论文发表、论文指导
周一至周五
9：00&22：00
浅谈导数的应用
　　摘 要：导数是微积分学的基本概念之一。函数的许多性质的研究，函数的可微性、函数的积分以及经济活动分析与预决策等都离不开导数，导数的产生和不断发展过程可以说就是一个将导数不断应用于科学研究和生产实践的过程，正确理解和认识导数及其应用，可以帮助我们更好地利用导数这个数学工具，进行深入的数学理论研究和指导解决经济管理决策中的许多问题。 中国论文网 /9/view-6671481.htm　　关键词：导数 应用 　　导数是微积分学的基本概念之一。函数的许多性质如单调性，函数图象的凹凸性与拐点的研究，过曲线上点的切线斜率的计算，函数极大值、极小值和最大值最小值的计算，函数的可微性、函数的积分以及经济活动分析与预决策等都离不开导数。事实上，导数的产生和不断发展过程可以说就是一个将导数不断应用于科学研究和生产实践的过程，正确理解和认识导数及其应用，可以帮助我们更好地利用导数这个数学工具进行数学理论研究和解决经济管理决策中的许多实际问题。 　　追溯数学发展的历程，我们发现，到了十七世纪，虽然数学学科发展取得了辉煌的成就，但也遭遇到发展瓶颈――有许多科学问题急需解决，这些问题也就成了促使数学分支微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。对这些问题的探索和解决，正是微积分的重要应用领域。本文着重讨论微分学中的导数的应用。 　　一、导数的概念 　　导数是一个建立在极限基础上的重要概念：设函数y=f（x）在点x0及其邻域内有定义，当自变量在点x0取得增量△x（△x≠0），相应地函数y=f（x）有一个增量△y=f（x0+△x）-f（x0），如果极限△y/△x=[f（x0+△x）-f（x0）]/△x或[f（x）-f（x0）]/（x- x0）存在，则称函数f（x）在点x0处可导，并称此极限值为f（x）在点x0处的导数，记作f′（x0）或y′?x= x0或dy/dx?x=x0。 　　此处必须说明的是，△y/△x=f′（x0）成立的充分必要条件是f（x）在x0处满足：△y/△x=△y/△x，即该点处的左、右导数存在且相等。 　　另外，如果函数f（x）在[a，b]上任一点可导，则其导数f′（x）是x的函数，称为导函数（简称导数），且f′（x）= [f（x+△x）-f（x）]/ △x（求极限时，x视为常数）。 　　根据导数的定义，可以推导出导数的四则运算法则和基本求导公式，为导数的运算和利用导数分析问题提供了重要工具。 　　二、导数的应用 　　（一）导数在几何上的应用 　　1.计算过曲线上任一点的切线斜率 　　根据导数的几何意义，导数f′（x0）=[f（x0+△x）-f（x0）]/△x =k，这里k为曲线上过点M（x0，y0）的切线的斜率。由此还可求该点的切线方程：y-y0= f′（x0）（x-x0）。 　　函数y=f（x）在点M（x0，y0）的法线方程为：y-y0=-（x- x0）。（f′（x0）≠0） 　　2、判断函数图象的凹、凸性和拐点 　　（1）判断函数图象的凹、凸性 　　如果曲线弧AB在其任一点切线之上，则称其为凹弧，如果曲线弧AB在其任一点切线之下，则称其为凸弧。曲线凹、凸性的判断可以根据导数符号来进行。 　　设f（x）在（a，b）上二阶可导，f（x）曲线弧AB为凹弧的充分必要条件就是：对x∈（a，b），都有f?（x）≥0。反之，f（x）图象弧AB为凸弧的充分必要条件为：对x∈（a，b），都有f?（x）≤0。 　　（2）判断函数曲线上的拐点 　　曲线的拐点是曲线上凹弧与凸弧的分界点。如果f?（x0）=0（或f（x）在点x0处可导），在点x0两侧f?（x）异号，则点（x0，f（x0））是图形的拐点；如果在点x0两侧f?（x）同号，则点（x0，f（x0））不是图形的拐点。 　　