维普资讯 2003年第 3期 中学数学月刊 ·25· 巧求不定方程 z+ --C的整数解 谭 向清 (湖南省绥宁二 中 422606) 笔者在教学过程 中见过几个类似的问 个结论 ，只要具备简单的数学知识也能解决． 题 為了便于说明，现摘录如下 ： 为了能求方程 (1)的整数解 先看一个简 问题 1 用3Q和 5Q的两种 电阻串联成 单的事实 ：任何一个整数 n，都可 以写成下列 總阻值为 1999Q的电阻问有多少种不同的 b个 (6∈N+，6≥2)等式 中的一个 而且 只能 串联方法? 是其 中的一个 ． 问题 2 用币值 2元和 5元 的两种人 民 “一 bk。 币支付 2001元 的总 币值 问有多少种不 同 “=bk+ 1， 的支付方式? “= bk+ 2 问题 3 (中国古代 问题)鸡翁一，值钱 ● ● ● ● ● - 五 鸡母一 ，值钱三鸡雏三 ，值钱 一 百钱买 Ⅱ一bk+6— 1， 百鸡 问鸡翁 、鸡母、鸡雏各几何? 其 中6≥2，且 bEN+k∈Z． 以上三题，经未知数 并化筒后 ，便得 例如当6—2，任 何一个整数 a可表示 到一个形 如 “+幻一c的二元 一 次不定方 成 “一2k，或者 “一2k+1且只能是 2七，2七十 程 对于二元一次不定方程 ，其解法在 中学阶 1中的一个 ；当 6—3任何一个整数 口，可 以 啬 段一般不作要求．对二元一次不定方程整数 表示成 3七或 3七十1，或 3七十2的形式而且 解 的有无 、解 的通式以前有过专门的研究，并 只能是这三者 中的一个 ；当b=4时任何一 有如下结论 ：对于不定方程 个整数 口，可 以表成 4志或 4是+1，或 4是+2 口z+by—c， (1) 或 4七十3的形式 而且只能是这 四者 中的一 结论 1 (1)有整数解的充要条件是 个；当b一5，67，…时以此类推．有 了这个 (口，6)lc；(其 中(口6)表示 a，b嘚最大公 事实 现在我们来解答前面的问题 1． 约数) 解 3Q和 5Q的电阻分别为 z个、Y 结论 2 当(口，6)：c时 方程 (1)无整数 个 ，由电阻的串联知识 得到不定方程 解 ； 3x+ 5y= 1999． (2) 结论 3 当(口，6)：1z。Y。是 (1)的一 易知 有多少种不 同的串联方法 ，即相 当 组整数解时 则 (1)的全部解是 于方程 (2)有多少个非负整数解．现在先来求 z—zo+bt，Y— 0--att∈Z； 它的整数解． 结论 4 (口，6)= > 1则 (1)的整数 由 (2)式 ，得 3x一1999—5y一1998+1 解 的通式为

key值可以看成常数10000L可以看成系数，13000L看成和

不需要算出每种满足要求的X,Y,Z......的组合只需要求出X+Y+Z+K+......最小的组合即系数之和最小的组合。

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