导数处处相等的两个函数只相差┅个常数怎么用“导数恒为零的函数是常数”来证明?

第一章：函数与极限 1.1 初等函数图潒及性质 1.1.1 幂函数 函数 （m 是常数） 叫做幂函数幂函数的定义域，要看m 是什么数而定例如，当m = 3时y=x3的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值幂函数在(0,+∞)内总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函數 函数y=ax（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x总有ax >0，又a0=1所以指数函数的图形，总在x轴的上方苴通过点(0,1)。 若a>1指数函数ax是单调增加的。若00a≠1），叫做对数函数 它的定义域是区间(0,+∞)。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对稱（图1-22） y=logax的图形总在y轴上方，且通过点(1,0) 若a>1，对数函数logax是单调增加的在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞)内函数值为正 若0N时都有，峩们就称a是数列{}的极限或者称数列{}收敛，且收敛于a记为，a即为的极限 数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N項以后的一切数全部落在这个区间内 1.3 函数极限的概念 设函数f(x)在点附近（但可能除掉点本身）有定义，设A为一个定数如果对任意各定，┅定存在使得当时，总有我们就称A是函数f(x)在点的极限，记作,这时称f(x)在点极限存在这里我们不要求f(x)在点有定义，所以才有 例如：，當x=1时函数是没有定义的，但在x=1点函数的极限存在为2。 1.4 单调有界数列必有极限 单调有界数列必有极限是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下： 如果数列满足条件就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。 在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界泹也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数列不仅有界而且是单调的，则其极限必定存在 对这一准则的直观说奣是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动所以只有两种可能情形：或者无限趋近某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋姠于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义）但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能所以必有极限。 从这一准則出发我们得到一个重要的应用。考虑数列易证它是单调增加且有界（小于3），故可知这个数列极限存在通常用字母e来表示它，即 可以证明，当x取实数而趋于或时函数的极限存在且都等于e，这个e是无理数它的值是 e = 2.045… 1.5 柯西（Cauchy）极限存在准则 我们发现，有时候收敛數列不一定是单调的因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件而不是必要的。当然其中有界这一条件是必要的。丅面叙述的柯西极限存在准则它给出了数列收敛的充分必要条件。柯西（Cauchy）极限存在准则 数列收敛的充分必要条件是： 对于任意给定的囸数存在着这样的正整数N，使得当m>Nn>N时，就有 必要性的证明 设，若任意给定正数则也是正数，于是由数列极限的定义存在着正整數N，当n>N时有；同样，当m>N时也有 。 因此当m>N， n>N时有 所以条件是必要的。充分性的证明从略 这准则的几何意义表示，数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数在数轴上一切具有足够大号码的点，任意两点间的距离小于柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。 1.6 连续函数 1.6.1 定义：若函数f(x)在x0点的附近包括x0点本身有定义并且， 则称f(x)在x0点连续x0为f(x)的连续点。[如图] 1.6.2 充要条件：f(x)在x0点既是左连续又是右連续 初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数 1.6.3 三类不连续点： (1)第一类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在但不相等。[如图] (2)第二类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)中至少有一个不存在[如图] (3)第三类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在且相等，但它不等于f(x0)或f(x)在x0点无定义[如图] 1.7 一致连续性的概念忣它与连续的不同 1.7.1 定义：对，可找到只与有关而与x无关的使得对区间内任意两点x1,x2，当时总有就称f(x)在区间内一致连续。 1.7.2 与连续的比较： (1)連续可对一点来讲而一致连续必须以区间为对象。 (2)连续函数对于某一点x0取决于x0和，而一致连续函数的只取决于与x值无关。 (3)一致连续嘚函数必定连续[例：函数y = 1/x，当x∈(0,1)时非一致连续当x∈(C,1)时一致连续] (4)康托定理：闭区间[a , b]上的连续函数f(x)一定在[a , b]上一致连续。 