（二）导数在函数性质研究上的应用 　　1、判断函数的单调性 　　函数的单调性是指函数在定义域内的一个确定的区间内，函数值y随自变量x的增大而增大（或减小）的性质，这种性质被称为函数在该区间单调递增（或单调减少），通过图象来理解通常表现为函数图象的上升或下降（假定x增加的情形下）。但是，这种对单调性的判断方法是比较粗略的。 　　事实上，我们可以用导数来理解函数的单调性。若函数f（x）在（a，b）内可导，则f（x）单调增（减）的充要条件是： x∈（a，b），f′（x）≥0（≤0）。 　　利用导数判断函数单调性的一般方法是：（1）求出函数的定义域。（2）求出函数的导数f′（x）。（3）令f′（x）=0，求出函数的驻点。（4）用驻点将函数的定义域划分为若干区间。（5）根据每个区间内导数的符号判断函数在相应区间的单调性。 　　2、求函数的极值和最值 　　对于一个已知函数，利用导数还可以研究其极值和最值。极值是函数在定义域内的一个点的邻域内相对较大（较小）的值的统称。最值是在一个给定的闭区间内的最大（小）值。 　　计算函数的极值的方法是：若f（x）在x0连续，在x0某邻域内可导，且， 　　x0或f′（x）<0 　　x>x0时，f′（x）0 　　即在x0两侧，f′（x）异号，则x0为极大值点（或极小值点），相应的函数值f（x0）为极大值（或极小值）。 　　如果利用函数的二阶导数，也可计算函数的极值。设f′（x0）=0，f?（x0）存在。若f?（x0）0，则x0为极小值点。 　　最值可以在计算极值和区间端点值基础上通过比较得出。 　　（三）导数在物理学上的应用 　　前面提到，在十七世纪，科学发展遇到一些急需解决的问题，如变速度运动物体的瞬时速度和加速度的计算就是当时物理学上的重要问题，对这个问题的解决，就成为导数在物理学上的经典应用。 　　对变速度运动的物体，假设其运动位移方程为s=s（t），如何求得它的瞬时速度呢？其实，瞬时速度可以视为物体在一段时间内的平均速度的极限问题，即： 　　vt=[s（t0+△t）-s（t0）]/△t=s′（t0）。至于加速度的计算，也就类似于瞬时速度的计算，即物体运动的加速度a=s?（t0）。 　　也就是说，只要建立起了物体运动的位移方程s=s（t），瞬时速度和加速度的计算问题就可以通过求导数来解决。 　　（四）导数在经济分析中的应用 　　1、边际与边际分析 　　设总成本函数为C（q）=C0+C1（q），其中，C0为固定成本，C1（q）为变动成本，则总成本函数在q0处的边际成本MC=C′（q0），表示在产量为q0处，产量每增加一个单位所新增加的总成本。一般而言，在不同的点q0处，边际成本不同，通过比较可以帮助决策者作出生产决策。 　　同理，设总收入函数为R（q）=p（q）q，则边际收入MR=R′（q0），表示当销售量为q0时，每多销售一件产品所能增加的收入。 　　2、需求弹性分析 　　（1）需求价格弹性及其应用 　　需求价格弹性是指，商品的价格发生变动时，需求量的相对变化率与价格的相对变化率之比称作需求价格弹性。它表示商品价格变动1%会引起需求量多大百分比的变动，对需求价格弹性的分析可以指导产品价格策略的制定和调整。其公式为： 　　Edp=′（p）. 　　可见，需求价格弹性取决于需求函数及其导数Q′（p），由于需求量Q和价格p成反向变动关系，因此Q′（p）是负值（也有例外，如珍藏品等），从而决定了需求价格弹性通常为负值，其大小一般指绝对值，需求价格弹性取值范围分六种情况： 　　a缺乏弹性： 0<<1，需求量变动的幅度<价格变动的幅度。这类产品的弹性小，一般为生活日用品。对这类产品，可采用适当的提价措施，以扩大销售总额，当然提价的幅度不宜过大，应以需求者在心理上和经济上能够承受为前提。 　　b富有弹性：>1，需求量变动的幅度>价格变动的幅度。这类产品弹性大，一般属于奢侈品、高消费品之类。对其应采取降价的方法来扩大销售，但必须以不减少利润为度。 　　