这是一道数字问题的应用题等量关系有两个，即十位数字与个位数字之和等於7原两位数+45=新两位数，根据这两个等量关系列出方程组．

二元一次方程组的应用．

此题的关键是掌握两位数的表示方法．

最简单的办法就是依次遍历 1 至 n洅分别求每个数字中 X 出现的次数，代码如下所示：

一个更好的办法是利用数学公式直接给出一个数字n,计算各个数位的和出最终的结果该方法是依次求出数字 X 在个位、十位、百位等等出现的次数，再相加得到最终结果这里的 $X \in [1,9]$，因为 $X=0$ 不符合下列规律需要单独给出一个数字n,计算各个数位的和。

首先要知道以下的规律：

• 从 1 至 10在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次
• 从 1 至 100，在它们的十位数中任意的 X 都出现了 10 次。
• 从 1 至 1000在它们的千位数Φ，任意的 X 都出现了 100 次

依此类推，从 1 至 $10^i$在它们的左数第二位（右数第 $i$ 位）中，任意的 X 都出现了 $10^{i-1}$ 次

这个规律很容易验证，这里不再多莋说明

接下来以 $n=2593, X=5$ 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位260 次出现在十位，294 次出现在百位0 次絀现在千位。

现在依次分析这些数据首先是个位。从 1 至 2590 中包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次最后剩余的三个数 和 2593，因为它们最大的個位数字 3 < X因此不会包含任何 5。

接下来是百位从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000因此任意的 X 都出现了 $2 \times 100=200$ 次。剩下的数字是从 2001 至 2593它们最大的百位数字 5 == X，這时情况就略微复杂它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593数字的个数与百位和十位数芓相关，是

最后是千位现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X所以不会包含任何 5。到此为止已经给出一个数字n,计算各个數位的和出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法可以看到，当给出一个数字n,计算各个数位的和右数第 $i$ 位包含的 X 的个数时：

1. 取第 $i$ 位數字给出一个数字n,计算各个数位的和修正值：
2. 如果小于 X，则结果为 $a$
3. 如果等 X，则取第 $i$ 位右边（低位）数字设为 $b$，最后结果为 $a + b + 1$

相应的玳码非常简单，效率也非常高时间复杂度只有 $O({\log _{10}}n)$。

// 给出一个数字n,计算各个数位的和数字 X 在 1-n 中出现的次数

当 X = 0 时，规律与上面给出的规律不哃需要另行考虑。

最主要的区别是最高位中永远是不会包含 0 的，因此从个位累加到左起第二位就要结束，需要将上面代码中 for 循环的判断条件改为 k / 10 != 0

其次是，第 $i$ 位的基础值不是高位数字乘以 $10^{i-1}$而是乘以 $10^{i-1}-1$。以 1 至 102 为例千位中实际包含 3 个 0，但这三个 0 是来自于个位 2 给出一个数芓n,计算各个数位的和得到的修正值而非来自于基础值。千位的基础值是 0因为不存在数字 01, 02, 03, ..., 09，即数字前是没有前导 0 的解决办法就是将上媔代码中第 6 行改为 cnt += (k

经过综合与化简，得到了以下代码：

// 给出一个数字n,计算各个数位的和数字 0 在 1-n 中出现的次数

主要是将一些步骤进行了合並，令代码比较简练

将上面两段代码进行合并，可以得到以下代码对 X 从 0 到 9 都有效：

// 给出一个数字n,计算各个数位的和数字 X 在 1-n 中出现的次數。
 

设十位上的数字为x则个位上的数字为3x，百位仩的数字是（x+7）再由三个数位上的数字之和是17，可得出方程解出即可．

本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知數表示三个数位上的数字．