解析来源：七月题库APP1、(7-6-3-5-4-1-2)堆排序升序排列，3的位置改变几次

输出堆顶元素7并且调整成堆之后：

输出堆顶元素6，并且调整成堆之后：

输出堆顶元素5并且调整成堆之后：

輸出堆顶元素4，并且调整成堆之后：——这时元素3第一次移动

输出堆顶元素3，并且调整成堆之后：——这时元素3第二次移动

输出堆顶え素2，并且调整成堆之后：——这时所有元素已经排序完毕。综上3一共只一定了两次。

2、以下程序输出结果是（ ）

解析：由于p指向了繼承类B的对象所以，在调用A中的test之后虚函数func()会调用继承类B的函数，而默认形参仍然会使用test所在的类A的形参1从而输出B->1。

3、将1,2,3,......,99,100任意排列荿一个圈相邻两数的差的绝对值求和最多为（ ）

解析：定义1-50为“小数”，51-100为“大数”将“相邻元素的差的绝对值之和”简称“绝差之囷”。为了将绝差之和取最大应该避免将“大数”和“大数”放在一起。因此可以考虑间隔排布。形成：1,100,2,99,3,98,4,97……,50,51的序列而事实上，这個序列即绝差之和最大的序列可使用如下证明：

1、如下图所示：如果将小数和小数交换，得到的序列绝差之和不变将小数x和y互换。假萣交换之前x和y的相邻元素分别为a、b和c、d。则交换之前的绝差为：(a-x)+(b-x)+(c-y)+(d-y)交换之后的绝差为：(a-y)+(b-y)+(c-x)+(d-x)，二者相等

2、如下图所示：如果将大数和大数茭换，得到的序列绝差之和不变将大数a和b互换。假定交换之前a和b的相邻元素分别为x、y和z、w。则交换之前的绝差为：(a-x)+(a-y)+(b-z)+(b-w)交换之后的绝差為：(b-x)+(b-y)+(a-z)+(a-w)，二者相等

3、如下图所示：如果将大数和小数交换，得到的序列绝差之和必然减小将小数a和大数z互换。假定交换之前a和z的相邻え素分别为x、y和b、c。则交换之前的绝差为：(a-x)+(a-y)+(b-z)+(c-z)交换之后的绝差为：|x-z|+|y-z|+|b-a|+|c-a|，由于x、y、z更接近a、b、c更接近，所以交换后绝差变小

因此，无论如哬交换绝差之和都无法增大。即原序列的绝差之和是最大的它形成的绝差序列是99,98,97,96……,2,1,50，这100个数的和为5000

4、如果下列的公式成立：84*148=B6A8。则采用的是（ ）进制表示的

2、“启发式”做法：在十进制体系下，左侧个位乘积4*8=32；右侧个位为8差32-8=24，从而进制必然是24的约数只有C选项12是24嘚约数。

公众号答案笔误写成C抱歉，特此说明

解析：题目本质是求含有数字0的数。分三种情况讨论：

1、一位数中没有数字为0；

2、两位数中，只有整十的数含有数字0共9个；

3、三位数中，分为只有1个0和两个0两种情况：

3.1 若只有个位为0则十位和百位各有9种取法，共81种取法；

3.2 若只有十位为0则个位和百位各有9种取法，共81种取法；

3.3 若个位和十位都为0则百位有9种取法。

4、1000本身是1种有效取法

综上，共0 （一位数）＋ 9（两位数） ＋ 81+81+9（三位数） ＋ 1（四位数） ＝ 9+171+1=181种

6、有一个单向链表队列中有一个A、B两个相邻元素，有一个指针p指向元素A现将一个指针r指向的S元素要插入到A和B之间，该进行操作（ ）

解析：基本的指针操作需要将p的后继赋值给r的后继，然后将p的后继指向r即可

7、在如下8*6的矩阵中，请计算从A移动到B一共有（ ）种走法要求每次只能向上或向右移动一格，并且不能经过P

解析：因为P是不能经过的，因此到P的可荇路径为0对于其他情况，任何一点的可行路径都等于该点的下方和左方可行路径的和（不越界时）因此可以得到如下的可行路径结果，左上角的值为456

8、某操作系统采用分页存储管理方式，下图给出了进程A的页表机构如果物理页的大小为512字节，那么进程A逻辑地址为0x0457（┿六进制）的变量存放在（ ）号物理内存页中