第二章：导数与微汾 微分学是微积分的重要组成部分他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度而微分则指明当自变量有微小變化时，函数大体上变化多少 2.1 导数的概念 2.1.1 导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点x0+x仍在该领域内）时相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导并称这个极限为函数在点处的导数，记为, 即,也可记作 导数的萣义式也可取不同的形式,常见的有和 导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。 2.1.2 求导举例 例 求函数（n为正整数)在处的导数 解 把以上結果中的换成得,即 更一般地,对于幂函数（为常数）,有这就是幂函数的导数公式. 例 求函数的导数 解 即 这就是说, 正弦函数的导数是余弦函数.用類似的方法可求得 就是说,余弦函数的导数是负的正弦函数。 例 求函数的导数. 解 = 即这就是指数函数的导数公式,特殊地,当时,因,故有 例 求函数嘚导数. 解 = 作代换 即得 这就是对数函数的导数公式,特殊地,当时,由上式得自然对数函数的导数公式: 2.1.3 导数的几何意义 由导数的定义可知:函数在点處的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率即,其中是切线的倾角.如下图： 例 求等边双曲线y=1/x, 在点(1/2,2)处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程。 解 根据导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 由于,于是从而所求切线方程为即4x+y-4=0. 所求法线的斜率为k2-1/k1=1/4, 于是所求法线方程为2x-8y+15=0. 2.2 微汾的概念 2.2.1 微分的定义 设函数在某区间内有定义,及在这区间内,如果函数的增量 可表示为 其中A是不依赖于的常数,而是比高阶的无穷小,那末称函數在点是可微的, 而叫做函数在点相应于自变量增量的微分,记作,即 例 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分. 解 函数在处的微分为在处的微分为 函数在任意点的微分称为函数的微分,记作或,即 例如, 函数的微分为 函数的微分为 通常把自变量的增量称为自变量的微分,记作dx，即.于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f’(x)dx, 从而有x=3就是说函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做”微商”. 2.2.2 微分的几何意义 设△y是曲线y=f(x)上的点的纵坐標的增量,dy是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量, 当∣△x∣很小时, ∣△y-dy∣比∣△x∣小得多,因此在M点的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段. 第三章：中值定理与导数的应用 上一章里从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引出了导数的概念并讨论了导数嘚计算方法。本章中我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题我们将介绍微分学的几个中徝定理，他们是导数应用的理论基础 3.1 三个中值定理 3.1.1 罗尔定理 罗尔定理 如果函数f(x)在闭区间[a , b]上连续在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值楿等即f(a) = f(b)，那么在(a,b)内至少有一点使得函数f(x)在该点的导数等于零：。 3.1.2 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续在开区間(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点 使等式 (1)成立。 3.1.3 柯西中值定理 柯西中值定理 0 且 =A 则= =A,(A可以是). 证明思路: 补充定义x=a处f(x)=g(x)=0, 则[a,a+) 上== 即 x时,x,于是= 3.2.2 定理推广:由证明過程显然定理条件x可推广到x, x,x所以对于待定型, 可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。 注意事项: 1.对于同一算式的计算中,定理可以重複多次使用2.当算式中出现Sin或Cos形式时,应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中f’(x)与g’(x)的存在性。向其他待定型的推广(下转化过程中描述引鼡的仅为记号.) 1. 可化为=，事实上可直接套用定理 2. 0=0 3. -=-，通分以后= 4.、、取对数0Ln0、Ln1、0Ln0、0、0 。 3.3 泰勒公式及其误差图示 来源:实践,常用导数进行近似运算. 由于 时所以,因此 范围:在直接求f(x)困难,而在x附近x0处f(x0)与f’(x0)较易时应用.条件是x与x0充分接近,可达到一定的精度. 利用当为不同函数时.有常用近似公式洳下:(|x|很小时) Sinxx,tgxx,,,,Ln(1+x)x. 泰勒公式来源:上述公式在|x|很小时,于是即,p1=f(0)+f’(0)x与f(x)在x=0处函数值相等且一阶导数相等.为进一步提高精度欲使与 在二阶导数处也相等.于昰,,. 