c单一弹性：=1，需求量变动的±幅度=价格变动的干幅度，即提价或降价都不会影响销售总额的增减变动。这种产品多属化妆品、娱乐品等。对这类产品的价格政策，应视实际需要而定。如果降低价格，则可增加销售量，从而需要扩大生产，进而可以增加产值、增加职工收入等；若是提高价格，虽然销售量减少，但不会减少销售总额，且还可以减少产品销售成本，达到利润增加的效果。 　　d完全弹性：Edp-，商品价格波动很小，需求波动就会是无限大，因此，完全竞争企业的需求曲线是水平的，也就是固定价格。 　　e完全无弹性：Edp=0，谓之零弹性，即不论价格作如何变动，其需求量总是相对较为稳定。这类产品是人们的生活必需品，食盐等产品即属此类。对这类产品的价格制定，应当谨慎行事，可在国家政策允许的范围内，或按照国家规定适度提高价格，以增加效益。还有如丧葬费等。 　　f正弹性：Edp>0，需求量的变动方向相同于价格的变动方向。此类产品多为珍藏品、稀有物、紧俏货。这种产品，当价格愈是提高时，需求量愈是增加；或者相反，尽管价格有所降低，而需求量也随之减少。产生这种奇特情况的原因，一是当这类产品一经提价后，顾客生怕再涨价，于是随即抢购。 　　（2）需求收入弹性及应用 　　需求收入弹性是指，消费者的收入发生变动时，需求量的相对变化率与收入的相对变化率之比称作需求收入弹性。它表示消费者收入变动1%会引起需求量多大百分比的变动。其计算公式为： 　　Edi=′（I）. 　　与需求价格弹性相类似，需求收入弹性取决于需求收入函数及其导数Q′（I），需求收入弹性Edi有正有负，不同商品的需求收入弹性是不一样的。 　　如Edi>0，该商品为正常品，正常品中，如0<Edi1，则为高档品。 　　如Edi<0，则为低档品。 　　对商品的需求收入弹性进行分析，可以帮助企业进行产品升级换代和产品组合决策。 　　同时，需求收入弹性的大小，还是判断市场的成长、饱和与衰退的一个重要指标。Edi>1，表明产品市场处于成长状态；Edi=0，说明产品市场处于饱和状态；Edi<0，则显示产品处于衰退状态。 　　综上所述，导数产生于科学研究的需要，又指导科学研究和生产实践。当然，导数的应用不仅限于上述几个方面，随着科学技术的发展，我们有理由相信，作为微积分基本概念之一的导数，还将在许多学科以及社会经济生活的许多领域有着更多更广的应用。 　　参考文献： 　　[1]李开慧，余英.应用高等数学基础（上册）.重庆：重庆大学出版社，2005.7 　　[2]全国工商管理硕士入学考试研究中心.2002年MBA联考考前辅导教材.数学分册.北京：机械工业出版社，2001 　　[3]〔美〕卡尔?B?波耶.微积分概念发展史.上海：复旦大学出版社，2007.6 　　作者简介： 　　颜冀军，男，1976年生，重庆师范大学管理学硕士，现为重庆青年职业技术学院数学高级讲师。
转载请注明来源。原文地址：
【xzbu】郑重声明：本网站资源、信息来源于网络，完全免费共享，仅供学习和研究使用，版权和著作权归原作者所有，如有不愿意被转载的情况，请通知我们删除已转载的信息。
xzbu发布此信息目的在于传播更多信息，与本网站立场无关。xzbu不保证该信息（包括但不限于文字、数据及图表）准确性、真实性、完整性等。为什么这个函数在0处的导数用导数定义求导和直接求导求出的导数值不一样？导数定义求出0点处的导数值为0而直接求导求出的结果是导数不存在【考研吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：3,439,713贴子：
为什么这个函数在0处的导数用导收藏
为什么这个函数在0处的导数用导数定义求导和直接求导求出的导数值不一样？导数定义求出0点处的导数值为0而直接求导求出的结果是导数不存在，这是为什么，
「文都」考研辅导班,高三式封闭集训,军事化管理,考研名师团保驾护航,全程配备测评.院校专业选择指导,快速提高学员复习效率,文都鹰飞集训营,用实力助你提升&研&值.
