求微分方程y‘’+y‘-2y=0的通解，要具体过程。_百度知道
求微分方程y‘’+y‘-2y=0的通解，要具体过程。
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The aux. equationp^2+p-2p=0(p+2)(p-1)=0p=-2 or 1微分方程y‘’+y‘-2y=0的通解y=Ae^(-2x) +Be^x
(A,B 是常数）
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求微分方程y′′-2y′+y=0的通解
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山东建筑大学教师
y[x] =e^x C[1] + e^x
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CNS微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章 [1].doc
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文档介绍：
1. 指出下列各微分方程的阶数:
(1) x(y′)2-2yy′+x=0; (2) (y″)3+5(y′)4-y5+x6=0;
(3) +2y″+x2y=0; (4) (x2-y2)dx+(x2+y2)dy=0.
解: (1) 因为方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程.
2. 验证下列给定函数是其对应微分方程的解:
(1) y=(x+C)e-x, y′+y=e-x;
(2) xy=C1ex+C2e-x, xy″+2y′-xy=0;
(3) x=cos2t+C1cos3t+C2sin3t, x″+9x=5cos2t;
(4) =1, xyy″+x(y′)2-yy′=0.
是微分方程的解.
(2) 在方程两边对x求导有上方程两边对x求导有,即即
所以所确定的函数是方程的解.
所以是微分方程的解.
(4) 方程两边对x求导得
(1)式两边对x求导得
(2)式两边同乘以x得
所以是方程的解.
3. 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求这曲线所满足的微分方程.
解: 设是曲线上任一点,则过该点的切线方程为,由已知时,,得即为所满足得微分方程.
4. 求通解为y=Cex+x的微分方程,这里C为任意常数.
解: 由得,而由已知得故通解为的微分方程为.
1.求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解:
(1) y′=; (2) xydx+dy=0;
(3) (xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0;
(4) sinxcos2ydx+cos2xdy=0;
(6) yy′+xey=0, y(1)=0;
(7) y′=e2x-y, .
解: (1) 原方程分离变量得,两边积分得
记,有, 而当即时,显然是方程的解,上式取时包含了,故方程的解为(c为任意常数)
(2) 分离变量得: ,两边积分得,
又显然是方程的解.
方程的通解为(c为任意常数).
(3) 分离变量得, 两边积分得,即
从而,记有.
(4) 分离变量得,,两边积分得, 即
(5) 原方程可化为:,两边积分得
由得, 所以原方程满足初始条件的特解为
(6) 分离变量得, 两边积分得
由得, 故原方程满足初始条件的特解为
(7) 分离变量得,两边积分得, 由得,所以,原方程满足初始条件的特解为.
2. 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比,具有温度为T0的物体放在保持常温为a的室内,求温度T与时间t的关系.
解: 设t时刻物体的温度为T,由题意有
(k为比例系数)
分离变量得,两边积分得, ,得, 由题意有时,,代入上式得, .
(k为比例系数).
3. 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解:
(1) xy′-y-=0;
(3) 3xy2dy=(2y3-x3)
(4) x2y′+xy=y2, y(1)=1;
(5) xy′=y(lny-lnx), y(1)=1;
(6) (y-x+2)dx=(x+y+4)
(7) (x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0.
解: (1) 原方程可化为, 令则, 代入原方程得: 即两边积分得
(2) 令,则代入原方程得:
两边积分得,则,
(3) 原方程可化为, 令,则, 代入上式得,
, 两边积分得, 即,
(4) 原方程可化为, 令, 则,代入上式得, 即, 两边积分得
即将代入得,
所以原方程满足初始条件的特解为.
(5) 原方程可化为, 令则, 上方程可化为
两边积分得即
亦即将代入得
由初始条件得
故原方程满足初始条件的特解为.
(6) 原方程可化为解方程组
作变换,原方程化为
这是一个齐次方程,按齐次方程的解法:
令, 方程可化为
两边积分可得,整理可得,
将代入上式得
将代入上式得
(7)原方程可化为
令,则,代入上方程得
将代入上式得,.
4. 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解:
(1) y′-y=
(2) y′-y=
(3) (x-2y)dy+dx=0;
(4) (1+xsiny)y′-cosy=0;
(5) y′- =(x+1)ex, y(0)=1;
(6) y′+,y(0)=;
(7) y′-=-lnx, y(1)=1;
(8) y′+2xy=(xsinx)·,y(0)=1;
(10) y′=.