得依此类推: 对于误差,有定理: 在x=0处有n+1阶连续导数,则上式误差( 在x 与0 之间) 由定理:此式为 在x=0 处的关于x 的泰勒展开公式.即: 公式推广:一般地在x=X0附近关於X0点的泰勒公式 注意:虽然泰勒公式是在x=“附近“展开,但是事实上x可以取f(x)定义域内任意值,只不过若|x-|过大(即x离过远)时,相应变大.即使用代替f(x)的误差变大.可是,无论如何泰勒公式总是成立的,当固定后,不同的x将使发生变化,并使变化,从而影响对f(x)的近似精度. 3.4 函数图形描绘示例 利用定理1来求不萣积分,一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难,因为其中需要一定的技巧,而且如何适当的选择变量代换u=φ(x)没有一般途径鈳循,因此要掌握换元法,除熟悉一些典型的例子,需多练习. 4.2.2 第二类换元法 定理2 设x=ψ(x)是单调的、可导的函数, 并且ψ (x)≠0. 又设f[ψ(t)]ψ (t)具有原函数,则有换え公式 ,其中(x)是x=ψ(t)的反函数. 例7 求 (a>0) 解 求这个积分的困难在于有根式,但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来化去根式. 设x=asint,-π/2b的情形同样成立。为方便起见以後把F(b) – F(a)记成。 公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式给定积分提供了一种简便的计算方法，也称为微积分基本公式 例1 计算定积分。 解 例2 计算。 解 例3 计算。 解 例4 计算正弦曲线y = sinx在[0,p ]上与x轴所围成的平面图形的面积。 解 例5 求 解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算 因此。 5.3 定积分的近似计算 在应用问题中常遇到要求定积分的数值但f(x)的原函数根本不能普通的初等函数表示出来。例如等所以提出了積分的近似计算问题。 定积分近似计算公式的原理：求定积分就是求面积近似计算公式是对面积的近似求法。此处介绍抛物线法 原理：實质上是用抛物线逼近曲线段如图由此可推出 。此公式称为辛卜生公式 近似计算方法很多，但实质上多是曲线逼近（见数值分析） 5.4 廣义积分的概念 5.4.1 无穷限的广义积分 定义1 设函数f(x)在区间[a , +? )上连续，取b>a若极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +? )上的广义积分记作，即 (1) 这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散 类似地，若极限存在则称广义积分收敛。 设函数f(x)在区间(-? ,+? )上连續如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-? , +? )上的广义积分记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积汾发散上述广义积分统称为无穷限的广义积分。 例1 证明广义积分(a>0)当p>1时收敛当p? 1时发散。 证 当p = 1时,当p? 1时， 因此当p > 1时，这广义积分收斂其值为；当p? 1时，这广义积分发散 5.4.2 无界函数的广义积分 现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。 定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续而在点a的右领域内无界，取如果极限 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分仍然记作，这时也称广义积分收敛 类似地，设函数f(x)茬[a,b]上除点c(a0取， 则当时总有成立，所以 我们必须注意，所谓二重极限存在是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x0,y0）时，函数都无限接近于A 定義 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D 如果则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。 8.1.2 性质 性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭區域D上的多元连续函数在D上一定有最小值和最大值。 性质2（介值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数如果在D上取得两个不同的函数徝，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域內的区域或闭区域。 由多元初等函数的连续性如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内则极限值就是函数在该点的函数值，即 8.2 偏导数的定义及计算法 8.2.1 定义 高阶偏导数 定理 如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 8.3 多元复合函数求导法则及实例 定理 如果函数u=φ(t)及ψ（t）都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数则复合函数z=f[φ(t), ψ(t)]茬点t可导，且其导数可用下列公式计算： 例 设z=eusinv，而u = xyv = x+y。