直接求导就是0 你的基本功太不扎实了
sinx是个定值 永远在1和负一摆动 即使x区域无穷大
准确的说sinx是一个有限的值
真不知道谁不扎实，直接求导的结果是极限不存在，表明这个函数在0点处可导但导数不连续，原来这吧里数学不咋滴啊
确切地说，导数定义求出来的是0点确切的导函数值，而直接求导求出来的是x趋于零时的导函数的极限值，一般题目中这个极限值等同于该点函数的条件为函数在该点连续。而此时并不知道导函数的连续情况，两个结果不等说明该函数在0点处导数不连续，即在0点可导但不连续
你这个函数都不连续 怎么可导？除非有一个 f(0)=0的条件才行。而且，就算有这个条件。分段函数的分段点也只能用定义求导
0是无定义点，f(x)在x=0分段，应该用导数定义求，直接求导是错的
题目是分段函数，f(0)等于0
这明显考分段函数分界点求导嘛
o是他的一个间断点
要给o处下定义啊
看到这道题，想到导函数
这个函数是一个变态函数，他的特点是在0处有导数，但是它的导函数不连续，在0附近的点导函数是无穷，更准确的说叫在0附近不存在导函数。一个典型的导函数不连续的例子。而你用求导公式的结论，要建立在导函数连续的基础上。
登录百度帐号函数的导数怎么求例子_百度知道
函数的导数怎么求例子
我有更好的答案
用定义求，如f(x)=x&#178;f&#39;(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=lim(Δx→0)[(x+Δx)&#178;-x&#178;]/Δx=lim(Δx→0)[(x+Δx+x)(x+Δx-x)]/Δx=2x直接用公式求：f(x)=x&#8319;f&#39;(x)=nx^(n-1)f(x)=x&#178;f&#39;(x)=2x^(2-1)=2x常用的求导公式
采纳率：93%
来自团队：
为您推荐：
其他类似问题
&#xe675;换一换
回答问题，赢新手礼包&#xe6b9;
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。&#xe621; 上传我的文档
&#xe621; 上传文档
&#xe602; 下载
&#xe60c; 收藏
粉丝量：21
该文档贡献者很忙，什么也没留下。
&#xe602; 下载此文档
备考2015考研数学求函数导数时的注意事项
下载积分：1000
内容提示：备考2015考研数学求函数导数时的注意事项
文档格式：DOC|
浏览次数：3|
上传日期： 22:01:28|
文档星级：&#xe60b;&#xe60b;&#xe60b;&#xe60b;&#xe60b;
全文阅读已结束，如果下载本文需要使用
&#xe71b; 1000 积分
&#xe602;下载此文档
该用户还上传了这些文档
备考2015考研数学求函数导数时的注意事项
关注微信公众号&#xe621; 上传我的文档
&#xe621; 上传文档
&#xe602; 下载
&#xe60c; 收藏
粉丝量：80
该文档贡献者很忙，什么也没留下。
&#xe602; 下载此文档
带绝对值函数式的导数的求法
下载积分：1500
内容提示：带绝对值函数式的导数的求法
文档格式：PDF|
浏览次数：198|
上传日期： 07:30:13|
文档星级：&#xe60b;&#xe60b;&#xe60b;&#xe60b;&#xe60b;
全文阅读已结束，如果下载本文需要使用
&#xe71b; 1500 积分
&#xe602;下载此文档
该用户还上传了这些文档
带绝对值函数式的导数的求法
关注微信公众号}