对于典型在欠阻尼状态的开环增益二阶系统，开环增益增加，为什么无阻尼自然频率上升，阻尼比下降，超调量上升？求解释
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若减少二阶欠阻尼系统超调量，可采取什么措施
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“快走，去请石毅表弟！”有人大喝，他们开始分头逃遁。
“爷还没出够气呢，不许走！”大红鸟再次发飙，黑锅祭出，不断轰砸，当场将几人截了下来。
与此同时，银袍少年也出手，没有一人可以逃离，这场战斗的结局已然注定。
雨昆、雨文成这两个领军人物离开沙漠，在寻小不点的踪迹，而雨紫陌则去找石毅了，除却他们三人外，雨族进入百断山的人全部阵亡。
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具有速度反馈校正的二阶系统的闭环传递函数
具有速度反馈校正的二阶系统的特征方程
速度反馈校正具有增大系统阻尼的作用。
速度反馈校正不影响系统的无阻尼振荡频率 。
系统对单位阶跃信号响应的超调量可以通过改变阻尼系数zv的值加以控制。通过调整速度反馈系数t，使阻尼系数zv落在0.4~0.8之间，从而减小超调量。
引进速度反馈校正前后，二阶系统单位阶跃响应曲线的一个例子
曲线1、2分别为未引入和引入速度反馈校正后的单位阶跃响应曲线。由图可知，二阶系统引入速度反馈校正以后，可以减小系统的超调量和调整时间，但有时会增大系统的上升时间。 比例-微分控制与测速反馈控制的比较
对于理想的线性控制系统，在比例-微分控制和测速反馈方法中，可以任取一种来改善系统性能。然而，实际控制系统有许多必须考虑的因素，例如系统的具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率、系统的线性范围和饱和程度等。下面仅讨论几种主要差别：
1）附加阻尼来源：微分控制的阻尼作用来源于系统输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。
2)使用环境：微分控制对噪声具有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用微分控制；同时微分器的输入信号为系统的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器。测速反馈控制对系统输入端的噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。
3）对开环增益和自然频率的影响：微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响，测速反馈虽不影响自然频率，但会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益，开环增益的加大，必然导致系统自然频率的增加，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。
4）对动态性能的影响：微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的情况下，比例-微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。
二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。
典型二阶系统的瞬态响应—二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。 典型二阶系统的性能指标—主要是超调量和调整时间；与系统参数之间的关系；速度反馈校正。 具有零点的二阶系统—单位阶跃响应的紧凑形式；性能指标；比例微分校正。
二阶系统响应特性--小结 说明：
调整时间与系统特征根的实部数值成反比。系统特征根距虚轴的距离越远，系统的调整时间越短。
由于阻尼系数z的选取主要是根据对系统超调量的要求来确定的，所以调整时间主要由无阻尼振荡频率wn决定。
若能保持阻尼系数不变而增加无阻尼振荡频率wn值，则可以在不改变超调量的情况下缩短调整时间。
5. 振荡次数N：振荡次数定义为在0≤t<≤ts时间内，单位阶跃响应y(t)穿越其稳态值次数的一半。振荡次数的计算公式为： 其中： 为阻尼振荡的周期时间。
通常希望系统的输出响应既有充分的快速性，又有足够的阻尼。因此，为了获得满意的二阶系统瞬态响应特性，阻尼系数应选择在0.4和0.8之间。
工程上常取阻尼系数
作为系统设计的依据，该阻尼系数称为最佳阻尼系数。在这种情况下，典型二阶系统的超调量为：
上升时间tr为： 峰值时间tp为： 调整时间ts为：
当阻尼系数z一定时，无阻尼振荡频率wn越大，上升时间、峰值时间和调整时间越短，响应速度越快。
是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在
的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但
时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。 在欠阻尼
情况下工作时，若
