[方法一]:(几何法) (I)证法一:如图1∵底面ABCD是正方形, ∴BC⊥DC. 由三垂线定理得BC⊥SC.…………3分 ∴BC⊥平面SDC∴BC⊥SC.…………3分 (II)解法一:∵SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形 ∴可把四棱锥S—ABCD补形为长方体A 如图2,面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA S∴∠CSD为所求二面角的平面角. 在Rt△SCB中,由勾股定理得SC= 由勾股定理得SD=1. ∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.……………8分 解法二:如图3过点S作直线 ∵底面ABCD为正方形, ∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角. 在Rt△SCB中由勾股定理得SC= 由勾股定理得SD=1. (III)解法一:如图3,∵SD=AD=1∠SDA=90°,∴△SDA是等腰直角三角形. 由三垂线定理得DM⊥SB. ∴异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分 解法二:如圖4,取AB中点P连结MP,DP. 在△ABS中由中位线定理得 MP//SB, 是异面直线DM与SB所成的角. ∴在△DMP中有DP 即异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分 [方法二]:(姠量法) 解析:如图所示,以D为坐标原点建立直角坐标系 则D(0,00),A(10,0)B(1,10),C(01,0) ,SD=1∴ S(0,01),……………2分 (II)设二面角的平面角为 由题意可知平面ASD的一个法向量为 ,设平面BSC的法向量为 ∴ 面ASD与面BSC所成的二面角为45°.……………10分 (III)设異面直线DM与SB所成角为α, ∴ 异面直线DM与SB所成角为90°.……………14分 |
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