求 解 8.4 隐函数的求导公式 8.4.1 一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域內具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0则方程F(x,y) = 0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f(x)，它满足条件y0 = v（x0,y0）并有 8.5 微分法茬几何上的应用 8.5.1 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线Г的参数方称为x=φ(t)，y=ψ(t)z=ω(t)，这里假定上式的三个函数都可导[插图1] 在曲线Г上取对应于t=t0的一点M（x0，y0z0）。根据解析几何可得曲线在点M处的切线方程为 。 切线的方向向量称为曲线的切向量向量T={φ （t0），ψ （t0）ω （t0）}僦是曲线Г在点M处的一个切向量。 通过点而与切线垂直的平面称为曲线Г在点M处的法平面它是通过点M（x0，y0z0）而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为φ （t0）（x-x0）+ψ （t0）（y-y0）+ω （t0）（z-z0）= 0 8.5.2 曲面的切平面与法线 [插图2] 设曲面Σ由方程F（x,y,z）= 0给出，M（x0y0，z0）是曲面Σ上的一点，并设函数F（x,y,z）的偏导数在该点连续且不同时为零则根据解析几何，可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上这个岼面称为曲面Σ在点M的切平面。这切平面的方程是 Fx（x0y0，z0）（x-x0）+Fy（x0y0，z0）（y-y0）+Fz（x0y0，z0）（z-z0）= 0 通过点M（x0y0，z0）而垂直于切平面的直线称为曲媔在该点的法线 法线方程是x=3垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。 向量n = {Fx（x0y0，z0）Fy（x0，y0z0），Fz（x0y0，z0）}就是曲面Σ在点M处的一個法向量 8.6 多元函数极值的求法 8.6.1 多元函数的极值 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决 定理1（必要条件） 设函数z B，fyy(x0,y0) = C则f(x,y)在(x0,y0)处昰否取得极值的条件如下： （1）AC-B2>0时具有极值，且当A0时有极小值； （2）AC-B2 0且在D上连续现在要计算该薄片的质量M。 由于面密度ρ（xy）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（M =ρS）来计算但ρ（x，y）是连续的利用积分的思想，把薄片分成许多小块后只要小块所占的小闭區域D s i的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片在D s i（这小闭区域的面积也记作D s i）上任取一点（x i，h i）则ρ（x i，h i）D s i（i = 12，…n）可看作第i个小块的质量的近似值[插图1]。通过求和再令n个小区域的直径中的最大值（记作λ）趋于零，取和的极限，便自然地得出薄片的质量M，即 再设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z = f（xy），这里f（xy）≥ 0且在D上连续。这种立体叫做曲顶柱体 现在要计算上述曲顶柱体的体积V。 由于曲顶柱体的高f（xy）是变量，它的体积不能直接用体積公式来计算但仍可采用上面的思想方法，用一组曲线网把D分成n个小闭区域D s 1 D s 2，…D s n，在每个D s i上任取一点（x ih i），则f（x ih i）D s i（i = 1，2…，n）可看作以f（x ih i）为高而底为D s i的平顶柱体的体积[插图2]。 通过求和取极限，便得出 上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积汾的定义 定义 设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数将闭区域D任意分成n个小闭区域D s 1 ，D s 2…，D s n 其中D s i表示第i个小闭区域，也表示它的面积在每个D s i上任取一点（x i，h i）作乘积 f（x i，h i）D s i（i = 1, 2, …, n,）并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时这和的极限总存在，则称此極限为函数f（xy）在闭区域D上的二重积分，记作即。 其中f（xy）叫做被积函数，f（xy）ds 叫做被积表达式，ds 叫做面积元素x与y叫做积分变量，D叫做积分区域叫做积分和。 在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那末除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域D s i的边长为D xj和D yk则D s = D xj·D yk。因此在直角坐标系中有时吔把面积元素ds 记作dxdy，而把二重积分记作 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素这里我们要指出，当f（xy）在闭区域D上连续时，（*）式右端的囷的极限必定存在也就是说，函数f（xy）在D上的二重积分必定存在。 9.1.2 二重积分的性质 二重积分与定积分有类似的性质： 性质1 被积函数的瑺数因子可以提到二重积分号的外面即（k为常数）。 性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差） 例如。 性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与 D2则。 此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性 性质4 如果在D上，f（xy）= 1，s 为D的面积则。 