过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。 注意到
有关，所以一般根据
一定时） 为了限制超调量，并使
较小，一般取0.4~0.8，则超调量在25%~1.5%之间。 例1：
设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的传递函数。
[例2]如图所示的二阶系统，开环传递函数包括三个典型环节：比例、积分和一阶惯性环节。图中 K为开环放
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自动控制总结：第三章：线性系统的时域分析
首先我们必须明白时域法是直接在时间域上对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，它可以提供系统时间相应的全部信息。（该方法是最基本的方法，该方法引出的概念、方法、结论都是以后学习复域法、频域法等的基础）
控制系统的性能指标分为动态性能指标和静态性能指标。
在引入典型输入信号的原因是：控制系统的输入信号具有随机性，而如果在这个瞬态上获得系统的解析表达式，难以做到，因此希望有一些特殊的输入信号，通过这些输入信号以及其响应是一个非常不错的选择。
1、典型的输入信号
① 单位阶跃信号
对应的输出：单位阶跃响应
一般形式的阶跃函数：
当A=1时，则为单位阶跃函数
②单位斜坡信号
对应的输出：单位斜坡响应
一般形式的斜坡函数
当A=1时则为单位斜坡函数
③单位脉冲信号
对应的输出：单位脉冲响应
当A=1时为单位脉冲函数。
④单位加速度信号
对应的输出：单位加速度响应
A=½时为单位抛物线函数
⑤正弦信号。
四种典型单位输入信号的关系
2、控制系统的时域性能指标
ġ响应过程分为动态过程和稳态过程
①动态过程：系统在典型信号的作用下，系统从初始状态到最终状态的过程
表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式（系统要稳定正常工作，其动态过程必须衰减）
动态过程可以提供a、系统的稳定信息、b、响应速度c、阻尼情况
②稳态过程：系统在典型信号的作用下，时间t趋于无穷大的时候输出量的表现形式，
稳态过程提供了稳态误差的信息。
我们一般认为阶跃输入对系统而言是比较严峻的工作状态，所以如果系统在阶跃函数的作用下也能满足性能要求，那么其他情况也应该是令人满意的，因此系统的动态性能指标，均是在单位阶跃函数作用下测定计算的
并且在分析的时候，一般假定系统在阶跃信号作用前处于静止状态，而且系统输出量以及各阶导数均为零
ġ性能指标有以下：（全部都是以阶跃响应下定义）
①延迟时间td：阶跃响应第一次达到终值C(&)的50%所用的时间。
②上升时间tr：阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间，对有振荡的系统，也可以定义为从0到第一次到达终值所需的时间
③峰值时间tp：阶跃响应越过终值C(&)到达第一个峰值所需的时间
④调节时间ts：阶跃响应到达并保持在终值C(&)的&5%误差带内所需的最短时间。
有时候也用终值的&2%误差带来定义
⑤超调量&%：峰值c（tp）超出终值c（&）的百分比 即&%=*100%
3.2一阶系统的时域分析
1、一阶系统的数学模型
例子：
其微分方程为：T
+c(t)=r(t)
拉氏变换后，传递函数为 &P(S)=
(T的含义随系统的不同而不同)
用方框图表示时有两种形式：
形式一：一阶系统
形式二：单位反馈一阶系统
2、一阶系统的单位阶跃响应
拉氏变换后
因此C(S)= &P(S)R(S)=*
对这个式子进行拉氏反变换得：c(t)=1-
从c(t)的表达式中可以看到，初始值Ĥ终值为1
因此画出其响应曲线为
特点：
①当t等于T的整数倍时，即t=T，2T，3T，4T时候，响应的c(t)为总变化量的0.632&#&#&#倍，根据这个特点可以判断是否为一阶系统（这个要背背）
②t=0时候，输出相应的斜率为最大：
进过计算我们可以得到一阶系统的动态性能指标为：td=0.69T，tr=2.20T，ts=3T
峰值时间tp和超调量&%不存在，稳态误差ess=0。
记住这个：T值的大小反映系统的惯性。T值越小，惯性就越小，响应速度就快；T值大，惯性就大，相应速度就慢。这一结论也适用于一阶系统以外的系统（因为T越小，对应的ts就越小。）
3、一阶系统的单位脉冲响应
r(t)= &(t) ， 其拉氏变换为R(S)=1
所以C(S)= &P(S)R(S)=
其拉氏反变换为 c(t)= (t&0)
其斜率公式=-
所以=-
=0 （为什么要求斜率，其实是因为 就像高中学数学一样，从斜率可以大概看出它的函数规律）
调节时间按衰减到终值的5%求取
Ts=3T（T越小，响应速度越好）
注：理想脉冲函数无法得到，因此往往以脉宽为b、幅值有限的脉动函数代替理想单的脉动函数&(t)，而且要求脉宽b&#T。
4、一阶系统的单位斜坡响应
r(t)=t， 其拉氏变换 R(S)=
C(S)= &P(S)R(S)=*
其拉氏反变换为c(t)=t-T+T
其中 t-T为稳态分量：其与斜坡输入函数的斜率相同，但在时间上之后一个T，因此存在位置误差，
T为瞬态分量：随着时间单调衰减
特点：
①系统的输出量和输入量之间的位置误差随时间推移逐渐增大，但最后趋向于T。因此，T越小，位置误差越小。
