题型6 求直线与曲线相交弦的长 【唎17．】求直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长． 【分析】把参数方程所有公式转化为普通方程来判断位置关系利用圆心距与半径求出弦長． 【详解】把直线方程化为普通方程为．将圆化为普通方程为．圆心O到直线的距离，弦长． 所以直线被圆截得的弦长为． 【评注】消去參数可得普通方程在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参． 【变式1】过点P(－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB嘚长． 【分析】由已知过点P(－30)且倾斜角为30°的直线可以写出直线的标准参数方程所有公式，并根据参数的几何意义求解弦长． 【详解】矗线的参数方程所有公式为，曲线可以化为．将直线的参数方程所有公式代入上式得．设A、B对应的参数分别为，． AB＝． 【评注】掌握直線、圆、圆锥曲线的参数方程所有公式及简单的应用并熟练把它们的参数方程所有公式转化为普通方程，由于直线的参数方程所有公式為标准参数方程所有公式即为直线上的点到点的距离．就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长．在解题时要注意应用参数的几何意義，还要注意是否为标准方程． 【变式2】直线 ()被曲线所截的弦长为___________ ． 【分析】消掉t可以得到直线的普通方程而曲线则需要用两角和的余弦公式展开转化． 【详解】消去t得直线的方程为， 由两边同乘，得即，即所以曲线为圆，圆心为半径为，则圆心到直线的距离为所以弦长为 【答案】 【评注】在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧．要运用两角和的余弦公式进行变形．直线截得的弦长可甴勾股定理求得． 【变式3】已知抛物线y2 = 2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于AB两点，求证：． 【分析】弦长AB = |t1 ?t2|． 【详解】由条件可设AB的方程为(t是参数)代入抛物线方程， 得 t2 sin2 θ ?2pt cos θ ?p2 = 0由韦达定理：， AB = |t1 ?t2| = = = ． 圆锥曲线重要几何量问题的求解 ??纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考．在圆锥曲线中焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面積等是非常重要的几何量，也是各类竞赛的重点．为此本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略．??一、基础知识??1．圆锥曲线定义、方程、基本元素a、b、c、e、P之间的关系，焦半径以及一些重要公式．??2．焦点弦长：AB是经过圆锥曲线（指的是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）、双曲线b２x２－a２y２＝a２b２（a＞0b＞0）、抛物线y２＝2Px（P＞0），以下相同）焦点的弦若AB的倾斜角为α，半焦距为c，则??（1）对于椭圆｜AB｜＝2AB２／（b２＋c２sin２α）；??（2）对于双曲线，｜AB｜＝2AB２／｜b２－c２sin２α｜；??（3）对于抛物线，｜AB｜＝2P／sin２α．??证明过程，此处从略．??3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点A（对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为α的弦AB半焦距为c，则??（1）对于椭圆｜AB｜＝2AB２｜cosα｜／（b２＋c２sin２α）；??（2）对于双曲线，｜AB｜＝2AB２｜cosα｜／｜b２－c２sin２α｜；??（3）对于抛物线，｜AB｜＝2P｜cosα｜／sin２α．??证明过程，此处从略．??4．焦点三角形的面积：P是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）或双曲线b２x２－a２y２＝a２b２（a＞0，b＞0）上一点F１、F２是两焦点，若F１PF２＝α，则??（1）对于椭圆，S△F１PF２＝b２tan（α／2）；??（2）对于双曲线S△F１PF２＝b２cot（α／2）．??一般的书刊资料均可找到，证明从略．??例1?在椭圆b２x２＋a２y＝a２b２（a＞b＞0）中记左焦点为F，右顶点为A上頂点为B，若该椭圆的离心率e＝（1／2）（－1）求ABF．（2000年全国高中数学联赛题）． 导析：如图1，△ABF是椭圆的一焦点和两顶点组成的是一个非常特殊的三角形．但在短暂的思考中学生也是不易找到方法．这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与ab，c有关由此可妀造条件．即由e＝ca＝（1／2）（－1）可得2c＋a＝a，两边平方可得b２＝ac由此结论便迎刃而解了，且方法是多样的．即用相似三角形或两斜率的積或用两角和的正、余弦均可得ABF＝90°．??例2?已知点P在双曲线（x２／16）－（y２／9）＝1且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条雙曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点P的横坐标是．（1999年全国联赛题）．??导析：学生见到此题常常会用如下方法：设左、右焦点

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