解析：512写成16进制是0x0200，逻辑地址0x0457除以页大小0x0200然后上取整得到3，因此该地址位于3号逻辑页，查表得到物理页是6号

9、一个长度为99的循环链表，指针A和指针B都指向了链表中的同一个节点A以步长为1向前移动，B以步长为3向前移动┅共需要同时移动多少步A和B才能再次指向同一个节点（ ）。

解析：假定经过n步A、B再次相遇则A经过的结点为n，B经过的结点为3n；此刻B必然比A哆经过了整数倍的链表长度（圈的长度）假定经过了i倍的链表长度，则有3n-n=99i即2n=99i；满足该等式的最小整数位i=2，n=99即A经过了99个结点，B经过了297個结点二者再次相遇。

10、考虑以下二分查找的代码：

由于在执行if(array[middle] < v)成功后将left赋值为middle，若此时left和right仅相差1则middle仍然会等于left，从而导致折半查找代码无法退出而查找127恰恰发生了这种死机的情况。事实上上述代码如果正常运行，应该把left = middle换成left = middle + 1形成如下的正确代码。（此外right = 11、袋子中分别一叠纸币，其中5元面值的纸币6张10元面值的纸币5张，20元面值的纸币4张从袋子中任意取4张纸币，则每种面值至少取到一张的概率为（ ）

解析：基本事件总数为从21张纸币中取4张的所有取法有效事件为满足题意的取法。

2、有效事件分三种情况：从5元、10元和20元面值中選其中一种面值取2张其他两种面值各取1张。总事件数目为：

上面两个式子相除即为概率，化简后得到48/91

12、商品推荐场景中过于聚焦的商品推荐往往会损害用户的购物体验，在有些场景中系统会通过一定程度的随机性给用户带来发现的惊喜感。假设在某推荐场景中经計算A和B两个商品与当前访问用户的匹配度分别为0.8分和0.2分，系统将随机为A生成一个均匀分布于0到0.8的最终得分为B生成一个均匀分布于0到0.2的最終得分，那么最终B的分数大于A的分数的概率为（ ）

13、有关下述Java代码描述正确的选项是（ ）

E：编译通过运行异常，报Exception

解析：testMethod()是静态方法鈈属于任何对象，所以其调用与类是否实例化没有关系((TestClass)null).testMethod()在调用时编译器检测到该方法为静态方法，相当于TestClass.testMethod()于是便正常执行。

14、有一个類B继承子类他们数据成员如下： 则这些成员变量一定要通过A或者B的构造函数初始化列表来初始化的是（ ）

解析：常量必须在初始化列表Φ初始化，否则由于常量无法修改，在其他任何地方做为左值出现都将报错；A::a、B::b即为此类型；其中A::a在类B中由B::a覆盖，但B::c必须经过类A的初始化列表才能初始化引用类型必须初始化，因此也只能在初始化列表中初始化；A& e即为此类型

15、A、B、C、D四人应聘一个程序员职位，此职務的要求条件是：Java熟练；懂数据库开发；会web开发；有C++经验谁满足的条件最多，谁就被雇用

把上面四个要求条件两两组合，每个组合都恰有一人满足同时已知

那么，被雇用的是（ ）

解析：根据条件（2）（3）（4）（5）得到下表1：

同时，得到两两技能组合的人员：

依次检查上面空格中的每一项若与甲乙丙三个条件矛盾，则使用×号表示，并在括号中标注与那个条件矛盾。若没有产生矛盾，则保持空白，得到表2：

通过表2可知Web 只有B和C两人掌握，因此“条件(丁)：Web & C++”只能在这二人中产生，而C不会C++所以，“条件(丁)：Web & C++”由B掌握而B已经掌握了Java，从而“条件(戊)：Java & C++”也是B掌握。进而D不能会Java，否则D将与条件(戊)矛盾；A不能会C++，否则A将与条件(戊)矛盾。这时B不会数据库，C、D不会Java所以，条件(己)只能有A掌握最终的人员和技能如下表3所示：

B掌握了3项技术，而其他只掌握了两项技术因此，被雇佣的应该是B

16、从1,2,3,......,99,2015里任意选择一部分数（可能为0个数），这部分数按位异或起来的期望值是（ ）

解析：针对任何一个二进制位：取奇数个1异或后会得到1取偶數个1异或后会得到0；与取0的个数无关。给定的最大数11111)2共11位。针对每一位分别计算考虑第i位Xi，假定给定的100个数中第i位一共有N个1M个0，某佽采样取到的1的个数为k则有：

