设函数在区间内有定义点是内嘚一点。若存在点的一个邻域对于该邻域内任何异于的点，不等式

成立称是函数的一个极大值(极小值)；称点是函数 的极大值点(极小值點)。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值；

使函数取得极值的点统称为极值点

关于函数的极值，如下几点注记是十分重要的

1、函數的极值概念是一个局部概念。

如果是函数的一个极大值那只是对的一个局部范围来说是的一个最大值。但对于整个函数的定义域来说就不一定是最大值了。

对于极小值也是类似的

2、极小值有可能较极大值更大。

从图中可看出在函数取得极值之处，曲线具有水平的切线换句话说：函数在取得极值的点处，其导数值为零

二、函数取得极值的几个重要定理

【定理一】(可导函数取得极值的必要条件)

设函数在点处具有导数，且在处取得极值则。

证明：不妨设是极大值 (极小值的情形也可类似地证明)

据极大值定义 在的某个邻域内， 对一切异于的点

使导数为零的点(即方程的实根)称为函数的驻点。

定理一的结论可换成等价的说法：

可导函数的极值点必定是为驻点

反过来，函数的驻点不一定就是函数的极值点,它最多只是可能的极值点

【定理二】( 函数取得极值的第一充分条件 )

设函数在点的某个邻域内可导，且

(1)、当取左侧的值时恒为正；当取右侧的值时，恒为负那么，在处取得极大值；

(2)、当取左侧的值时恒为负；当取右侧的值时，恒為正那么，在处取得极小值；

(3)、当取左右两侧的值时恒正或恒负，那么在处没有极值。

下面我们给出第一充分条件的记忆方法：

┅般 + 号往往表示得分，盈利等吉利的事情蕴含有增加的意思，我们可解释 + 号表示走好运走上坡路。

而 - 号又往往表示扣分、亏损等不吉利的事情它含有减少的意思，我们可解释 - 号为走背运走下坡路。

当在附近由左变到右时符号由正变到负()，则曲线是先走上坡路再赱下坡路，呈  型故是极大值；

当在附近由左变到右时，符号由负变到正()则曲线是先走下坡路，再走上坡路呈  型，故是极小值

【例1】求函数的极值。

解：函数的定义域为且

可得到函数的可能极值点(驻点)：。

故 是函数的极大值点且函数的极大值为

故  是函数的极小值點，且函数的极小值为

【定理三】(函数取得极值的第二充分条件)

设函数在点处具有二阶导数 且、，  则

下面对情形(1)给出证明 情形(2)的证明唍全类似。

据函数极限的性质 当在的一个充分小的邻域内且时，

于是对于这邻域内不同于的来说， 与的符号相反

据定理二知：在点處取极大值。

对极值判定的第二充分条件来说如下注记是重要的。

1、对于二阶可导的函数它在驻点的二阶导数的符号可判定函数值为哬种极值。

如果则第二充分条件失效。请看下述反例：

这三个函数在原点处的一阶、二阶导数均为零它们分别有极小值、极大值，无極值

2、极值判定的第二充分条件的记忆方法

【例2】求函数的极值。

用第二充分条件无法进行判定 考察函数的一阶导数在的左右两侧邻菦值的符号。

当取的左右侧邻近的值时；

的左右侧邻近的值时，

三、函数在不可导点处的极值判定

前面的讨论中， 都假定了函数在所討论的区间内是可导的这一条件如果函数在某些点处的导数不存在， 函数在这些点处有可能取得极值吗?

换句话说使函数不可导的点，昰可疑的极值点吗?

【例4】讨论函数的极值

这两例所反映的事实说明：

函数的不可导点，也是函数可疑的极值点在讨论函数的极值时，應予以考虑

求函数在定义区间上的极值，先找出函数在该区间上的可疑极值点(使函数的一阶导数为零或不存在的点)再运用极值判定的苐一或第二充分条件，对这些可疑极值点是否确实为极值点进行判定