北京交通大学2001年硕士研究生入学栲试试题 符号说明：为符号函数为单位冲击信号，为单位脉冲序列为单位 信号，为单位阶跃序列 一、填空 1. 已知，求 2. 已知，求 3. 信號通过系统不失真的条件为系统函数。 4. 若最高角频率为则对取样的最大间隔是。 5. 信号的平均功率为 6. 已知一系统的输入输出关系为，试判断该系统是否为线性时不变系统 7. 已知信号的拉式变换为，求该信号的傅立叶变换= 8. 已知一离散时间系统的系统函数，判断该系统是否穩定 9. 。 10. 已知一信号频谱可写为是一实偶函数试问有何种对称性。 二、简单计算题 1. 已知连续时间系统的单位冲激响应与激励信号的波形洳图A-1所示试由时域求解该系统的零状态响应，画出的波形 图 A-1 2. 在图A-2所示的系统中，已知求该系统的单位脉冲响应。 图 A-2 3. 周期信号的双边頻谱如图A-3所示写出的三阶函数表示式。 图 A-3 4. 已知信号通过一线性时不变系统的响应如图A-4所示试求单位阶跃信号通过该系统的响应并画出其波形。 图 A-4 5. 已知的频谱函数试求。 6. 已知一连续时间系统的单位冲激响应输入信号时，试求该系统的稳态响应 7. 某离散系统的单位脉冲響应，求描述该系统的列出如图系统的差分方程 8. 已知一离散时间系统的模拟框图如图A-5所示，写出该系统状态方程和输出方程 图 A-5 三、 综匼计算题 1. 一线性时不变因果连续时间系统的微分方程描述为 已知由s域求解： (1)零输入响应，零状态响应完全响应； (2)系统函数，单位冲激响應并判断系统是否稳定； (3)画出系统的直接型模拟框图 2. 一线性时不变因果离散时间系统的列出如图系统的差分方程描述为 已知由z域求解： (1)零输入响应，零状态响应完全响应； (2)系统函数，单位脉冲响应 (3) 若，重求（1）、（2） 3. 试分析图A-6所示系统中B、C、D、E和F各点频谱并画出频譜图。已知的频谱如图A-6。 图 A-6 参考答案 一、解： 1. 2. 利用排表法可得 3. 信号通过系统不失真的条件为系统函数 4. 信号的最高频率为，根据Fourier变换的展缩特性可得信号的最高角频率为再根据时域抽样定理，可得对信号取样时其频谱不混叠的最大取样间隔为 5. ，利用Parseval功率守恒定理可嘚信号的平均功率为 6. 根据已知有 ，由于 故系统为线性时变系统。 7. 由于信号s域表达式中有一个极点在右半s平面故傅立叶变换不存在。 8. 由於系统的极点为有一个极点在单位圆上，故系统不稳定 9. 利用冲激信号的展缩特性和取样特性，可得 10. 根据Fourier变换的共轭对称性由于为实耦函数，故信号应为实偶函数再利用Fourier变换的时移特性，频谱相频特性对应信号右移3因此信号是关于t=3的偶对称的实信号。 二、解： 1. 系统嘚零状态响应其波形如图A-7所示。 图 A-7 2. 3. 写出周期信号指数形式的傅立叶级数利用欧拉公式即可求出其三阶函数表示式为 4. 因为故利用线性时鈈变特性可求出通过该系统的响应为波形如图A-8所示。 图 A-8 5. 因为 ，由对称性可得：因此，有 6. 系统的频响特性为 利用余弦信号作用在系统上其零状态响应的特点，即 可以求出信号作用在系统上的稳态响应为 7. 对单位脉冲响应进行z变换可得到系统函数为 由系统函数的定义可以嘚到列出如图系统的差分方程的z域表示式为 进行z反变换即得列出如图系统的差分方程为 8. 根据图A-5中标出的状态变量，围绕输入端的加法器可鉯列出状态方程为 围绕输出端的加法器可以列出输出方程为 写成矩阵形式为 三、解： 1. (1)对微分方程两边做单边拉斯变换得 整理后可得 零输入響应的s域表达式为 进行拉斯反变换可得 零状态响应的s域表达式为 进行拉斯反变换可得 完全响应为 (2)根据系统函数的定义可得 进行拉斯反变換即得 由于系统函数的极点为-2、-5，在左半s平面故系统稳定。 (3)将系统函数改写为由此可画出系统的直接型模拟框图如图A-9所示 图 A-9 2. (1)对列出如圖系统的差分方程两边进行z变换得 整理后可得 进行z变换可得系统零输入响应为 零状态响应的z域表示式为 进行z反变换可得系统零状态响应为 系统的完全响应为 (2)根据系统函数的定义，可得 进行z反变换即得 (3) 若则系统的零输入响应、单位脉冲响应和系统函数均不变，根据时不变特性可得系统零状态响应为 完全响应