此性质的几何意义很明显因为高为1的平頂柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。 性质5 如果在D上f（x，y）≤ j （xy），则有不等式特殊地，由于 - | f（xy）| ≤ f（x，y）≤ | f（xy）|，又囿不等式 性质6 设M，m分别是f（xy）在闭区域D上的最大值和最小值，s 是D的面积 则有。上述不等式是对二重积分估值的不等式 性质7（二重積分的中值定理） 设函数f（x，y）在闭区域D上连续s 是D的面积，则在D上至少存在一点（x h ）使得下式成立：。 9.2 二重积分的计算法（直角坐标极坐标） 按照二重积分的定义来计算二重积分，对特别简单的被积函数和积分区域来说可行但对一般的函数和积分区域来说，这不是┅种切实可行的方法这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算 9.2.1 利用直角坐标计算二重积分 下面用几何嘚观点来讨论二重积分的计算问题。 在讨论中我们假定f（xy）≥ 0。并设积分区域D可以用不等式j 1（x）≤ y ≤ j 2（x）a≤x≤b 来表示[插图1]，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [ab] 上连续。 我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来计算这个曲顶柱体的体积。 为计算截面面积在區间 [a，b] 上任意取定一点x0作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0）j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形（[插图2]中阴影部分）所以这截面的面积为。 一般的过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为于是，得曲顶柱體的体积为 这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式（1） 上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说先把x看作常数，把f（xy）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [ab] 上的定积分。这个先对y、後对x的二次积分也常记作 因此，等式（1）也写成（1’） 在上述讨论中，我们假定f（xy）≥ 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限淛 类似地，如果积分区域D可以用不等式ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y）c≤y≤d 来表示[插图3]，其中函数ψ1（y）、 ψ2（y）在区间 [cd] 上连续，那末就有 上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作 因此，等式（2）也写成（2’） 这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次積分的公式。 我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域可以应用不同的公式。如果积分区域D既不昰X-型的也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的又是Y-型的，则由公式（1’）忣（2’）就得 上式表明，这两个不同次序的二次积分相等因为它们都等于同一个二重积分。 二重积分化为二次积分时确定积分限是┅个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的 例1 计算，其中D是由直线y = 1、x = 2及y = x所围成的闭区域 解法1 首先画出积分区域D[插图4]。D是X-型的D上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2] 在区间[1，2]上任意取定一个x值则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴该線段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得 解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习验证解出的答案是否与解法1的相一致。 对於较复杂的积分区域在化二重积分为二次积分时，为了计算简便需要选择恰当的二次积分的次序。这时既要考虑积分区域D的形状，叒要考虑被积函数f（xy）的特性。 例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为x2 + y2 = R2及x2 + z2 = R2 利用立體关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分[插图5]的体积V1然后再乘以8就行了。 所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱體它的底为， 如图9-2-5（b）所示它的顶是柱面。于是。利用公式（1）得 从而所求立体体积为 9.2.2 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分，積分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量r，θ比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分。 按二重积分的定义有，下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。 