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舒尔算法(Shor's algorithm)，以应用数学家彼得·舒尔(Peter Williston Shor)命名，针对整数分解问题的量子算法 (在上面运作的算法 )。
舒尔算法(Shor's algorithm
)以应用数学家彼得·舒尔(Peter Williston Shor
)命名，是一个在1994年发现的，针对整数分解问题的量子算法 (在量子计算机上面运作的算法 )。它解决题目如下：找出一个给定整数N的质因子。
在一个量子计算机上面，要分解整数N, 舒尔算法的运作需要多项式时间 (时间是log N的某个多项式这么长,log N在这里的意义是输入的档案长度)。 更精确的说，这个算法花费O((log N))的时间，展示出质因子分解问题可以使用量子计算机以多项式时间解出，因此在复杂度类 BQP里面。这比起传统已知最快的因子分解算法, 普通数域筛选法, 其花费次指数时间 -- 大约O(e(log N)1/3 (log log N)2/3)，还要快了一个指数的差异。
舒尔算法非常重要，因为它代表使用量子计算机的话，我们可以用来破解已被广泛使用的公开密钥加密方法，也就是RSA加密算法。RSA算法的基础在于假设了我们不能很有效率的分解一个已知的整数。就目前所知，这假设对传统的(也就是非量子)电脑为真；没有已知传统的算法可以在多项式时间内解决这个问题。然而，舒尔算法展示了因子分解这问题在量子计算机上可以很有效率的解决，所以一个足够大的量子计算机可以破解RSA。这对于鼓励我们去建立量子计算机和去研究新的量子计算机算法，是一个非常大的动力。
在2001年，IBM的一个小组展示了舒尔算法的实做, 使用NMR实做的量子计算机，以及7个量子位元，将15分解成3 × 5。 然而，对IBM的实验的是否是量子计算的真实展示，则有一些疑虑出现，因为没有缠结现象被发现。 在IBM的实做之后，有其他的团队以光学量子位元实做舒尔算法，并强调其缠结现象可被观察到。
选择任意数字a & N
计算gcd(a, N)。 这里可以使用辗转相除法来计算。
若 gcd(a, N) ≠ 1，则我们有了一个N非平凡的因子，因此这部份结束了。
否则，利用下面的周期寻找副函式(Period-finding subroutine，下面会列出)来找出下面这个函数的周期r： ,换句话说，找出在里面的目，或者最小的正整数r令 。
若r是奇数，回到第一步。
若ar /2 ≡ -1 (mod N), 回到第一步。
gcd(ar/2 ± 1, N) 是N非平凡的一个因子。分解完成。
量子部份：周期寻找副函式(Period-finding subroutine)
这个算法使用的量子线路是为了在给定一个固定常数 N 以及一个任意常数 a之下，找出f(x) = ax mod N所设定的。给定N, 找出Q = 2q且合乎(这同时表示)。输入和输出量子位元暂存器需要储存从0到Q-1所有值的叠加态，因此分别需要q个量子位元。这里使用看起来比所需的数量还要更多一倍的量子位元，保证了即使周期r的大小逼近N/2，也至少有N个不同的x会产生相同的 f(x)。
程序算法描述：
将暂存器初始化成 x从0到Q - 1。所以这一个初始态是Q 个状态的叠加。
建立量子函式版本的f(x) ，并且应用于上面的叠加态, 得到 .这里仍旧是Q个状态的叠加。
对输入暂存器进行 量子傅立叶变换。这个变换（操作于二的幂次--Q = 2q个叠加态上面） 使用一个Qth单位根例如将任意给定态的振幅平均分布在所有Q个态上。另一个方法是对于每个不同的x： 。由此得到最终状态： .这是一个远多过Q个状态的叠加态，但是远低过Q2个。虽然在和中有Q2项，但只要x0 和 x的值相同，态就可被提出来。令 为 Qth 的一个单位根，r 为 f 的周期，x0为一个产生相同 f(x) 的 x 的集里面的最小元素（我们已经有x0 & r），以及b在0到之间使得。那么则是复平面的一个单位向量（是一个单位根，r 和 y 是整数），而在最终状态下的系数则为 。这一求和的每一项代表一个获得相同结果的不同路径，而量子干涉发生。在单位向量几乎与复平面指向同一方向（要求指向正实数轴）时，干涉将是相长的。
