本节介绍希尔伯特-施密特范数,它昰矩阵的范数的一个简单而有用的上界

1 希尔伯特-施密特范数

它是A的范数的一个上界.

下边以实矩阵为例证明它是上界：

则y的分量可用x的分量表示：

利用施瓦兹不等式估计上式右端的项,得：

令i=1,...,m将上述不等式相加,即得：

根据标准的欧几里得范数的定义上式可以写作：

上式两端开岼方根,再由y=Ax可得：

这就是A的范数的一个上界.

类比该证明,可以证明复欧几里得空间中成立不等式：

这就证明了希尔伯特-施密特范数是复欧几裏得空间中线性映射的一个上界.