机器学习中的数学
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本博客为七月在线邹博老师机器学习数学课程学习笔记
对概率的认识,x表示一个事件,则P(x)表示事件发生的概率,其中不可能发生的事件P(x)=0,一定会发生的事件P(x)=1.\[P(x)\in{[0,1]}\]
但是事件出现的概率是0,并不意味着这个事件不可能发生.概率为1也并不意味着事件一定发生
若x为离散/连续变量,则P(x=x0)表示X0发生的概率/概率分布
机器学习中不刻意区别离散/连续变量\[\sum{F(x)}和\int{f(x)}意义完全相同\]公式可以等价看待,前者表示离散变量,后者表示连续变量
累计分布函数:\[\phi{(x)}=P(x&=x_{0})\]计算的是\(x&=x_{0}\)的概率值的和.
因为\(P(x)\in{[0,1]}\),是正数,所以\(\phi{(x)}\)一定是 单增函数
\(min(\phi{(x)})=0,max(\phi{(x)})=1\)
因此可以将值域为[0,1]的单调递增函数y=f(x)看成x事件的累积概率(cumulative distribution function,CDF),若y=f(x)可导,则p(x)=\(f^{'}(x)为概率密度函数(probability density function, pdf)\)
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
遇到古典概型的问题,首先计算出所有可能的情况,然后计算出满足条件的情况,将两者相除后得到的即为事件的概率.
\[N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)...(N-n+1)=P^{n}_{N}\]
\[P(A)=\frac{P^n_{N}}{N^{n}}\]
贝叶斯概率公式
以下内容部分或全部摘自百度词条
定义--摘自百度
贝叶斯的统计学中有一个基本的工具叫贝叶斯公式、也称为贝叶斯法则， 尽管它是一个数学公式，但其原理毋需数字也可明了。如果你看到一个人总是做一些好事，则那个人多半会是一个好人。这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。 用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。
贝叶斯公式又被称为贝叶斯定理、贝叶斯规则是概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断（即先验概率）进行修正的标准方法。
所谓贝叶斯公式，是指当分析样本大到接近总体数时，样本中事件发生的概率将接近于总体中事件发生的概率。但行为经济学家发现，人们在决策过程中往往并不遵循贝叶斯规律，而是给予最近发生的事件和最新的经验以更多的权值，在决策和做出判断时过分看重近期的事件。面对复杂而笼统的问题，人们往往走捷径，依据可能性而非根据概率来决策。这种对经典模型的系统性偏离称为“偏差”。由于心理偏差的存在，投资者在决策判断时并非绝对理性，会行为偏差，进而影响资本市场上价格的变动。但长期以来，由于缺乏有力的替代工具，经济学家不得不在分析中坚持贝叶斯法则。
\[条件概率:P(A|B)=\frac{P(AB)}{(B)}\] \[全概率公式=P(A)=\sum_{i}P(A|B_{i})P(B_{i})\] \[贝叶斯(Bayes)公式:P(B_{i}|A)=\frac{P(B_{i},A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_{i})P(B_{i})}{\sum_{j}P(A|B_{j})P(B_{j})}\]
P(A)是A的先验概率或边缘概率,之所以成为"先验"是因为它不考虑任何B方面的概率.
P(A|B)是已知B发生后A的条件概率,也由于得自于B的取值,而称为A的后验概率.
P(B|A)是已知A发生后B的条件概率,也由于得自于A的取值,而称为B的后验概率.
P(B)是B的先验概率或边缘概率,也称为"标准化常量"
两种认识下的两个学派
Logistic函数/Sigmoid 函数
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概率论和数理统计
（数学学科）
《概率论和数理统计》是高等院校理工类、类的重要课程之一。在考研数学中的比重大约占22%左右。主要内容包括：的基本概念、及其、、与、统计量及其概率分布、和、回归分析、、等内容。
概率论与数理统计
从说起，在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。
另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做。
在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。
从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。
我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做。概率论和就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。
概率论的产生和发展
概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a&m)局，另一个人赢了 b(b&m)局的时候，赌博中止。问：应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。
三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。
近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如、对策论、、等，都是以概率论作为基础的。
概率论和数理统计是一门学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、、统计方法又都各有它们自己所的不同内容。
概率论——是根据大量同类的，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。
数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。
统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。
应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的不同点主要有：
第一，由于的是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何。
第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象——的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。
第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。
概率论的内容
概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、和更深层次上的规律性。
概率是发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。
有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的叫做“”。
在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做。
随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
在离散型随机变量的中，比较简单而应用广泛的是。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的是有规律的，这就是。取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫，差异度也就是标准。
数理统计的内容
包括抽样、适线问题、、方析、等内容。是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。
适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。
假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。
也叫做分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。
由于在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：、、、、多元分析等。
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