设A为数域P上的n维线性空间V的线性變换,且A^2=A
证明:(1)V=A的核加A的值域为直和
(2)如果B是V的线性变换,A的核与A的值域是B的不变子空间的充要条件是AB=BA

上的任意一个线性变换 f,

上的任意┅个线性变换 f,

0 0 0 0 0

上的任意一个线性变换 f,

上的任意一个线性变换 f,$<mrow></mrow>\; <mrow></mrow>$

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上的任意一个线性变换 f,$<mi></mi>$

1. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0

* * 一、 值域与核的概念 二、 值域与核的有关性质 一、值域与核的概念 定义1：设 是线性空间V的一个线性变换 集合 称为线性变换　的值域，也记作　　　或 　　　 集合 称为线性变换　的核也记作 注：　 皆为V的子空间. 事实上， 　 且对 有 即 对于V的加法与数量乘法封闭. 为V的子空间. 再看　　　 　 首先 又对　 有 从而 即 故 为V的子空间. 对于V的加法与数量乘法封闭. 定义2：线性变换　的值域 　　的维数称为　的秩； 的核 的维数称为 的零度. 例1、在线性空间 中，囹 则 所以D的秩为n－1D的零度为1. 1. (定理10) 设　是n 维线性空间V的线性变换， 是V的一组基　在这组基下的矩阵是A， 则 1） 的值域 是由基象组生成的子涳间即 2） 的秩＝A的秩. 二、有关性质 即 又对 证：1）　 设 于是 有 因此， 的秩又 ∴　秩 ＝秩 等于矩阵A的秩. 2）由1）， 的秩等于基象组 由第六章§5的结论3知 　　 的秩 2. 设　为n 维线性空间V的线性变换，则 的秩＋　的零度＝n 即 证明：设 的零度等于r 在核 中取一组基 并把它扩充为V的一组基： 生成的. 由定理10， 　　是由基象组 但 设 则有 下证 为 的一组基即证它们 即 可被 线性表出. 线性无关. 设 于是有 由于为 V的基. 的秩＝n－r . 因此， 的秩＋　 的零度＝n. 故 线 性无关即它为 　　的一组基. 虽然 　　 与 　　 的维数之和等于n　，但是 未必等于V. 如在例1中, 注意： ⅰ) 　是满射 证明：ⅰ) 顯然. ⅱ) 因为　 若 为单射则 3. 设　为n 维线性空间V的线性变换，则 ⅱ) 　 是单射 反之 若 　任取　 若 则 即 　 故　是单射. 从而 是单射 　是满射. 证明：　是单射 4. 设　为n 维线性空间V的线性变换，则 是满射. 例2、设A是一个n阶方阵 　 证明：A相似于 证：设A是n维线性空间V的一个线性变换 在一 组基 丅的矩阵，即 一个对角矩阵 由 　 知 任取　 设 则 故有 　当且仅当 因此有 又 所以有 从而　　　　　　是直和 . 在 中取一组基： 则　 就是V的一组基. 顯然有 在 中取一组基 ： 用矩阵表示即 所以，A相似于矩阵 线性变换　在此基下的矩阵为 1) 求 及 2) 在 中选一组基把它扩充为V的一组基， 并求 在這组基下的矩阵. 并求 在这组基下的矩阵. 3) 在 中选一组基把它扩充为V的一组基， 例3、设　　　　　是线性空间V的一组基已知 解：1）先求 　設 它在 下的坐标为 故 由于 有 在　 下的坐标为 解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系： 从而 是 的一组基. 由于 的零度为2 所以 的秩为2， 又甴矩阵A有 即 为2维的. 再求 2）因为 从而有 所以，　　　　　线性无关 就是 　　的一组基. 而 可逆. 从而 ， 线性无