解: (1) 这是一阶非齐次线性微分方程,
(2) 这是一阶非齐次线性微分方程,
(3) 原方程可化为,这是一个关于的一阶齐次线性微分方程,且, 所以
(4) 原方程可化为,这是一个关于的一阶非齐次线性微分方程,且, 所以
(5) 这是一阶非齐次线性微分方程且,所以
将初始条件代入上式中得
故,原方程满足初始条件的特解是.
(6) 这是一阶非齐次线性微分方程,且,所以
将初始条件代入上式得,所以原方程满足初始条件的特解是
(7) 这是一阶非齐次线性微分方程,且,所以
将初始条件代入上式得
所以,原方程满足初始条件的特解是.
(8) 这是一阶非齐次线性微分方程,且,,所以
将初始条件代入上式得,故原方程满足初始条件的特解是:
(9) 原方程可化为,这是的伯努利方程,方程两边同除以
令,则上面方程化为,这是一阶非齐次线性微分方程,且,其通解为
将代入上式得原方程的通解为.
(10) 原方程可化为,这是关于的的伯努利方程,令,上述方程可化为
这是关于y的一阶非齐次线性微分方程,且,其通解为:
将代入上式得原方程的通解为.
5. 设函数f(x)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t&1)与x轴所围成的
平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为
V(t)=[t2f(t)-f(1)].
试求y=f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件y(2) =的特解.
解: 依题意有,两边同时对t求导有:
故所满足的微分方程是, 该方程可化为,这是齐次方程.可求得该齐次方程的通解为:
将初始条件代入上式得,所以,该微分方程满足条件的特解是.
*6. 设某生物群体的出生率为常数a,由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因,死亡率与当时群体中的个体量成正比(比例系数为b&0).如果t=0时生物个体总数为x0,求时
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求下面微分方程的通解或特解:(y^2-6x)y′+2y=0
因为在一阶方程中,变量x,y的地位是同等的,故我们可把x视为关于自变量y的函数y′=-2y/(y²-6x) =dy/dxdx/dy=-(y²-6x)/2y=-y/2+3/y *x,所以dx/dy-3/y *x=-y/2为一阶线性方程.x=e^(∫ 3/y dy[∫-y/2e^(-∫3/y dy) dy+C]=cy³+y²/2,所以y²-2x=C′y³
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与《求下面微分方程的通解或特解:(y^2-6x)y′+2y=0》相关的作业问题
1 dx/1-x=dy/1+y 两边同时积分可得 ln(1+y)+ln(1-x)=c 即-xy+x+y+c=0 2 dy/dx=e^2x/e^y 整理得 e^ydy=e^2xdx两边同时积分 2e^y=e^2x+c
（1）∵3y''-2y'-8y=0的特征方程是3r²-2r-8=0,则r1=2,r2=-4/3∴3y''-2y'-8y=0的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(-4x/3) (C1,C2是积分常数)；（2）∵4y"-8y'+5y=0的特征方程是4r²-8r+5=0,则r1=1+i/2,r2=1-i
∫ [2f(t)-1]dt=f(x)-1,两边对 x 求导,得 2f(x)-1=f'(x),初始条件 当 x=0 时,0=f(0)-1,即 f(0)=1.记 y=f(x),则 y'=2y-1,dy/(2y-1)=dx(1/2)ln(2y-1)=x+(1/2)lnC则通解为 2y-1=Ce^(2x),将 y(0)=1 代
1.x²y〃+xy′=1,xy''+1*y'=1/x ,(xy')'=（ln|x|)' ,xy'=ln|x|+c,y'=ln|x|/x+c/x y=0.5ln²|x|+cln|x|+c'2.y〃=e的3x次方 ,y'=e^的3x次方/3+C y=e^的3x次方/9+cx+c' 注意：（e的3x次方）
(1)dx+xydy=y=y^2dx+ydy==>(xy-y)dy=(y^2-1)dx==>(x-1)ydy=(y^2-1)dx==>ydy/(y^2-1)=dx/(x-1)两边积分,得：ln(y^2-1)/2=ln(x-1)+lnC==>y^2-1=e^[C(x-1)^2]==>y=±(e^[C(x-1)^2]+1)