②在t=0时，初始实线的斜率为0 (=1-|t=0)
因此初始状态的输出速度（实线斜率）和输入速度（虚线斜率）之间误差最大
5、一阶系统的单位加速度响应
其拉氏变换为R(S)=
因此C(S)= &P(S)R(S)=*
其拉氏反变换为c(t)=-Tt+
跟踪误差e(t)=r(t)-c(t)= -[-Tt+
当t趋向于&时，e(t)趋于无穷大，因此得出一阶系统无法跟踪加速度信号
3.3二阶系统的时域分析
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其应用广泛，甚至许多高阶系统在一定条件下可以用二阶系统表示。
二阶系统的数学模型
书本上一开始就来了一个RLC电路，推导出一个二阶系统的模型，
其微分方程为
LC+RC=+c(t)=r(t)
所以其传递函数为
我们对这个传递函数标准化（标准化后，参数有具体意义），就可以得到
其中wn=
称为自然频率，单位rad/s， &＝
称为二阶系统的阻尼比，无量纲
其开环传递函数为 G(S)=
令闭环传递函数的分母多项式Ĥ其闭环系统的特征方程
得出其根（闭环极点）为
通过分析不同的&情况，得出不同的特征根状况
①欠阻尼Ĵ&＜1
②无阻尼：&=0
③临界阻尼：&＝1
④过阻尼：&&1
2、二阶系统的单位阶跃响应
ġ欠阻尼 Ĵ&ġ
（其中令=，这条公式一定要记住,wd称为阻尼振荡频率）
所以输出C(S)= &P(S)R(S)=*
=–=–
拉氏反变换为 ：
式中&＝arctg
（&也等于arccos&） 称为滞后角
（记忆方法：cos&＝&，sin&＝
从c(t)的式子看，发现其由稳态和瞬态两部分组成，稳态部分等Ĥ表明不存在稳态误差（1-r(t)=0），瞬态部分是阻尼振荡，阻尼的大小由&
(即特征根实部& =& ）决定；
&越小，超调量越大
ġ无阻尼（&=0）
=1- cost （把&=0带入欠阻尼那条式子即可） （此时wn=wd）
响应曲线：此时为等幅振荡
ġ临界阻尼（&=1）
（t&0）（一样的把&f入欠阻尼那条式子）（第三项计算的时候要用洛必达就可以得到那个结果了）
响应曲线：单调上升，无振荡，无超调，无稳态误差
ġ过阻尼（&ġ
因此对其作拉氏反变换
+（t&0）
T1ѐ为过阻尼二阶系统的时间常数，而ԞT2
如果&&&1时，可以指数项的分量忽略，这样过阻尼的相应类似于一阶系统的相应
响应曲线：单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
ġ负阻尼（&ġ
其有一对共轭复根，且极点实部大于零
响应有两种状态，一种是振荡发散，一种是单调发散
由于系统此时不能正常工作，那么研究也就没有意义了。
小结：阻尼比决定了系统的振荡特性
&＜0 时（负阻尼），响应发散，系统不稳定；
&=0时（无阻尼），等幅振荡
0＜&f（欠阻尼），有振荡，&越小，振荡越严重，但响应越快
&&1时（过阻尼和临界阻尼），无振荡，无超调
除不允许产生振荡的系统，通常采用欠阻尼状态，阻尼比选择&#~0.8之间，保证系统有好的运动动态。（此时响应曲线超调量合适，调节时间短）
还必须注意，&&#时，会使超调量较大，&&#时，又会使响应迟缓
（这里判断的时候，紧紧记住那个好多&的图就好）
&一定时，&n越大，瞬态分量衰减越快，系统能更快达到稳态值，系统的快速性越好
（这是因为wn在指数部分且带一个负号，所以其越大，衰减越快）
3、欠阻尼二阶系统的动态过程分析
回忆一下动态指标：tr、 tp 、&p%、ts 。
图中 衰减系数&指闭环极点到虚轴之间的距离，阻尼振荡频率为闭环极点到实轴的距离，自然频率是闭环极点到原坐标之间的距离，与负实轴的余弦是阻尼比，即&＝cos&
ġ上升时间
根据定义，令c(t)=1,得 sin( t+&)=0，因为
&0，所以sin(
解得
+&=k&，由于tr的定义是第一次到达的时间，所以取k=1，则得到
上升时间为
从式中可以看出，当&一定时，&不变，系统的相应速度和wn成正比
当阻尼振荡频率wd一定时，&越小，上升时间越短
ġ峰值时间
对c(t)求导
所以得 sin( tp+&-&)=0
因为 &0，所以有sin( tp+&-&)=0
所以， tp=2k&，取k=1得
式子说明峰值时间等于阻尼振荡周期的一半，&一定时，wn越大，tp越小
ġ超调量&%：
最大超调量发生在峰值时间tp时，把其带入c(tp)，得到c(tp)= 1-
因为sin(&+&)=-
（这是因为sin&=） 所以可以写成c(tp)=1+
又由于终值Ĥ所以得
最大超调量百分比
&越大，从而&越小，所以cot&越大，所以超调量越小，
当&&#-0.8范围内时，&%&#%~25.4%之间
调整时间ts ：回忆一下， 单位阶跃响应进入&△误差带的最小时间
小结：
二阶系统的动态性能由 和&决定
增加&：a、降低振荡（即ts减小），减少超调量 b、系统的快速性能降低，tr、tp增加。
&一定，wn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小
超调量仅与&有关，而tr、tp、ts与&、wn有关
4、二阶系统的性能改善
(1)比例&微分控制
其结构图：Td为微分时间常数，比例因子ĤE(s)为误差信号
开环传递函数：G(S)=
其中K为
闭环传递函数： &P(S)=
（令z=1/
增加一个闭环零点
阻尼比增大
特点：
①引入比例-微分控制，阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；
