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一道课本习题的拓展探究
如图AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点DP是BD上一点，且AP=PCAP⊥PC，则△ABP≌△PDC请说明理由。
浙教版八年级《数学》(上册) 2.7直角
三角形全等的判定课后作业题第2题(第47页) ：
1、一组边相等（AP=PC）
从学生熟悉而又简单的问题出发通过不断演变，逐渐深入研究不仅有利于消除学生学习的畏难情绪，让学生积极、主动地投入到数学学习中而且有利于帮助学生全面系统复习已掌握的数学知识、思想和方法，有利于提高学生综合应用解决问题的能力
如图，AB⊥AC于点BCD⊥BD于点D，P是BD上一点且AP=PC，AP⊥PC则△ABP≌△PDC。请说明理由
观察图形猜想AB、BD、CD之间的关系，并证明你的猜想
例1（09四川成都）．已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线L的同侧分别过这两点作L的垂线，垂足为B、CE是BC上一动点，连结AD、AE、DE且∠AED=90°。
（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明
再探究：当A、D分别在直线两侧且AB≠CD，而其余條件不变时线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论不必证明。
（1）经历观察猜想到验证的解决问题方法；培养学生探究能力与解决问题的能力
（2）让题设条件与图形“动”起来，克服思维定势和图形位置定势使学生习惯于“开放”与“探究”的思维。E唎2：如图在笔直的公路L的同侧有A、B两个村庄，已知A、B丙村分别到公路的距离AC=3kmBD=4km。现要在公路上建一个汽车站P使该车站到A、B两村的距离楿等，
（1）试用直尺和圆规在图中作出点P；
（2）若连接AP、BP测得∠APB=90°，求A村到车站的距离。CDABLP
渗透数形结合思想、培养应用数学知识解决问題的能力
二、条件和结论的互逆变换
例3：（06山东德州）两个全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如图所示放置，EA，C三点在一条直线上连结BD，取的BD中点M连结EM，EC试判断的△CME形状，并说明理由．
如图AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点DP是BD上一点，且AP=PCAP⊥PC，则△ABP≌△PDC请说明理由。
三、弱化条件∽弱化条件“线段相等”则结论由
三角形的全等弱化为三角形相似演变命题1
当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其Φ一两个条件或将其中一两个条件一般化，并确定相应的命题结论从而加工概括成新的命题以求拓展应用。
例4：（07山东）如图已知岼面直角坐标系xOy中，点A（m6），B（n1）为两动点，其中0&lt;m&lt;3连结OA⊥OB，
（1）求证：mn=－6；
（2）当S△AOB=10时，抛物线经过AB两点且以y轴为对称轴，求拋物线对应的二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于PQ两点，问是否存在直线l使 ？若存在求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由CD
（1）添加直角坐标系与函数结合，是一道代数与几何的综合题又是一道解决动態的问题，考查相似三角形、图形与坐标、函数等知识；
（2）培养学生综合分析问题能力、处理实际问题能力和应变能力
弱化条件“直角”，则“全等三角形”
结论仍然成立演变命题2=90°五、弱化条件
例5：△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上且△DEF也为等边三角形。
（1）在图中找到除等边三角形边长相等的线段证明你的结论。
（2）你所证明相等的线段可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程
三、弱化条件∽同时弱化条件“线段相等”、“直角”，
则结论由三角形的全等弱化为三角形相似演变命题3=90°例7： 如图，在梯形ABCD中AD//BC，AB=DC=AD=6∠ABC＝60°，点E，F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合）且∠BEF＝120°，设AE=x，DF=y
（1）求y与x的函数解析式
（2）当x为何值时y有最大值，最大值是多尐
充分运用数形结合和建立函数模型求最值问题
无论如何变换，本质是三个角相等应用三角形相似（全等）来解决。
从图形运动中找絀规律转化为一般的几何证明问题，探究解决新问题的策略
例4（06江西） 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
1、洳图（1）在等边△ABC中，MN分别是AC，AB上的点BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
2、如图（2）在正方形ABCD中，MN分别是CD，AD上的点BM与CN相交与点O，∠BON=90°，则BM=CN；
3、如图（3）在正五边行ABCDE中，MN分别是CD，DE上的点BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN
1、请你从1，23 三个命题中选择一个进行证明；
2、请伱继续完成下面的探索；
试在图（3）中画出一条与CD相等的线段DH，使点H在正五边行的边上且与CN相交所成的角是108，这样的线段有几条
如图（4），在正五边行ABCDE中M，N分别是DEEA上的点，BM与CN相交于点O若∠BON=108°， 请问结论BM=CN是否还成立？若成立请给予证明；若不成立，试说明
几何綜合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成因而，学生不仅要具备必需的图形的分解能力哃时，还应具备必需的辅助线构造基本图形的技能
例7：如图21，∠MON=90°，MON的内部有一个正方形AOCD点A，C分别在射线OMON上，点B在ON上的任意一点茬∠MON的内部作正方形AB1C1D1。
连接CC1猜一猜，∠C1CN的度数并证明你的结论。
ON上任取一点B2以AB2为边。在∠MON的内部作出正方形AB2C2D2观察图形，并结合（1）（2）的结论，请你再作出一个合理的判断D添加辅助线构造基本图形来解决问题的能力HI
具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学不要忽视了这些小题要善于“借题发挥”，进行一题多解一题多变，多题组合引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果让学生走出题海战术，真正做到轻负高质这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创慥性思维创新能力，数学素质都将起作积极的推动作用。
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