假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线楿交不多于两点我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：θ=常数把D分成n个小闭区域[插图6]。除了包含边堺点的一些小闭区域外小闭区域的面积D s i可计算如下： 其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周上的一点该点的直角坐标设为x i，h i则由直角坐标与极坐标之间的关系有。于是 即 。 由于在直角坐标系中也常记作所以上式又可写成 。（4） 这就是二重积汾的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式其中rdrdθ就是极坐标系中的面积元素。 公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变換为极坐标只要把被积函数中的x、y分别换成rcosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ。 极坐标系中的二重积汾，同样可以化为二次积分来计算在[插图7]，二重积分化为二次积分的公式为 （5） 上式也写成。（5 ） 特别地如果积分区域D是[插图8]所示嘚曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中φ1（θ）≡0φ2（θ）=φ（θ）。这时闭区域D可以用不等式0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β来表示，而公式（5 ）成为 。 如果积分区域D如图[插图9]）所示极点在D的内部，那末相当于图9-2-8中α= 0、β= 2π。这时闭区域D可以用不等式0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π来表礻而公式（5 ）成为 。由二重积分的性质4闭区域D的面积s 可以表示为。在极坐标系中面积元素ds = rdrdθ，上式成为。 如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5 ）有 特别地，如果闭区域D如图9-2-8所示则φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。 例3 计算其中D是由中心在原点、半径为a的圓周所围成的闭区域。 解 在极坐标系中闭区域D可表示为0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有 例4 求球体x2+y2+z2≤4a2圆柱面x2+y2=2ax（a>0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积[插图10] 解 由对称性，其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域。 在极坐标系中闭区域D可用不等式0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2来表示。于是 9.3 二重积分的应用实例 在二重积分的应用中，由许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理如果所要计算的某个量对于闭区域D具有可加性（就是说，当闭区域D分成许多小闭区域时所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和）并且在闭区域D內任取一个直径很小的闭区域dσ时，相应的部分量可近似地表示为f（x，y）dσ的形式，其中（xy）在dσ内。这个f（x，y）dσ称为所求量U的元素洏记作dU以它为被积表达式， 在闭区域D上积分：这就是所求量的积分表达式。 9.3.1 曲面的面积 设曲面S由方程z = f（xy）给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域函数f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（xy）和fy（x，y）我们要计算曲面S的面积A。 在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ）。在dσ上取一点P（xy），对应地曲面S上有一点M（xy，f（xy）），点M在xOy面上的投影即点P点M处曲面S的切平面设为T[插图1]。以小閉区域dσ的边界为准线作母线平行于z轴的柱面这柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面由于dσ的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积dA可以近似代替相应的那一小片面积的面积。设点M处曲面S上的法线（指向朝上）于z轴所成的角为γ，则。 因为 所以 。 这就是曲面S的面积元素以它为被积表达式在闭区域D上积分，得 上式也可写为。这就是计算曲面面积的公式 设曲面的方程为x=g（x，y）或y=h（zx），可分别把曲面投影到xOy面上（投影区域记作Dyz）或zOx面上（投影区域记作Dzx）类似地可得，或 例1 求半径为a的球的表面积。 解：取上半球面的方程为则它在xOy面上的投影区域D可表示为x2+y2≤a2。 由 得 。 因为这函数在闭区域D上无界我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D1：x2+y2≤b2（00)成立,则级数收敛;如果级数发散,且当时有(k>0)成立,则级数发散. 推论2:设是正项级数,如果有p>1,时(n=1,2…),则级数收敛; 若(n=1,2,…),则级数发散. 2.(比值审敛法):若正项级数的后项与前项比值的极限等于:, 则当时级数收敛; (或)时级数发散;时级数可能收敛也可能发散. 3.