②闭环零点的出现，既加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了&阻尼&作用。适当选择微分时间常数Ｔd，使系统既有较好的平稳性，又在出现较小超调情况下，提高快速性。
③不影响系统误差，自然频率不变
单位阶跃信号作用下的输出响应
C(S)= &P(S)R(S)=
其输出相应为 c(t)=1+r
t＋&)
r=/z，
&=-&+arctan[wn/(z-
)]+arctan(/&d)
部分性能指标：
峰值时间tp：对c(t)求导，令其Ĥ
得tp=
，其中&d=arctan(/&d)
超调量&%：&%=r*
调节时间ts：
ġ测速反馈控制
开环传递函数：G(S)==
其中K=
闭环传递函数：&P(S)= = 式中阻尼比&t =&+½
两种控制系统比较如下:
(1)开环增益K，比例&微分控制不改变开环增益K 。
(2)wn不变，阻尼比增大。分别为
，&d=&+
当Kt=Td时，两者相等
ġ比例&微分控制提供一个实零点，在相同的阻尼比时，超调量大于测速反馈控制。
ġ比例&微分控制对输入噪声有放大作用，输入端高频噪音严重时，不宜选用此方法。测速反馈控制无需设置放大器，适合任何输出可测的控制系统。
5、附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
附加一个闭环零点，超调量上升，上升时间下降，峰值时间下降。
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
附加极点对系统的影响
对所有的二阶系统，增加零点,削弱阻尼,超调变大,上升时间变短,调节时间不一定小。
3.4线性系统的稳定性分析
1、系统稳定的条件：系统初始条件f，受到&(t)的作用，输出c(t)为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动的作用下，输出信号偏离平衡点的问题，当t&&时，
ĸ—————-系统稳定
若=&——————系统不稳定
若=A（A为非零常数）—临界稳定
（t&0）
系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即闭环系统的极点全部在s平面左半部。
注：稳定性与零点无关
劳思稳定判据
其特点是要知道系统的闭环传递函数，其线性系统的闭环特征方程为
用例子去说明，
讨论特殊情况一，因为第一列元素会作为分母，当第一列出f，要用一未知量代替
特殊情况二，出现全行都是0
3.5 线性系统的稳态误差
1、误差的基本概念
系统的误差通常用两种方法定义：
ġ按输入端定义：
E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)
ġ按输出端定义
E'(S)=R(S)/H(S)-C(S)
按输入端定义的误差E(S)通常在实际系统中可以测量，具有一定的物理意义，但误差理论的含义部十分明显，按系统输出端定义误差是希望输出与实际输出C(s)之差，比较接近误差的理论意义。但通常不可测量
两种误差定义之间的关系是：E'(S)=E(s)/H(s)
2、计算误差的一般方法
最常用的就是终值定理法，该方法适合各种情况下的稳态误差计算，以下说明步骤
①判定系统的稳定性：稳定是系统正常工作的前提条件，否则稳态误差没有意义
②求误差传递函数：&Pe=
公式由来：R(S)-E(S)*G(S)H(S)=E(S)
误差信号e(t)是E(S)的拉氏反变换
，其由瞬态分量 ett(t)和稳态分量ess(t)两部分组成
由于系统必须稳定，所以t&&时，ett(t)Ĥ所以稳态误差就是ess(t)
用终值定理求稳态误差：ess=
终值定理应用条件是sE(s)在右半平面及虚轴上解析，即sE(s)几点全部为s平
面左半平面。当系统不稳定或者R(S)的几点由于虚轴上以及虚轴右边时，该条件不满足
这个系统的稳态误差ess= = =
3、系统型别
设开环传递函数G(s)H(s)=
式中K为开环增益，和为时间常数，v为开环积分环节的数目，称为系统的型别或无差
度。按v的不同，系统分类如下：
V=0，称ƛ系统，或有差系统
V=1，称为Ⅰ型系统，或一阶无差系统
V=2，称为Ⅱ型系统，或二阶无差系统
VĤ除复合控制外，系统难以稳定，在此不做讨论
令=，则当s&0时，有&1
因此G(s)H(s)=
所以&Pe=
所以ess= =
4、静态误差系数
①阶跃输入 r(t)=A*1(t)，则R(S)=A/S，A是阶跃函数的幅值。
所以ess= = =
定义：静态位置误差系数：Kp== ==
(根据系统型别那部分内容去理解)
因此：
因此，要Ĥ则用I型以上系统ƛ系统在阶跃输入下存在非零的稳态误差
②斜坡输入
r(t)=At，A为斜坡输入函数的斜率
ess= = ==(因为分母那一部分乘以s之后，s趋向f那部分趋向Ĥ所以有) =
定义：静态速度误差系数：
因此选Ⅱ型以上系统不存在稳态误差，选用Ⅰ型系统存在有限误差，表明稳态输出时的速度和输入速度相同（因为是相减）ƛ系统不能跟踪斜坡输入
③加速度输入 r(t)=A
，A是加速度输入函数的速度变化率
ess= = == (这里也一样把s^2那部分略去)=
定义静态加速度误差系数
假设系统的输入信号是多种典型函数的组合，例如r(t)=(A+Bt+C)*1(t)那么可根据线性叠加原理求解稳态误差,ess=
