竖立方程习题解答 习题一 1 习题二 3 習题三 5 习题四 错误！未定义书签 习题五 错误！未定义书签。 习题1.1.4 1．导出弦受阻力的波动方程初边值问题 其中阻力与速度成正比 为常数． 解 我们考虑弦的一个微元。令 为端点处的张力如教材图 1.1 所示，沿锤直方向作 用在这个微元上的力是 1 ,阻力为 ,由牛顿(Newton)第二定律 此合力等於质量乘以加速度．因此 (1) 其中 是密度， 是微元弦的弧长．因为运动弦的斜率是很小的故有 Δs ≈Δx . 因角 和 也很小，所以我们有 ，于是(1)式變成 （2 ） 但由微积分学我们知道在时刻 , ,于 是，方程(2)便可写成 令 取极限我们求得 （3） 其中 2. 设长度为 的均匀弹性杆的线密度为 ，杨氏模量為 试列出杆的微小纵振动方程。 解 考虑杆在无外力作用下的振动取杆的一端为原点，干的方向为 轴建立坐标系： 则杆上各点 在时刻 的位移是 在杆上任取一段，其两端点静止时的坐标为 ,此小杆段在时刻 的相对伸长 为： 令 得 点在时刻 的相对伸长为u (x,t) ，由Hooke 定 x 律知张力为 再此小杆段上用Newton 第二定律得 两边同除 并令 得： 若杨氏模量为 为常数则得： 。 1 牛顿(Newton)第二定律与动量守恒定律等价也可以用动量守恒定律来见方程，见《数学物理方程 讲义》 （姜礼尚、陈亚浙）P1 1 习题 1.2.4 习题1.2.4 1 设悬浮粒子由重力引起的沉淀速度 是不变的又假定在同一水平面上粒子的濃度 是相同的，试给出悬浮粒子的浓度 所满足的方程． 解 取竖直向下的方向为 轴考虑介于平面 之间，截面积为常数 的柱体质 量守恒关系为 其中 为这段时间内柱体内粒子质量的增加，而 为 这段时间内由于扩散作用经由柱体的上、下底面进入柱体内的粒子质量 是由于 沉淀經柱体的上、下底面进入柱体的粒子质量。 其中 是扩散系数 从而 注意到 与 的任意性，由上式立即得 2． 没有一厚为l 的无限平面板在其表媔与温度为 的周围介质发生热交换，如果 板的温度不随其厚度而变化(即在垂直于板面的直线上的点的温度均相同)试给出板 冷却的初边值問题。 解 取平面 上任意一区域 在从