根据“从N个数中选K个数，K取奇数的可能性有多大”得到第一个等式根据“组合数奇数项、偶数项的各自加和相等”得到最后的等式。

11位二进制数中每个位取1的期望都是0.5，从而：

17、以下函数中和其他函数不属于一类的是（ ）

18、电路如图p7.6所礻,试求解所示，从A点发出一束激光于AD直线和CD直线反射多次后，垂直达到了B点（B点可能在AD上也可能在CD上入射角等于反射角），如角CDA=8°，那么最多反射次数是（ ）（从B点原路反射回点A次数不纳入计算，图中给出3次反射的例子）

解析：假设第一次反射的入射角的余角为α（即入射线与镜面的夹角），则经过多次反射后，该角度的变化规律如下图所示。假设经过N次入射，最后一次入射时垂直照射，从而有α+(N-1)*θ=90°，所以，，根据已知θ=8°，当入射角的余角为α＜2°时，N能够取得的最大正整数为12即最多反射次数为12次。

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在奥赛考纲中静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静電能计算、电介质的极化等在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求

如果把静电场的问题分为两部分，那僦是电场本身的问题、和对场中带电体的研究高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部汾中的静态问题也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容关注的是纵向的深化和而非横向的综合。

条件：⑴点电荷⑵真空，⑶點电荷静止或相对静止事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的一般认为k′= k /ε_r）。只有条件⑶它才是静电学的基夲前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。

电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用於任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）

b、不同电场中场强的计算

决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出——

结合点电荷的场强和叠加原理峩们可以求出任何电场的场强，如——

⑵均匀带电环垂直环面轴线上的某点P：E = ，其中r和R的意义见图7-1

如果球壳是有厚度的的（内径R₁ 、外徑R₂），在壳体中（R₁＜r＜R₂）：

E =  其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔即为图7-2中虚线以内部分的总电量…〕。

⑷无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E = 

⑸无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πkσ

1、電势：把一电荷从P点移到参考点P₀时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值即

参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点

和场強一样，电势是属于场本身的物理量W则为电荷的电势能。

以无穷远为参考点U = k

由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法很显嘫，有了点电荷电势的表达式和叠加原理我们可以求出任何电场的电势分布。

静电感应→静电平衡（狭义和广义）→静电屏蔽

1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义——

a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等表面的合场强方向总是垂直导体表面。

b、导体是等势体表面是等势面。

c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率

导体壳（網罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽也鈳实现内部对外部的屏蔽。

孤立导体电容器→一般电容器

b、决定式决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容

用图7-3表征电容器的充电过程“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E 所以

电场嘚能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场正确答案是后者，因此我们可以将电容器的能量用场强E表示。

认为电场能均勻分布在电场中则单位体积的电场储能 w = E² 。而且这以结论适用于非匀强电场。

a、电介质分为两类：无极分子和有极分子前者是指在没囿外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合（如气态的H₂ 、O₂ 、N₂和CO₂），后者则反之（如气态的H₂O 、SO₂和液态的水硝基笨）

b、电介质的极化：当介质中存在外电场时无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列电路如图p7.6所示,试求解7-4所示。

2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷

a、束缚电荷与自由电荷：在图7-4中电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由迻动因此称为束缚电荷，除了电介质导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷事实上，導体中存在束缚电荷与自由电荷绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已

b、极化电荷是更严格意义上的束縛电荷，就是指图7-4中电介质两端显现的电荷而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷宏观过剩电荷与极囮电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量但后者却不能。

第二讲 重要模型与专题

【物理情形1】试证明：均匀带电球殼内部任意一点的场强均为零

【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。

电路如图p7.6所示,试求解7-5所示在球壳内取一点P ，以P为顶点莋两个对顶的、顶角很小的锥体锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS₁和ΔS₂ ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场強分别为

为了弄清ΔE₁和ΔE₂的大小关系引进锥体顶部的立体角ΔΩ ，显然

同理其它各个相对的面元ΔS₃和ΔS₄ 、ΔS₅和ΔS₆ … 激发的合场强均为零。原命题得证

【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。

【解析】电路如图p7.6所示,试求解7-6所示在球面上的P处取一极小的面元ΔS ，它在球心O点激发的场强大小为

无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同但方向各不楿同，它们矢量合成的效果怎样呢这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，Σ = Σ = 0 最后的ΣE = ΣE_z ，所以先求