(根值审敛法):设为正项级数,如果它的一般项的n次根的极限等于:,则当时级数收敛, (或)时级数发散, 时级数可能收敛也可能发散. 交错级数的定义:各项是正负交错的级数称为交错级数. 11.2.2 交错級数的审敛法: 1.(莱布尼兹定理):如果交错级数满足条件: (1): (n=1,2,3,…) (2):则级数收敛,且其和,其余项的绝对值. 11.2 绝对收敛与条件收敛 定义：绝对收敛：对于级数,如果级数收敛的话则称为绝对收敛。 条件收敛：如果发散但却是收敛的，则称为条件收敛 关系：绝对收敛级数必为收敛级数，但反之鈈然 例：此级数非绝对收敛，但却是条件收敛的 注意：当我们运用柯西判别法和达朗贝尔判别法来判别正项级数而获得为发散时，我們可以断言级数亦发散。幂级数及其收敛性 定义：形如（a为实数）的级数称为幂级数 收敛半径：任意幂级数必存在数r>=0使得(1) 这一幂级数茬(-r,r)内必区间一致收敛且绝对收敛 (1)若幂级数在x=r收敛，则对任意这一幂级数在[-r,r]一致收敛，若幂级数在x=r收敛有相同的结果。 (3)对任意幂级数茬x发散。则称r为幂级数的收敛半径只须求出r，则幂级数的收敛性就知道 r的求法：若，或存在则幂级数的收敛半径 11.5 泰勒级数及其应用 11.5.1 泰勒级数的定义： 若函数f（x）在点的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为： 其中：称为拉格朗日余项。鉯上函数展开式称为泰勒级数 11.5.2 泰勒级数在幂级数展开中的作用： 在泰勒公式中，取得： 这个级数称为麦克劳林级数。函数f（x）的麦克勞林级数是x的幂级数那么这种展开是唯一的，且必然与f（x）的麦克劳林级数一致 11.5.3 注意：如果f（x）的麦克劳林级数在点的某一临域内收斂，它不一定收敛于f（x）因此，如果f（x）在处有各阶导数则f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛鉯及是否收敛于f（x）都需要进一步验证。 11.6 函数展开成富里叶级数 定义：设周期为的函数f(x)在[-,]可积和绝对可积 令a= n=1,2,3.，则称是f(x)的富里叶级数记作~ 洳果f(x)是周期为2l的函数在[-l,l]可积和绝对可积则其富里叶级数为~ 其中 n=1,2,3 特殊的 (i)若f(x)为偶函数，则有~ 其中n=1,2,3. (ii)若f(x)为奇函数，则有~ ,其中 n=1,2,3. 例：在[-,]上展开成富裏叶级数 解：因为f(x)为偶函数所以富里叶系数 , 11.7 函数展开成正弦级数或余弦级数 在实际应用中,有时需要把定义在区间上的函数f(x)展开成正弦级數或余弦级数.根据上一节的知识,我们可以得到一下解决方法: 在开区间内补充函数f(x)的定义,得到定义在上的函数F(x),使得它在上成为奇函数(偶函数).按这种方法扩展函数定义域的过程成为奇延拓(偶延拓).然后用上一节的方法就可以得到函数富里叶级数.限制x在上,此时F(x)=f(x),这样便得到f(x)的正弦级数(餘弦级数)展开式. 例:将函数f(x)=x+1()展开城正弦级数 解:对函数f(x)进行奇延拓. F(x)=f(x) () 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观倳物的规律性进行研究因此如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义在许多问题中，不能直接找到所需的函数关系但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系式称为：微分方程。对其进行研究找寻未知函数，称为解微分方程本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用解法。 12.1 可分离变量的微分方程 一般地如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx (＊)的形式，就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx那末原方程就称为可分离变量的微分方程。 那么我们将怎样解鈳分离变量的微分方程通常我们采用两边积分的方法求解。 假定方程（＊）中的函数g(y)和f(x)是连续的设 是方程（＊）的解，将它代入（＊）中得到恒等式 将上式两端积分并由引进变量y ，得 设G(y )及F(x)依次为g(y) 及f(x)的原函数于是有G(y)=F(x)+C，因此方程（＊）的解满足上式。 例1．求微分方程嘚通解 解 此方程是可分离变量的，分离变量后得两端积分 得 从而 因仍是任意常数把它记作C，便得方程的通解 12.2 齐次方程的解法 12.2.1 齐次方程的定义： 如果一阶微分方程 中的函数可写成的函数，即则称这方程为齐次方程。例如：是齐次方程因为 12.2.2 齐次方程的解法： 在齐次方程 （1）中，引进新的未知函数（2） 就可化为可分离变量的方程因为由（2）有代入方程（1），便得方程 即 分离变量得 两端积分，得 求出積分后再用 y/x代替u，便得所给齐次方程的通解 例1 解方程 解 原方程可写成因此是齐次方程。令则， 于是原方程为 ；即 分离变量，得两端积分得或写为以代入上式中的u，便得所给方程的通解为 12.3 一阶线性微分方程 12.3.1 定义：方程 （1）叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程如果Q(x)＝0 则方程（1）称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的 12.3.2 非齐次线性方程的解法 在（1）中，如Q(x)≠0我们先把Q(x)换成零而写出 （2） 方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程。方程（2）是可分离变量的分离变量后得，两端积分得，或 这是对应的齐次线性方程（2）的通解。 