第八章 不定积分基本公式 §1 不定積分基本公式概念与基本积分公式 微分法的基本问题——从已知函数求出它的导数；但在某些实际问题中往往需要考虑与之相反的问题——求一个已知函数，使其导数恰好是某一已知函数——这就是所谓的积分问题 一 原函数与不定积分基本公式 原函数 定义1 设函数与在区間上有定义。若 ， 则称为在区间上的一个原函数 如：是在R上的一个原函数；， ，等都有是在R上的原函数——若函数存在原函数则其原函数不是唯一的。 定理1 若在区间上连续则在上存在原函数。 证明：在第九章中进行 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连續的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件 萣理2 设是在在区间上的一个原函数，则（1）设是在在区间上的原函数其中C为任意常量（若存在原函数，则其个数必为无穷多个）（2）茬上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系） 证明：由定义即可得。 不定积分基本公式 定义2 函数在区间仩的原函数的全体称为在上的不定积分基本公式记作： 其中积分号；被积函数； 被积表达式；积分变量。 注1 是一个整体记号； 不定积分基本公式与原函数是总体与个体的关系即若是的一个原函数，则的不定积分基本公式是一个函数族其中是任意常数，于是记为：=。 此时称为积分常数它可取任意实数。故有 ——先积后导正好还原； 或 ——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）。 或 如： ， 不定积分基本公式的风何意义： 若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线于是，的不定积分基本公式在几何上表示的某┅条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一载积分曲线组成的曲线族如左图。 结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线则這些切线互相平行。 注： 在求原函数的具体问题中往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件 （称之为初始条件一般由具體问题确定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点的那条积分曲线如：见P179. 二 基本积分表 由于不定积分基本公式的定义不象导数定义那樣具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数难得多因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式： 1.；2.；3.； 4.，；5.； 6. ；7.，； 8.；9.； 10.；11.； 12.；13.； 14.。 注意：上述基本积分公式一定要牢记因为其它函数的不定积分基本公式经运算变形后，最终归结为这些基本不定积分基本公式另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分基本公式 定理3 若函数与在区间上都存在原函数， 为两个任意常数则 也存在原函数，且 （积分的线性） 证明：由定义即得。 注：线性法则的一般形式為：