摘 要： 矩阵求逆是高等代数Φ很重要的内容之一本文介绍了矩阵求逆的几种方法。 　　关键词： 三阶矩阵的逆矩阵公式阵 初等变换 伴随矩阵 级数 特征多项式 　　 　　1.定义法
　　定义：设A为n阶矩阵如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。则称矩阵A是可逆的称B是A的三阶矩阵的逆矩阵公式阵。
　　例1：求矩阵A=的三阶矩陣的逆矩阵公式阵
　　解：因为|A|≠0，所以A存在
　　定理1：n阶矩阵可逆的充要条件是|A|≠0，而且当n（≥2）阶矩阵A为可三阶矩阵的逆矩阵公式阵时A=A，其中A为矩阵A的伴随矩阵
　　用公式法求逆，当阶数较高时计算量很大，所以该方法主要用于理论推导
　　设n阶矩阵A，作n×2n矩阵然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块A变为I则子块I将变为A，即初等行变换［IA］。
　　经消元后将上式转化为如下形式：
　　5.广义的行列初等变换法
　　此方法可将阶数较高的矩阵化为阶数较低的矩阵再求其逆使计算简化。
　　证明：（I）用广义的初等行变換
　　（II）用广义的初等列变换法。
　　有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其三阶矩阵的逆矩阵公式阵此时可将A+B直接化为（A+B）C=I，由此有A+B非奇异且（A+B）=C；或将矩阵之和A+B表示为若干已知的非奇异阵之积，并可得其三阶矩阵的逆矩阵公式阵
　　例5：证明：若A=0，则I-A是非奇异的并求（I-A）。
　　∴ （I-A）是非奇异的
　　例6：设A为n阶矩阵，且满足2A-3A+5I=0证明A是可三阶矩阵的逆矩阵公式阵，并求A
　　∴A可逆，苴A=-A+I
　　例7：已知n阶可三阶矩阵的逆矩阵公式阵的特征多项式是f（λ）=|λI-A|=a-iλ，求A。
　　解：由A可逆可得A的特征多项式是f（λ）的常数项a≠0并由哈密特―凯莱定理知f（A）=0，即aA+…+aA+aI=0故A（-（aA+…+aI））=I，于是A=-（aA+…+aI）当已知可逆的特征多项式时，利用以上方法很容易找到A
　　8.矩阵函数的级数展开法
　　例8：设矩阵B的特征根的绝对值小于1，且A=I+B则A的三阶矩阵的逆矩阵公式阵存在，且A=I-B+B+B-B…
　　证明：因I与B可逆令S=I-B+B+B+…+（-1）B，于是S是与A之积等于1+（-1）B
　　所以SA（1+（-1）B）=I，由于可三阶矩阵的逆矩阵公式阵的逆存在唯一性可知A=S。
　　［1］殷宗山.河北工程技术高等专科学校学报.
　　［2］李桂荣.德州高等专科学校学报，.
　　［3］龚爱玲.天津理工学院学报.
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  行初等变换法,求伴随矩阵法 行初等变换法比较常用我说明一下其方法以及方法的来源和证明过程。
证明：（证明前说明一个问题：一个矩阵进行一次行变换相当于左乘┅个m阶初等矩阵进行一次列变换相当于右乘一个n阶初等矩阵（初等矩阵就是由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵（初等变换包括三種方式即：交换矩阵某两行，某两列或者将矩阵的某一行或某一列的k倍加到另一行或另一列去））那么即是p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E(并不是直接得到E,而是┅个只与E和O有关的矩阵但由于qn，pn的行列式都不为0则得到的与和O有关的矩阵的行列式不为0，则该矩阵为E这里说明A必须为n阶矩阵)p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E两边同时乘以pn，qn的三阶矩阵的逆矩阵公式阵）则得到A=pn-1*……p1-1*qn-1*……*q1-1） 那么同理我们可以将A-1表示为A-1=G1*G2*……Gn，(G1、G2……Gn均为初等矩阵)也可以写成A-1=G1*G2*……Gn*E(因为一个矩阵乘以E还是原矩阵)两边同时右乘A,即A-1*A=G1*G2*……Gn*A,则E=G1*G2*……Gn*A,这就是说E经过一系列行初等变换（就是交换E的两行或者将E的某一行的K倍加到另┅行去）得到A-1,而A经过与上面相同的行变换得到E,那么我们可以这样表示（A,E）~一系列行变换~（E,A-1）因此我们可以把A,E放在一起形成一个2n阶矩阵，茬经过一系列行初等变换当A变为E时，E变为A-1