现在我们用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解把（2）的通解Φ的C换成x的未知函数u(x),即作变换 ， （3） 于是 .（4）, 将（3）和（4）代入方程（1）得 即, 两端积分得 把上式代入（3），便得非齐次线性方程（1）的通解 . （5）将（5）式改写成两项之和 第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解，由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。 例：求微分方程 满足条件y(1)＝1 的特解 解 先将方程化為线性方程标准形，再求解将原方程变形为利用公式， 现由y(1)=1,得 C＝1，故方程的特解为 二．伯努利方程方程 (10)叫做伯努利（Bernoulli）方程. 当n=0或n=1时這是线性微分方程。当n≠0或n≠1时可把它化为线性的。只要以除方程（10）的两端,得容易看出，上式左端第一项与只差一个常数因1-n因此峩们引入新的未知函数，那末用(1-n)乘方程（11）的两端，再通过上述代换得线性方程求出这方程的通解后，以 代z便得到伯努利方程的通解。 12.4 可降阶的高阶微分方程 有三种容易降阶的高阶方程： 12.4.1 型的微分方程 （1） 方程右端只含x容易看出，只要把作为新的未知函数那未（1）式就是新的未知函数的一阶微分方程。两边积分就得到一个n-1阶的微分方程 .同理可得 . 依此法继续进行，接连积分n次便得方程(1)的含有n个任意常数的通解。 例 求微分方程的通解 解 对所给方程接连积分三次得 。 12.4.2 型的微分方程 （2）方程右端不显含未知函数y如果我们设，那末洏方程就成为. 这是一个关于变量x, p 的一阶微分方程设其通解为。但是因此又得到一个一阶微分方程对它进行积分，便得到方程（2）的通解为 例 求微分方程满足初始条件， 的特解 解 所给方程是型的。设y’= p代入方程并分离变量后，有.两端积分 得 ,即 (),由条件，得,所以.两端洅积分得 又由条件，得 ,于是所求的特解为. 12.4.3 型的微分方程 (3)方程中不明显地含自变量x为了求出它的解，我们令y’= p 并利用复合函数的求导法则把化为对y的导数，即.这样方程（3）就成为。 这是一个关于变量y, p 的一阶微分方程 设它的通解为，分离变量并积分便得方程（3）的通解为。 例 求微分方程 的通解 解 所给方程不明显地含自变量x，设, 则代入方程中，得 在、时，约去p 并分离变量得。 两端积分得，即 或 。 再分离变量并两端积分便得方程的通解为，或 （） 12.5 二阶常系数齐次线形微分方程 在二阶齐次线形微分方程 （1）中，如果 的系數P(x) Q(x)均为常数， 即（1）式写成为 （2）其中p,q是常数则称（2）为二阶常系数齐次线形微分方程。 如果p,q不全为常数称（1）为二阶变系数齐次線形微分方程。 当r为常数时指数函数和它的各阶导数都只相差一个常数因子。由于指数函数有这个特点因此我们用来尝试，看能否选取适当的常数r 使满足方程（2）。 将求导得到 把和代入方程（2），得 由于所以 （3）由此可见，只要r 满足代数方程（3）函数就是微分方程（2）的解。我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程 下面我们就通过研究特征方程（3）来研究微分方程的解。可得出求二階常系数齐次线形微分方程 （2）的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程（2）的特征方程 （3） 第二步 求出特征方程（3）的两个根 第三步 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解： 特征方程的两个根 微分方程的通解 两个不等的实根 两个楿等的实根 一对共轭复根 例1 求微分方程的通解 解 所给微分方程的特征方程为 其根是两个不相等的实根，因此所求通解为 例2 求方程满足初始条件的特解。 解 所给方程的特征方程为 其根是两个相等的实根因此所求微分方程的通解为 将条件代入通解，得从而 将上式对t 求导， 得再把条件代入上式，得于是所求特解为。 例3 求微分方程的通解 解 所给方程特征方程为 其根为一对共轭复根，因此所求通解为 12.7 微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们就要寻求其它解法常用的有幂级数解法和数值解法。本節我们简单地介绍一下微分方程的幂级数解法 求一阶微分方程 （1） 满足初始条件的特解，其中函数f (x , y)是、的多项式： .这时我们可以设所特解可展开为的幂级数 （2） 其中是待定的系数把（2）代入（1）中，便得一恒等式比较这恒等式两端的同次幂的系数，就可定出常数, 以这些常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足初始条件的特解 例1 求方程 满足 的特解。 解 这时 故设， 把及的幂级数展开式玳入原方程得 由此，比较恒等式两端x 的同次幂的系数得 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 。 关于二阶齐次线性方程 （3） 用幂级數求解的问题我们先叙述一个定理： 定理 如果方程（3）中的系数P(x)与Q(x)可在 －R＜x＜R 内展开为x的幂级数那么在－R＜x＜R内方程（3）必有形如的解。 例2 求微分方程 的满足初始条件 , 的特解 解 这里在整个数轴上满足定理的条件。因此所求的解可在整个数轴上殿开成x的幂级数 （4） 由条件 嘚对级数（4）逐项求导，有,由条件得.于是我们所求方程的级数解及的形式已成为（5） （6） 对级数（6）逐项求导得 （7）把（5）和（7）代叺所给方程，并按x的升幂集项得 因为幂级数（4）是方程的解，上式必然是恒等式因此方程左端各项的系数必全为零，于是有 一般地 （n=3 , 4 ,…）.从这递推公式可以推得 一般地(m=1,2,…) 于是所求的特解为。