小结
从中我们可以看到，增大K，那么就减小，如果增加开环传递函数中的积分环节，那么就可以消除稳态误差（例如在对于Ⅰ型系统，输入斜坡信号会有误差，但是增加积分环节，使其提升到Ⅱ级系统以上，那么就误差就ġ
6、扰动作用下的误差
|&&1，有essn=
大家可以评论相关自动控制的问题，我也会耐心给你们解答的(#^.^#)
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速度反馈校正具有增大系统阻尼的作用。
速度反馈校正不影响系统的无阻尼振荡频率 。
系统对单位阶跃信号响应的超调量可以通过改变阻尼系数zv的值加以控制。通过调整速度反馈系数t，使阻尼系数zv落在0.4~0.8之间，从而减小超调量。
引进速度反馈校正前后，二阶系统单位阶跃响应曲线的一个例子
曲线1、2分别为未引入和引入速度反馈校正后的单位阶跃响应曲线。由图可知，二阶系统引入速度反馈校正以后，可以减小系统的超调量和调整时间，但有时会增大系统的上升时间。 比例-微分控制与测速反馈控制的比较
对于理想的线性控制系统，在比例-微分控制和测速反馈方法中，可以任取一种来改善系统性能。然而，实际控制系统有许多必须考虑的因素，例如系统的具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率、系统的线性范围和饱和程度等。下面仅讨论几种主要差别：
1）附加阻尼来源：微分控制的阻尼作用来源于系统输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。
2)使用环境：微分控制对噪声具有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用微分控制；同时微分器的输入信号为系统的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器。测速反馈控制对系统输入端的噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。
3）对开环增益和自然频率的影响：微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响，测速反馈虽不影响自然频率，但会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益，开环增益的加大，必然导致系统自然频率的增加，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。
4）对动态性能的影响：微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的情况下，比例-微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。
二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。
典型二阶系统的瞬态响应—二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。 典型二阶系统的性能指标—主要是超调量和调整时间；与系统参数之间的关系；速度反馈校正。 具有零点的二阶系统—单位阶跃响应的紧凑形式；性能指标；比例微分校正。
二阶系统响应特性--小结 说明：
调整时间与系统特征根的实部数值成反比。系统特征根距虚轴的距离越远，系统的调整时间越短。
由于阻尼系数z的选取主要是根据对系统超调量的要求来确定的，所以调整时间主要由无阻尼振荡频率wn决定。
若能保持阻尼系数不变而增加无阻尼振荡频率wn值，则可以在不改变超调量的情况下缩短调整时间。
5. 振荡次数N：振荡次数定义为在0≤t<≤ts时间内，单位阶跃响应y(t)穿越其稳态值次数的一半。振荡次数的计算公式为： 其中： 为阻尼振荡的周期时间。
通常希望系统的输出响应既有充分的快速性，又有足够的阻尼。因此，为了获得满意的二阶系统瞬态响应特性，阻尼系数应选择在0.4和0.8之间。
工程上常取阻尼系数
作为系统设计的依据，该阻尼系数称为最佳阻尼系数。在这种情况下，典型二阶系统的超调量为：
上升时间tr为： 峰值时间tp为： 调整时间ts为：
当阻尼系数z一定时，无阻尼振荡频率wn越大，上升时间、峰值时间和调整时间越短，响应速度越快。
是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在
的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但
时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。 在欠阻尼
情况下工作时，若
过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。 注意到
有关，所以一般根据
一定时） 为了限制超调量，并使
较小，一般取0.4~0.8，则超调量在25%~1.5%之间。 例1：
设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的传递函数。
[例2]如图所示的二阶系统，开环传递函数包括三个典型环节：比例、积分和一阶惯性环节。图中 K为开环放
