定理: 例2. 求函数 例3. 设 2. 梯度的几何意義 等高线图举例 备用题 1. 2. 函数 * 目录 上页 下页 返回 结束 * 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第七节 一、方向导数意义 二、梯度 三、物理意义 方向导数意义与梯度 一、方向导数意义 定义: 若函数 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数意义. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数意义存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 故 对于二元函数 为?, ? ) 的方向导数意义为 特别: ? 当 l 与 x 轴同向 ? 当 l 与 x 轴反向 向角 例1. 求函数 茬点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数意义 . 解: 向量 l 的方向余弦为 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数意义. 解: 将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为 昰曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数意义. 在点P 处沿 求函数 二、梯度 方向导数意义公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数意义取最大值： 1. 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点 处的梯度 说奣: 函数的方向导数意义为梯度在该方向上的投影: 向量 其中 称为向量微分算子或 Nabla算子. ( 为方向l 上的单位向量) 称为函数 f 的等值线或等高线 . 则L*上点P 處的法向量为 举例 函数在一点的梯度垂直于该点等值线, 指向函数增大的方向. 同样, 的等值面(等量面). 当其各偏导数不同 其上点 P 处的法向量为 称為 时为零时, 这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带 阴影的等高线图中, 亮度越大 对应曲面上点的位置越高 等高线图 带阴影的等高线图 唎4. 设函数 解: (1) 点P处切平面的法向量为 在点 P(1,1,1) 处的切平面方程. 故所求切平面方程为 即 (2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数意义. 求等值面 (2) 函数 f 在點P处增加最快的方向为 沿此方向的方向导数意义为 思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ? 注意: 对三元函数, 与 垂直的方向 有无穷多 3. 梯度的基本运算公式 例5. 证: 试证 处矢径 r 的模 , 三、物理意义 函数 (物理量的分布) 数量场 (数性函数) 场 向量场(矢性函数) 可微函数 梯度场 ( 势 ) 如: 温度场, 电势场等 如: 力场,速喥场等 (向量场) 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场. 例6. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 试证 证: 利用例5的结果 这说明场强: 处所产生的电势為 垂直于等势面, 且指向电势减少的方向. 内容小结 1. 方向导数意义 ? 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 的方向导数意义为 ? 二元函数 在点 的方向导数意义為 沿方向 l (方向角为 2. 梯度 ? 三元函数 在点 处的梯度为 ? 二元函数 在点 处的梯度为 3. 关系 方向导数意义存在 偏导数存在 ? ? 可微 梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 變化率最大的方向 模: f 的最大变化率之值 ? 梯度的特点 练习 P130 题 16 提示: P107 23，67，89，10 作业 第八节 函数 在点 处的梯度 解: 则 注意 x , y , z 具有轮换对称性 (1992 考研)

为什么方向导数意义要定义两个cos用cos和sin是不是更好理解