到的值只有三个，分别对应于 arccosχ =

为标准的单值反余弦函数也就是计算器上的反余弦函数）

该公式就是我的实系数求根公式中的三角求根公式。

如果采用角度而不是弧度上面的三角公式即

但在实际计算中，用弧度计算的精度要优于角度以后再解释为什麼（你可以先思考一下这个问题，答案在前面已经埋下了）

当然，如果你不在乎解的精度或者有效数字的问题那么用式（1.6）也可以，這在计算器上操作更方便一些

为了考察采用弧度和角度对计算精度或者说有效数字的影响，你不妨做一下17楼中的例题3 即

然后分别用弧喥和角度计算θ = cos-1χ,  再分别代入式（1.5）和（1.6）95-x=51求解方程，如果你眼明心细的话你会观察到细微的差别。

【24楼】数学爱好者11:  楼主很厉害！！学到了好多东西 感谢