蒙特卡罗积分法在求解数值积分中的应用

点击联系发帖人 时间：2018-07-25 11:52

蒙特卡罗积分

对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：

对以上方程式(10)，考虑某一模态的振动，并略去下标i可写为：

将上式对时间求导，并将t，t+2△(其中2△为时间步长)带入t0，最后通过抛物线法则计算式中的卷积则可得到：

应用上述递推公式，以前一时刻来求后一时刻的结果。计算不重复。当aij求出后，以后在时域中的步进求解只是一些简单的数组相乘。计算速度很快。

%可计算无阻尼和阻尼强迫震动

%输入可为数组或函数荷载

disp('扩大四倍后位移随时间的变化');

title('加载时间增加四倍时的位移位移时程曲线');

disp('荷载作用时间内位移变化');

disp('荷载作用时间内位移最大值');

disp('荷载作用时间内速度变化');

disp('荷载作用时间内速度最大值');

disp('荷载作用时间内加速度变化');

disp('荷载作用时间内加速度最大值');

title('荷载作用时间内位移时程曲线');

title('荷载作用时间内速度时程曲线');

title('荷载作用时间内加速度时程曲线');

disp('扩大四倍后位移随时间的变化');

disp('扩大四倍后位移最大值');

disp('扩大四倍后速度随时间的变化');

disp('扩大四倍后速度最大值');

disp('扩大四倍后加速度随时间的变化');

disp('扩大四倍后加速度最大值');

title('加载时间增加四倍时的位移时程曲线');

title('加载时间增加四倍时的速度时程曲线');

title('加载时间增加四倍时的加速度时程曲线');

}

Bessel函数源于微分方程,含Bessel函数的积分一直是物理、化学等诸多工程应用领域中的一个热点问题。在大多数情况下,这类积分无法得到解析解,需进行数值求积;而在振荡因子很大时Bessel函数呈高振荡性,传统的数值积分方法往往效率低,甚至失去效用。本文应用近年来快速发展的高振荡函数数值积分方法理论,结合Luke、Watson等人对Bessel函数的研究成果,充分利用Maple以及MATLAB的计算功能,给出两类Bessel变换的Filon-type积分方法,并将此算法以可视化界面形式予以实现,可供需要解决含Bessel函数数值积分的科学工作者使用参考。全文由四章组成。本文第一章综述了Bessel函数的来历背景,以及高振荡函数数值积分特别是含有Bessel函数的数值积分的经典方法和最新发展,并指出它们的成功与不足。第二章给出了两类含驻点Bessel函数积分的基于特殊函数的Filon-type方法及误差估计;重点研究了Moments的求解。第三章将本文提出来的含有Bessel函数的数值积分方法以MATLAB7.0.1为平台予以实现,为用户提供一个计算这类积分的简洁的、可视化的积分工具。第四章,运用论文提出的方法计算几个积分,作出误差图。得到的误差以及与Maple计算时间的对比展示了本文方法的高效性。

【学位授予单位】：中南大学
【学位授予年份】：2007

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