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自动控制总结：第三章：线性系统的时域分析
首先我们必须明白时域法是直接在时间域上对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，它可以提供系统时间相应的全部信息。（该方法是最基本的方法，该方法引出的概念、方法、结论都是以后学习复域法、频域法等的基础）
控制系统的性能指标分为动态性能指标和静态性能指标。
在引入典型输入信号的原因是：控制系统的输入信号具有随机性，而如果在这个瞬态上获得系统的解析表达式，难以做到，因此希望有一些特殊的输入信号，通过这些输入信号以及其响应是一个非常不错的选择。
1、典型的输入信号
① 单位阶跃信号
对应的输出：单位阶跃响应
一般形式的阶跃函数：
当A=1时，则为单位阶跃函数
②单位斜坡信号
对应的输出：单位斜坡响应
一般形式的斜坡函数
当A=1时则为单位斜坡函数
③单位脉冲信号
对应的输出：单位脉冲响应
当A=1时为单位脉冲函数。
④单位加速度信号
对应的输出：单位加速度响应
A=½时为单位抛物线函数
⑤正弦信号。
四种典型单位输入信号的关系
2、控制系统的时域性能指标
ġ响应过程分为动态过程和稳态过程
①动态过程：系统在典型信号的作用下，系统从初始状态到最终状态的过程
表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式（系统要稳定正常工作，其动态过程必须衰减）
动态过程可以提供a、系统的稳定信息、b、响应速度c、阻尼情况
②稳态过程：系统在典型信号的作用下，时间t趋于无穷大的时候输出量的表现形式，
稳态过程提供了稳态误差的信息。
我们一般认为阶跃输入对系统而言是比较严峻的工作状态，所以如果系统在阶跃函数的作用下也能满足性能要求，那么其他情况也应该是令人满意的，因此系统的动态性能指标，均是在单位阶跃函数作用下测定计算的
并且在分析的时候，一般假定系统在阶跃信号作用前处于静止状态，而且系统输出量以及各阶导数均为零
ġ性能指标有以下：（全部都是以阶跃响应下定义）
①延迟时间td：阶跃响应第一次达到终值C(&)的50%所用的时间。
②上升时间tr：阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间，对有振荡的系统，也可以定义为从0到第一次到达终值所需的时间
③峰值时间tp：阶跃响应越过终值C(&)到达第一个峰值所需的时间
④调节时间ts：阶跃响应到达并保持在终值C(&)的&5%误差带内所需的最短时间。
有时候也用终值的&2%误差带来定义
⑤超调量&%：峰值c（tp）超出终值c（&）的百分比 即&%=*100%
3.2一阶系统的时域分析
1、一阶系统的数学模型
例子：
其微分方程为：T
+c(t)=r(t)
拉氏变换后，传递函数为 &P(S)=
(T的含义随系统的不同而不同)
用方框图表示时有两种形式：
形式一：一阶系统
形式二：单位反馈一阶系统
2、一阶系统的单位阶跃响应
拉氏变换后
因此C(S)= &P(S)R(S)=*
对这个式子进行拉氏反变换得：c(t)=1-
从c(t)的表达式中可以看到，初始值Ĥ终值为1
因此画出其响应曲线为
特点：
①当t等于T的整数倍时，即t=T，2T，3T，4T时候，响应的c(t)为总变化量的0.632&#&#&#倍，根据这个特点可以判断是否为一阶系统（这个要背背）
②t=0时候，输出相应的斜率为最大：
进过计算我们可以得到一阶系统的动态性能指标为：td=0.69T，tr=2.20T，ts=3T
峰值时间tp和超调量&%不存在，稳态误差ess=0。
记住这个：T值的大小反映系统的惯性。T值越小，惯性就越小，响应速度就快；T值大，惯性就大，相应速度就慢。这一结论也适用于一阶系统以外的系统（因为T越小，对应的ts就越小。）
3、一阶系统的单位脉冲响应
r(t)= &(t) ， 其拉氏变换为R(S)=1
所以C(S)= &P(S)R(S)=
其拉氏反变换为 c(t)= (t&0)
其斜率公式=-
所以=-
=0 （为什么要求斜率，其实是因为 就像高中学数学一样，从斜率可以大概看出它的函数规律）
调节时间按衰减到终值的5%求取
Ts=3T（T越小，响应速度越好）
注：理想脉冲函数无法得到，因此往往以脉宽为b、幅值有限的脉动函数代替理想单的脉动函数&(t)，而且要求脉宽b&#T。
4、一阶系统的单位斜坡响应
r(t)=t， 其拉氏变换 R(S)=
C(S)= &P(S)R(S)=*
其拉氏反变换为c(t)=t-T+T
其中 t-T为稳态分量：其与斜坡输入函数的斜率相同，但在时间上之后一个T，因此存在位置误差，
T为瞬态分量：随着时间单调衰减
特点：
①系统的输出量和输入量之间的位置误差随时间推移逐渐增大，但最后趋向于T。因此，T越小，位置误差越小。
②在t=0时，初始实线的斜率为0 (=1-|t=0)
因此初始状态的输出速度（实线斜率）和输入速度（虚线斜率）之间误差最大
5、一阶系统的单位加速度响应
其拉氏变换为R(S)=
因此C(S)= &P(S)R(S)=*
其拉氏反变换为c(t)=-Tt+
跟踪误差e(t)=r(t)-c(t)= -[-Tt+
当t趋向于&时，e(t)趋于无穷大，因此得出一阶系统无法跟踪加速度信号
3.3二阶系统的时域分析