进行测量。 我们由输入寄存器取得结果 y，由输出寄存器取得。 而既然f 是周期，对某对y和 进行测量的概率则由 给出。 分析显示这个概率越高，单位向量就越接近正实数轴，或者yr/Q就越接近一个整数。除非r是2的乘方，否则它不会是Q的因子。
对y/Q进行连分数展开来计算其近似值，并生成满足下列两个条件的c/r′： A: r′&NB: |y/Q - c/r′| & 1/2Q借着满足这一些条件，r′ 有很高的机率会是我们要找的周期r 。
检查f(x) = f(x + r′) 。 如果成功了，我们就完成了。
否则，以接近y左右的数值作为r的候选，或者说多取几个r′. 如果任何候选成功了，我们就完成了。
否则，回到第一步骤(也就是全部重新作一次)。
此算法包含两个部份。算法的第一部份是将因子分解问题转成寻找一个函式的周期，而且这部份可以用传统方式实做。第二部份则是使用量子傅立叶变换来搜寻这个函式的周期，而且这一部份是量子加速这整个算法的理由。
I. 从周期得到因子
小于N且互质于N的整数组成一个有限大，且对乘法同余N的群。在步骤3之后，我们有一个属于这个群的整数a。既然这个群是有限的，a必有一个有限大的目 r, 也就是最小的正整数令
因此可知，N是ar - 1 的因子。先假设我们有能力获得 r，而且 r是偶数。则
r是令ar ≡ 1最小的正整数，所以(ar / 2 - 1)必定不能整除于N。若 (ar / 2 + 1)也不整除于N的话, 则N必定与(ar / 2 - 1)或者(ar / 2 + 1)有一个非显然的公因子。
证明：为了简化，我们分别用u和v表示(ar / 2 - 1)和(ar / 2 + 1)。N | uv，故kN = uv(k是某个整数)。假设gcd(v, N) = 1：则必定存在某个整数m和n令mv + nN = 1 (这是最大公因子的一个性质) 。两边同乘以u，我们得到mkN + nuN = u, so N | u。gcd(v, N) ≠ 1，故产生矛盾。用类似的方法, 可以得知若(ar / 2 + 1) 不能整除于 N, gcd(u, N) ≠ 1。故得证u和v不同时与N互质。
这给予我们一个N的因子分解。若N是两个质数的乘积，则这是唯一可能的分解。
II. 找寻周期
舒尔的周期寻找算法非常倚赖量子计算机同时计算许多状态的能力。 物理学家称呼这个特性为这一些状态的&叠加&。在计算函数f的周期时，我们会同时估计这个函数的所有点。
不过，量子物理不允许我们直接取得这一些资讯。 测量会令观测结果塌陷到其中一个可能的结果，并摧毁其他可能性的存在。但是根据不可克隆原理，我们可以先测量f(x) 而非测量x，再制造几个结果态的拷贝（将会是多个有着同样的f(x)的态的叠加）。对这些态上的x的测量将会给出能给出相同f(x)的不同的x，由此推导出周期来。因为我们不能复制完全相同的量子状态，这个方法行不通。因此在这里我们需要小心的将叠加态转变成我们有办法以很高的正确机率回答答案的状态。在这里我们使用量子傅立叶变换来达成。
因此舒尔在这里必须解决三个&实做&的问题。这一些问题都必须要有很快的实做，或者说他们可以用的多项式个数这么多量子闸来实做。
制造状态的叠加。 这可以借着对所有输入的量子位元使用哈达玛闸(Hadamard gate)来达成。另一个方法是使用量子傅立叶变换(如下述)。
以量子变换实做函数f。 要达成这件事情, 舒尔使用了反复平方以完成模的取幂变换。值得注意的是，这一个步骤比起量子傅立叶变换还难以实做，需要更多辅助的量子位元以及大体上更多的闸来完成。
进行量子傅立叶变换。 利用受控旋转闸(controlled rotation gate)和哈达玛闸，舒尔设计了一个量子傅立叶变换的线路，只有使用了个闸(Q = 2q)。[5]
在这一些变换之后，测量会逼近于周期 r的近似值。 为简明起见，假设存在y令yr/Q是整数，则测量到y的机率是1(理论上)。 要推导出这个，我们首先注意到对任何整数b，
因此Q/r的平方能告诉我们测量y的概率，因为b大致上取Q/r个值，因此概率为。 有r个y使得yr/Q为整数，也有r种可能，所以机率总和为1。
另一种解释舒尔算法的方式是将之视为是乔装过后的量子相位估计算法。
．Wikipedia[引用日期]
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