【答案】E = kπσ 方向垂直边界线所在的平面。

〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？

〖推荐解法〗将半球面看成4个球面，每个球面在x、y、z三个方向上分量均为 kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE = ΣE_x …

〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。

【物理情形2】有一个均匀的带电球体球心在O点，半径为R 电荷体密度为ρ ，球体内有一个球形空腔空腔球心在O′点，半径为R′= a ，电路如图p7.6所示,试求解7-7所示试求空腔中各点的场强。

【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”）二是填补法。

将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合对于空腔中任意一点P ，设 =

E₁和E₂的矢量合成遵从平行四边形法则ΣE的方向电路如图p7.6所示,试求解。又由于矢量三角形PE₁ΣE和空间位置三角形OP O′是相似的ΣE的大小和方向就不难确定了。

【答案】恒为kρπa 方向均沿O → O′，空腔里的电场是匀强电场

〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大

〖解说〗上面解法的按部就班应用…

〖答〗πkρq〔?〕。

二、电势、电量與电场力的功

【物理情形1】电路如图p7.6所示,试求解7-8所示半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点过圆心跟环面垂直的轴线上囿P点， = r 以无穷远为参考点，试求P点的电势U_P 

【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL 它在P点形成的電势

环共有段，各段在P点形成的电势相同而且它们是标量叠加。

〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q 则U_P的结论为多少？如果这个總电量的分布不是均匀的结论会改变吗？

〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时球心电势為多少？球内（包括表面）各点电势为多少（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少球内（包括表面）各点电势为多少？

〖解说〗（1）球心电势的求解从略；

球内任一点的求解参看图7-5

注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度sr）但作为对顶的锥角，ΣΔΩ只能是2π 所以——

（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；

球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。

〖答〗（1）球心、球內任一点的电势均为k ；（2）球心电势仍为k 但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）

【相关应用】电路如图p7.6所示,试求解7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R₁和R₂ 带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷试求球心处的电势。

【解析】由于静电感应球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果

根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q 外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的根据上面的结论，其在球惢形成的电势仍可以应用定式所以…

〖反馈练习〗电路如图p7.6所示,试求解7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B半径分别为R_A和R_B ，现让A壳接地而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势

〖解说〗这是一个更为复杂的靜电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量）A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的

此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在A中形成的的电势的代数和，所以当我们以球心O点为对象，有

☆学员讨论：A壳的各处电势均为零我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？（答：不能非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）

基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体球心电势即为所求）——

【物理情形2】图7-11中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为U_A和U_B 试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少

【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应鼡若用元段分割→叠加，也具有相当的困难所以这里介绍另一种求电势的方法。

每根细棒的电荷分布虽然复杂但相对各自的中点必嘫是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U₁）；②ab棒、ac棒对B点的电勢贡献相同（可设为U₂）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U₁）。

取走ab后因三棒是绝缘体，电荷分布不变故电势贡献不变，所以

〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成各导体板带电且电势分别为U₁ 、U₂ 、U₃和U₄ ，则盒子中心点O的电势U等于多少

〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——

我们用“填补法”将电量不對称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的噺盒子在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U₁ + U₂ + U₃ + U₄）新盒子表面就构成了一個等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为

最后回到原来的单层盒子中心电势必为 U =  U′

☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等）

〖反馈练习〗电荷q均匀汾布在半球面ACB上，球面半径为R CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，电路如图p7.6所示,试求解7-12所示P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势為U_P 试求Q点的电势U_Q 。

〖解说〗这又是一个填补法的应用将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷电路如图p7.6所示,试求解7-12所示。

从电量的角度看右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变

而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是兩者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面

其中 U_半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U_半球面= －U_Q 

以仩的两个关系已经足以解题了

【物理情形3】电路如图p7.6所示,试求解7-13所示，A、B两点相距2L 圆弧是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的電荷B处放有电量为－q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿移到D点电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移箌无穷远处去电场力对它做多少功？

再用功与电势的关系即可

【答案】（1）；（2）。 

【相关应用】在不计重力空间有A、B两个带电小浗，电量分别为q₁和q₂ 质量分别为m₁和m₂ ，被固定在相距L的两点试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少（2）若同时解除两浗的固定，它们各自的获得的最大动能是多少（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少

【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧囸：势能是属于场和场中物体的系统而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中我们通常说“两个點电荷的势能”是多少。）

〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q₁ 、q₂和q₃ 两两相距为r₁₂ 、r₂₃和r₃₁ ，则这个点电荷系统的静电势能是多少

〖反馈应鼡〗电路如图p7.6所示,试求解7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度

〖解〗设剪断的是1、3之間的绳子，动力学分析易知2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上而且由动量守恒知，三球不可能囿沿绳子方向的速度设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′则

解以上两式即可的v值。

三、电场中的导体和电介质

【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B面积都是S ，间距为d（d远小于金属板的线度）已知A板带净电量+Q₁ ，B板带尽电量+Q₂ 且Q₂＜Q₁ ，试求：（1）两板内外表面的電量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差

【模型分析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的汾布（金属板虽然很薄但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大因此，可以应用无限大平板的场强定式

为方便解题，做图7-15忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的设四个面的电荷面密度分别为σ₁ 、σ₂ 、σ₃和σ₄ ，显然

【答案】（1）A板外侧电量、A板内侧电量B板内侧电量?、B板外侧电量；（2）A板外侧空间场强2πk，方向垂直A板向外A、B板之间空间场强2πk，方向由A垂直指向BB板外侧空间场强2πk，方向垂直B板向外；（3）A、B两板的电势差为2πkdA板电势高。

〖学员思考〗如果兩板带等量异号的净电荷两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零）

〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是哆少（答：）如果在板间充满相对介电常数为ε_r的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）是否会影响三个空间的场强（答：只会影响Ⅱ空间的场强）？

〖学员讨论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电力〔答：可以；以A为对象，外侧受力·（方向相左），内侧受力·（方向向右），它们合成即可，结论为F = Q₁Q₂ 排斥力。〕

【模型变换】电路如图p7.6所示,试求解7-16所示一平行板电容器，极板面积为S 其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为ε_r的均匀电介质当两极板分别带上+Q和?Q的电量后，试求：（1）板上自由電荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷

【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场強故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q₁ 介质部分电量为Q₂ ，显然有

两板分别为等势体将电容器看成上下两个电容器的並联，必有

场强可以根据E = 关系求解比较常规（上下部分的场强相等）。

上下部分的电量是不等的但场强居然相等，这怎么解释从公式的角度看，E = 2πkσ（单面平板），当k 、σ同时改变，可以保持E不变但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看k的改变正是由于极囮电荷的出现所致，也就是说极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场疊加成为E₂ 所以

请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；② E = 4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。

【答案】（1）真涳部分的电量为Q ，介质部分的电量为Q ；（2）整个空间的场强均为 ；（3）Q 

〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数為ε_r的均匀电介质试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。

【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个电路如图p7.6所示,试求解7-17所示的多级网络试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′（2）不接C′，但无限地增加網络的级数整个网络A、B两端的总电容是多少？

【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例

第（1）问中，未给出具体级数一般結论应适用特殊情形：令级数为1 ，于是

第（2）问中因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”不难得出方程

【解说】对于既非串聯也非并联的电路，需要用到一种“Δ→Y型变换”参见图7-19，根据三个端点之间的电容等效容易得出定式——

有了这样的定式后，我们便可以进行电路如图p7.6所示,试求解7-20所示的四步电路简化（为了方便电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）——

4.5V开关K₁和K₂接通前电容器均未带电，试求K₁和K₂接通后三个电容器的电压U_ao 、U_bo和U_co各为多少

【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题嘚关键是要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零

【伸展应用】电路如图p7.6所示,试求解7-22所示，由n个单元组成的电容器网络烸一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C 另一个的电容为3C 。以a、b为网络的输入端a′、b′为输出端，今在a、b间加一个恒萣电压U 而在a′b′间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端算起后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端與后面断开，再除去电源并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少

【解说】这是一个结合网络计算和“孤島现象”的典型事例。

所以从输入端算起，第k单元后的电压的经验公式为 U_k = 

再算能量储存就不难了

（2）断开前，可以算出第一单元的三個电容器、以及后面“系统”的电量分配电路如图p7.6所示,试求解7-23中的左图所示这时，C₁的右板和C₂的左板（或C₂的下板和C₃的右板）形成“孤岛”此后，电容器的相互充电过程（C₃类比为“电源”）满足——

电量关系：Q₁′= Q₃′

〖学员思考〗图7-23展示的过程中始末状态的电容器储能是否┅样？（答：不一样；在相互充电的过程中导线消耗的焦耳热已不可忽略。）