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其应用广泛，甚至许多高阶系统在一定条件下可以用二阶系统表示。
二阶系统的数学模型
书本上一开始就来了一个RLC电路，推导出一个二阶系统的模型，
其微分方程为
LC+RC=+c(t)=r(t)
所以其传递函数为
我们对这个传递函数标准化（标准化后，参数有具体意义），就可以得到
其中wn=
称为自然频率，单位rad/s， &＝
称为二阶系统的阻尼比，无量纲
其开环传递函数为 G(S)=
令闭环传递函数的分母多项式Ĥ其闭环系统的特征方程
得出其根（闭环极点）为
通过分析不同的&情况，得出不同的特征根状况
①欠阻尼Ĵ&＜1
②无阻尼：&=0
③临界阻尼：&＝1
④过阻尼：&&1
2、二阶系统的单位阶跃响应
ġ欠阻尼 Ĵ&ġ
（其中令=，这条公式一定要记住,wd称为阻尼振荡频率）
所以输出C(S)= &P(S)R(S)=*
=–=–
拉氏反变换为 ：
式中&＝arctg
（&也等于arccos&） 称为滞后角
（记忆方法：cos&＝&，sin&＝
从c(t)的式子看，发现其由稳态和瞬态两部分组成，稳态部分等Ĥ表明不存在稳态误差（1-r(t)=0），瞬态部分是阻尼振荡，阻尼的大小由&
(即特征根实部& =& ）决定；
&越小，超调量越大
ġ无阻尼（&=0）
=1- cost （把&=0带入欠阻尼那条式子即可） （此时wn=wd）
响应曲线：此时为等幅振荡
ġ临界阻尼（&=1）
（t&0）（一样的把&f入欠阻尼那条式子）（第三项计算的时候要用洛必达就可以得到那个结果了）
响应曲线：单调上升，无振荡，无超调，无稳态误差
ġ过阻尼（&ġ
因此对其作拉氏反变换
+（t&0）
T1ѐ为过阻尼二阶系统的时间常数，而ԞT2
如果&&&1时，可以指数项的分量忽略，这样过阻尼的相应类似于一阶系统的相应
响应曲线：单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
ġ负阻尼（&ġ
其有一对共轭复根，且极点实部大于零
响应有两种状态，一种是振荡发散，一种是单调发散
由于系统此时不能正常工作，那么研究也就没有意义了。
小结：阻尼比决定了系统的振荡特性
&＜0 时（负阻尼），响应发散，系统不稳定；
&=0时（无阻尼），等幅振荡
0＜&f（欠阻尼），有振荡，&越小，振荡越严重，但响应越快
&&1时（过阻尼和临界阻尼），无振荡，无超调
除不允许产生振荡的系统，通常采用欠阻尼状态，阻尼比选择&#~0.8之间，保证系统有好的运动动态。（此时响应曲线超调量合适，调节时间短）
还必须注意，&&#时，会使超调量较大，&&#时，又会使响应迟缓
（这里判断的时候，紧紧记住那个好多&的图就好）
&一定时，&n越大，瞬态分量衰减越快，系统能更快达到稳态值，系统的快速性越好
（这是因为wn在指数部分且带一个负号，所以其越大，衰减越快）
3、欠阻尼二阶系统的动态过程分析
回忆一下动态指标：tr、 tp 、&p%、ts 。
图中 衰减系数&指闭环极点到虚轴之间的距离，阻尼振荡频率为闭环极点到实轴的距离，自然频率是闭环极点到原坐标之间的距离，与负实轴的余弦是阻尼比，即&＝cos&
ġ上升时间
根据定义，令c(t)=1,得 sin( t+&)=0，因为
&0，所以sin(
解得
+&=k&，由于tr的定义是第一次到达的时间，所以取k=1，则得到
上升时间为
从式中可以看出，当&一定时，&不变，系统的相应速度和wn成正比
当阻尼振荡频率wd一定时，&越小，上升时间越短
ġ峰值时间
对c(t)求导
所以得 sin( tp+&-&)=0
因为 &0，所以有sin( tp+&-&)=0
所以， tp=2k&，取k=1得
式子说明峰值时间等于阻尼振荡周期的一半，&一定时，wn越大，tp越小
ġ超调量&%：
最大超调量发生在峰值时间tp时，把其带入c(tp)，得到c(tp)= 1-
因为sin(&+&)=-
（这是因为sin&=） 所以可以写成c(tp)=1+
又由于终值Ĥ所以得
最大超调量百分比
&越大，从而&越小，所以cot&越大，所以超调量越小，
当&&#-0.8范围内时，&%&#%~25.4%之间
调整时间ts ：回忆一下， 单位阶跃响应进入&△误差带的最小时间
小结：
二阶系统的动态性能由 和&决定
增加&：a、降低振荡（即ts减小），减少超调量 b、系统的快速性能降低，tr、tp增加。
&一定，wn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小
超调量仅与&有关，而tr、tp、ts与&、wn有关
4、二阶系统的性能改善
(1)比例&微分控制
其结构图：Td为微分时间常数，比例因子ĤE(s)为误差信号
开环传递函数：G(S)=
其中K为
闭环传递函数： &P(S)=
（令z=1/
增加一个闭环零点
阻尼比增大
特点：
①引入比例-微分控制，阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；
②闭环零点的出现，既加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了&阻尼&作用。适当选择微分时间常数Ｔd，使系统既有较好的平稳性，又在出现较小超调情况下，提高快速性。
③不影响系统误差，自然频率不变
单位阶跃信号作用下的输出响应
C(S)= &P(S)R(S)=
其输出相应为 c(t)=1+r
t＋&)
r=/z，
