【摘 要】本文应用两种定义的方式说明确界并通过例题加以说明和区别。同时采用了反证法对确界原理的作用加以简单证明 　　【关键词】數集 确界 确界原理的作用
　　【中图分类号】O17 【文献标识码】A 【文章编号】（2014）24-0087-01
　　一 关于数集上下确界的精确定义
　　设S是R中的一个数集，若η满足：（1）对一切x∈S有x≤η，即η是S的一个上界；（2）对任何αα，即η又是S的最小上界，则称η为数集S的下确界记作η=sup S。
　　同理可定义下确界ξ=inf S
　　例1，设数集S有上确界证明η=sup S∈S是η=max S的充分必要条件。
　　证明：充分性：设η=sup S∈S对一切x∈S有x≤η，而η∈S，于是η是数集S中最大的数即η=max S。
　　必要性：设η=max S则η∈S。下面应用上述定义证明η是S的上确界：（1）对一切x∈S有x≤η，即η是S的上界；（2）对任何的αα。从而满足定义，即η=sup S。
　　二 关于数集上下确界的第二种定义
　　设S是R中的一个非空数集若实数η满足：（1）对任意x∈S有，x≤η，即η是S的一个上界；（2）对任意的ε>0存在x0∈S，使得x0+ε>η（或x0>η-ε），即η又是S的最小上界，则称η为数集S的下确界，记作η=sup S
　　同理可定义下确界ξ=inf S。
　　证明：对任意的c∈A+B存在a∈A，b∈B使得c=a+b，则设supA=η1supB=η2，于是a≤η1b≤η2，c≤η1+η2因此η1+η2昰A+B的一个上界。
　　对于任意正数ε存在a∈Ab∈B，使得a>η1-
　　三 关于数集的确界原理的作用
　　设S为非空数集。若S有上界则S必有上确堺；若S有下界，则S必有下确界
　　例3，设f（x）g（x）在D上有界，请证明：
　　是f（x）+g（x）在D上的一个下界有下确界定
　　另一方面，甴下确界的定义
　　四 用反证法证明确界原理的作用
　　这里只证明有上界就必有上确界。
　　证明：设S是非空有上界的数集即存在M，使得对一切x∈S有M≥x所以再令E={y|y是S的上界，y≤M}因为M∈E，所以E是非空集合
　　任取y1，y2∈E对于所有的0≤α≤1，有αy1+（1-α）y2∈E所以E是一個连续的区间。
　　下面证E中存在最小的数是S的上确界。
　　假设E中不存在最小的数即E=（-∞，M]或E=（aM]。
　　当E=（-∞M]时，即-∞是S的上堺所以S必为空集，这与S≠?矛盾
　　当E=（a，M]时由aE可知a不是S的上界。所
　　以存在x0∈S使得x0>a恒成立。所以且
　　。即不是S的上界即E… （1）
　　显然，当E=（aM]时，必有∈E…（2）（1）
　　与（2）矛盾，所以E=（aM]不成立。
　　综上有E中存在最小的数不妨记作η，则η=sup S
　　五 关于确界的拓展
　　若把±∞补充到数集中，则任意非空数集都有上下确界（正常的或非正常的）。
　　[1]华东师范大学数学系.数学分析?上册（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011
　　[2]任亲谋.数学分析选讲[M].西安：陕西师范大学出版社2008
　　[3]肖娟、邱德华.确界原理的作用的┅个简单证明[J].衡阳师范学院学报，2005（12）
　　〔责任编辑：李锦雯〕