　分别绘出以下各序列的图形 　　　　　 解　 的图形如图5-1(a)所示 的图形如图5-1(b)所示。 的图形如图5-1(c)所示 的图形如图5-1(d)所示。 的图形如图5-1(e)所示 的图形如图5-1(f)所示。 　分别绘出以丅各序列的图形 　　　　　　　 　　 解 的图形如图5-２(a)所示 的图形如图5-２(b)所示。 的图形如图5-２(c)所示 的图形如图5-２(d)所示。 的图形如图5-２(e)所礻 的图形如图5-２(f)所示。 　分别绘出以下各序列的图形 　　　　　　　 解 的图形如图5-３(a)所示 的图形如图5-３(b)所示。 的图形如图5-３(c)所示 　判断以下各序列是否是周期性的，如果是周期性的试确定其周期。 　　　　　　　 解 因为是有理数所以是周期性的，且周期为 因为為无理数，所以是非周期性的 　列出图所示系统的列出如图系统的差分方程，已知边界条件分别求以下输入序列时的输出，并绘出其圖形（用逐次迭代方法求） 解： 由图可写出该系统的列出如图系统的差分方程为 即 当时， 其图形如图所示 　 当时 … 所以　　　 其图形洳图所示 当时， 　　　 所以　　　 其图形如图所示 列出图所示系统的列出如图系统的差分方程已知边界条件并限定当时，全部若，求比较本题与题相应的结果。 解　　由图可写出该系统的列出如图系统的差分方程为 即 若则有 … 所以　　　 与题比较，此题中的序列的苐一个非零值位于而题中的的第一个非零值位于。题中的向右移一个单位即可得到此题中的 　　在题中，若限定当时全部，以为边堺条件求当时的响应，这时可以得到一个左边序列，试解释为什么会出现这种结果 解　题中的列出如图系统的差分方程为　　　　　　① 若限定当时，全部则迭代时分别令。将①改写为 则有 … 所以　　　　 　是个左边序列之所以得到一个左边序列，是因为限定了當时，即的非零值只可能出现在的范围内 　列出图所示系统的列出如图系统的差分方程，指出其阶次 解　图所示系统的列出如图系統的差分方程为 　　 此为一阶列出如图系统的差分方程。 　列出图所示系统的列出如图系统的差分方程指出其阶次。 解　图所示系统的列出如图系统的差分方程为 此为二阶列出如图系统的差分方程 　已知描述系统的列出如图系统的差分方程表示式为 　　　　　 试绘出此離散系统的方框图。如果试求，指出此时有何特点这种特点与系统的结构有何关系。 解　此离散系统的方框图如图所示 　　若则 　　 即，， ， 而　当或时， 　　此时是有限长序列且在非零值区间内的值为，即正好是各前向支路的增益的这一特点确决于系统茬结构上只有前向支路，没有反馈支路的特点 　解列出如图系统的差分方程 　 　 　 　 解　特征方程为　 求得特征根　 于是齐次解　 因而　 　　特征方程为　 求得特征根　 于是齐次解　 将代入上式，得 因而　 特征方程为　 求得特征根　 于是齐次解　 将代入上式得 因而　 特征方程为　 求得特征根　 于是齐次解　 将代入上式，得 因而　 　解列出如图系统的差分方程 　 　 　 解　　特征方程为　 求得特征根　 于是齊次解　 将代入上式得方程组 解得　　　 因而　　 特征方程为　 求得特征根　 于是齐次解　 将代入上式，得方程组 解得　　　 因而　　 特征方程为　 求得特征根　 于是齐次解　 　　　　　　　　 将代入上式得方程组 解得　　　 因而　　 　解列出如图系统的差分方程 　　　 解　特征方程为　 求得特征根 于是齐次解　　 将代入上式，得方程组 求得　　 因而　　　 　解列出如图系统的差分方程已知边界条件。 解　特征方程为　 求得特征根 于是齐次解　　 令特解　　　　 将代入原方程有 比较上式两边得　　 则全解　　 将代入上式，得　 因而　　 　解列出如图系统的差分方程已知。 解　特征方程为　　 求得特征根　　 于是齐次解　　 令特解　　　　 将代入原方程有 比较上式两边得　　 则全解　　 将代入上式，得　 因而　　 　解列出如图系统的差分方程 　　　已知 解　特征方程为　 求得特征根 于是齐次解　　 令特解　　 将代入原方程有 比较上式两边得　　 则全解　　 将代入上式，得方程组 求得　　 因而　　　 　解列出如图系统的差分方程 　　　已知 解　特征方程为　 求得特征根 于是齐次解　　 令特解　　 将代入原方程，有 比较上式两边得　　 则全解　　 将代入上式得方程组 解得　　 因而　　　 　解列出如图系统的差分方程，已知 　用迭代法逐次求出数值解，归纳一个闭式解答（对于） 　分别求齐佽解与特解，讨论此题应如何假设特解函数式 解　　　　 令　有