&=-&+arctan[wn/(z-
)]+arctan(/&d)
部分性能指标：
峰值时间tp：对c(t)求导，令其Ĥ
得tp=
，其中&d=arctan(/&d)
超调量&%：&%=r*
调节时间ts：
ġ测速反馈控制
开环传递函数：G(S)==
其中K=
闭环传递函数：&P(S)= = 式中阻尼比&t =&+½
两种控制系统比较如下:
(1)开环增益K，比例&微分控制不改变开环增益K 。
(2)wn不变，阻尼比增大。分别为
，&d=&+
当Kt=Td时，两者相等
ġ比例&微分控制提供一个实零点，在相同的阻尼比时，超调量大于测速反馈控制。
ġ比例&微分控制对输入噪声有放大作用，输入端高频噪音严重时，不宜选用此方法。测速反馈控制无需设置放大器，适合任何输出可测的控制系统。
5、附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
附加一个闭环零点，超调量上升，上升时间下降，峰值时间下降。
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
附加极点对系统的影响
对所有的二阶系统，增加零点,削弱阻尼,超调变大,上升时间变短,调节时间不一定小。
3.4线性系统的稳定性分析
1、系统稳定的条件：系统初始条件f，受到&(t)的作用，输出c(t)为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动的作用下，输出信号偏离平衡点的问题，当t&&时，
ĸ—————-系统稳定
若=&——————系统不稳定
若=A（A为非零常数）—临界稳定
（t&0）
系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即闭环系统的极点全部在s平面左半部。
注：稳定性与零点无关
劳思稳定判据
其特点是要知道系统的闭环传递函数，其线性系统的闭环特征方程为
用例子去说明，
讨论特殊情况一，因为第一列元素会作为分母，当第一列出f，要用一未知量代替
特殊情况二，出现全行都是0
3.5 线性系统的稳态误差
1、误差的基本概念
系统的误差通常用两种方法定义：
ġ按输入端定义：
E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)
ġ按输出端定义
E'(S)=R(S)/H(S)-C(S)
按输入端定义的误差E(S)通常在实际系统中可以测量，具有一定的物理意义，但误差理论的含义部十分明显，按系统输出端定义误差是希望输出与实际输出C(s)之差，比较接近误差的理论意义。但通常不可测量
两种误差定义之间的关系是：E'(S)=E(s)/H(s)
2、计算误差的一般方法
最常用的就是终值定理法，该方法适合各种情况下的稳态误差计算，以下说明步骤
①判定系统的稳定性：稳定是系统正常工作的前提条件，否则稳态误差没有意义
②求误差传递函数：&Pe=
公式由来：R(S)-E(S)*G(S)H(S)=E(S)
误差信号e(t)是E(S)的拉氏反变换
，其由瞬态分量 ett(t)和稳态分量ess(t)两部分组成
由于系统必须稳定，所以t&&时，ett(t)Ĥ所以稳态误差就是ess(t)
用终值定理求稳态误差：ess=
终值定理应用条件是sE(s)在右半平面及虚轴上解析，即sE(s)几点全部为s平
面左半平面。当系统不稳定或者R(S)的几点由于虚轴上以及虚轴右边时，该条件不满足
这个系统的稳态误差ess= = =
3、系统型别
设开环传递函数G(s)H(s)=
式中K为开环增益，和为时间常数，v为开环积分环节的数目，称为系统的型别或无差
度。按v的不同，系统分类如下：
V=0，称ƛ系统，或有差系统
V=1，称为Ⅰ型系统，或一阶无差系统
V=2，称为Ⅱ型系统，或二阶无差系统
VĤ除复合控制外，系统难以稳定，在此不做讨论
令=，则当s&0时，有&1
因此G(s)H(s)=
所以&Pe=
所以ess= =
4、静态误差系数
①阶跃输入 r(t)=A*1(t)，则R(S)=A/S，A是阶跃函数的幅值。
所以ess= = =
定义：静态位置误差系数：Kp== ==
(根据系统型别那部分内容去理解)
因此：
因此，要Ĥ则用I型以上系统ƛ系统在阶跃输入下存在非零的稳态误差
②斜坡输入
r(t)=At，A为斜坡输入函数的斜率
ess= = ==(因为分母那一部分乘以s之后，s趋向f那部分趋向Ĥ所以有) =
定义：静态速度误差系数：
因此选Ⅱ型以上系统不存在稳态误差，选用Ⅰ型系统存在有限误差，表明稳态输出时的速度和输入速度相同（因为是相减）ƛ系统不能跟踪斜坡输入
③加速度输入 r(t)=A
，A是加速度输入函数的速度变化率
ess= = == (这里也一样把s^2那部分略去)=
定义静态加速度误差系数
假设系统的输入信号是多种典型函数的组合，例如r(t)=(A+Bt+C)*1(t)那么可根据线性叠加原理求解稳态误差,ess=
小结
从中我们可以看到，增大K，那么就减小，如果增加开环传递函数中的积分环节，那么就可以消除稳态误差（例如在对于Ⅰ型系统，输入斜坡信号会有误差，但是增加积分环节，使其提升到Ⅱ级系统以上，那么就误差就ġ
6、扰动作用下的误差
|&&1，有essn=
大家可以评论相关自动控制的问题，我也会耐心给你们解答的(#^.^#)
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