这是一阶齐次微分方程(x^2+y^2)dx-xydy=0dy/dx=(x²+y²)/(xy)dy/dx=((x/y)²+1)/(x/y)令u=y/x则dy=du*x+dx*udy/dx=(du/dx)*x+u代入得(du/dx)*x+u=(u²+1)/u=u+1/udu/dx=1
y’=(y/x)(1+lny-lnx)因为：lny-lnx=ln(y/x),设：y=ux,因为：(ux)'=u'*x+u可以化为：xdu/dx+u=u+uln(u)就是：du/dx=(u/x)ln(u)分离,得：du/[uln(u）]=(1/x)dx两边积分,得：(1/lnu)d(lnu)=lnx+lnC （注,写ln
因为y'+P(x)y=Q(x)的两个特解是y1=2x,y2=cosx,所以y1-y2=2x-cosx是方程y'+P(x)y=0的一个特解,而该方程是一阶的,所以方程y'+P(x)y=0的通解为Y=c*(2x-cosx)从而y'+P(x)y=Q(x)的通解为：y=c*(2x-cosx)+2x
1题后面是dx?y^(-1/2)dy=dx 积分得通2√y=x+C 2题变形为：dy/ylny=dx/sinx ln|lny|=-ln|cscx+cotx|+lnC lny(cscx+cotx)=C,然后你把x和y代入求出C得特解
对应齐次方程的特征方程为r²+r=0特征根为r=0,r2=-1齐次方程通解为y=C1+C2e^(-x)又0是方程的特征根可设其特解为y*=x(ax+b)带入有2ax+(a+b)=x+1,解的a=1/2,b=1/2特解为y*=(1/2)x(x+1)知非齐次方程通解为Y=y+y*=C1+C2e^(-x)+(1/2
λ^2-2λ+5=0 λ=1±2i齐次方程通解=e^x(c1sin2x+c2cos2x)设特解=xe^x （Psin2x +Qcos2x） 注意特解前面要乘以x哦下面待定系数自己做吧 很简单的
（1）∵它的特征方程是2r²+r-1=0,则r1=-1,r2=1/2∴它对应的齐次方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(1/2) (C1,C2是积分常数)显然,y=e^x是原方程的特解故原方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(1/2)+e^x；（2）∵它的特征方程是2r²+5r=0,则r
答：y''+5y'+4=0特征方程：a²+5a+4=0(a+1)(a+4)=0解得：a1=-1,a2=-4通解为：y=Ce^(-x)+Ke^(-4x)y'(x)=-Ce^(-x)-4Ke^(-4x)因为：y(0)=C+K=2y'(0)=-C-4K=1所以：K=-1,C=3特解为：y=3e^(-x)-e^(-4
方程的非齐项写成：e^[(1+i)x],那么特解可设为：y=ae^[(1+i)x]解出来取实部和虚部的和就是原方程的特解
（常数变易法）先解齐次方程y'+y/x=0的通解,∵y'+y/x=0 ==>dy/y=-dx/x==>ln│y│=-ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)==>y=C/x∴齐次方程的通解是y=C/x.于是,设原方程的通解为y=C(x)/x (C(x)是关于x的函数)代入原方程得C'(x)/x=sinx ==>C'(x
特征方程：t^2+4=0,t=±2i所以通解为y[1]=C1sin(2x)+C2cos(2x)设特解为y[2]=Axsin(2x)+Bxcos(2x)所以y'[2]=Asin(2x)+2Axcos(2x)+Bcos(2x)-2Bxsin(2x)=(A-2Bx)sin(2x)+(2Ax+B)cos(2x)y''[2]=-
1.y〃-4y′+3y=0特征方程为r^2-4r+3=0特征根r1=1,r2=3齐次方程通解为y=C1e^x+C2e^(3x)初始条件y(0)=6,y′(0)=10得C1+C2=6,C1+3C2=10解得C1=4,C2=2特解为y=4e^x+2e^(3x)2.y〃+y=-sin2x对应齐次方程特征方程为r^2+1=0特
这是高数的求通解的一道题,需要知道什么是 齐次线性方程 和非齐次线性方程!齐次与非齐次的差别是 等式右边的值是否为0,为0的是齐次,非0的是非齐次；还有一个公式就是：y'+P(x)y=Q（x）- 非其齐次,当Q（x）=0则为齐次!通解形式：y=u*Y Y是特解!为了让你好理解一点,这道题的解法我就写的详细一点吧!如下：
1.（1）dy/dx=xy/(1+x²)(1/y)dy=x/(1+x²)dx∫(1/y)dy=∫x/(1+x²)dxlny=(1/2)ln(1+x²)+lnC=ln√(1+x²)+lnC=lnC√(1+x²)y=C√(1+x²)（2）y'+y=cos}