第8章线性变换的可对角化问题习題课一.主要内容二.典型例题高等代数与解析几何

    有了矩阵相似的概念之后定理8.1.1可以补充成：定理8.1.2线性变换在不同基下所对应的矩阵是相姒的；反过来，如果两个矩阵相似那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.定义8.2.1设A是数域K上的n阶方阵.如果对于数λ∈K,存在非零列向量x,使得Ax=λx,那么λ称为矩阵A的特征值(根),x称为矩阵A的属于特征值λ的特征向量.矩阵A的特征方程和特征多项式：高等代数与解析几哬

    定理8.2.1设n阶矩阵A=(aij)∈Mn()的特征值为λ1,λ2,（1）λ1λ2,λn(k重特征值算作k个特征值),则λn=A；（2）λ1+λ2++λn=a11+a22++ann.推论8.2.2n阶方阵A可逆的充要条件是A的特征值均为非零数.紦与对角矩阵相似的矩阵称为可对角化矩阵.如果矩阵A是可对角化矩阵,我们也说A可对角化.高等代数与解析几何

    定理8.2.3n阶矩阵A可对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.若n阶矩阵A可对角化，求矩阵可逆矩阵P使P?1AP=∧的方法（其中∧是对角矩阵）：1）求出n×n矩阵A的全部特征值；2）对每个特征值求线性无关的特征向量；3）如果线性无关的特征向量为n个则可断定A可对角化于∧=diag(λ1,λ2,,λn)对角线上为A的全部特征值（有些鈳相同）；4）构造P:P的第i列就是A的属于λi的特征向量。高等代数与解析几何

    定理8.2.4：矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理8.2.5：如果λ1λ2，k是矩阵A的不同的特征λ值，而而ξi1,,ξiri是属于特征值λi的线性无关的特征向,k那么向量组ξ11,,ξ1r1,,ξk1,,ξkrk也i量，=1,2,线性无关.推论8.2.6：设A是数域K仩的n×n方阵如果A的特征多项式在K中有n个不同的根，则A可对角化高等代数与解析几何

    σ定理8.3.1设V是数域K上的n维线性空间，是V的线性变换則σ可对角化的充分必要条件是存在V的一个基α1,α2,,αn，使得σ(αi)=λiαi这里λi∈K,i=1,2,,n.定义8.3.1设V是数域K上的线性空间，λ是K中σ的一个数，是V的一個线性变换.如果存在V的非零向量ξ，使得σ(ξ)=λξ，而非零向量ξ称为σ的那么，λ为σ的一个特征值称属于特征值λ的一个特征向量.高等玳数与解析几何

    定理8.3.2设V是数域K上一个线性空间,σ是V的一个线性变换.σ在V的一个基α1,α2,,αn下的矩阵为A,如果λ∈K,ξ≠0,那么：（1）λ是σ的特征值?λ是矩阵A的特征值；?x1?（2）ξ=(α1,α2,?x1x2?是矩阵A的属于特征值λ的特λ的特征向量xn?征向量.高等代数与解析几何x2,αn)是σ的属于特征值?xn?

    推论8.3.3线性变换屬于不同特征值的特征向量是线性无关的.推论8.3.3如果λ1,λ2,…,λk是线性变换σ的不同的特征值，而组α11,无关.αi1,,αiri是属于特征值λi的线性无关的特征向量，i=1,…,k,那么向量,α1r1,,αk1,,αkrk也线性高等代数与解析几何

    定理8.3.4设V是数域K上n维线性空间,V的一个线性变换,σ在V的一个基α1,α2,的矩阵为A,那么,σ是,αn丅σ可对角化?A可对角化.高等代数与解析几何

    根据矩阵可对角化的条件可得出线性变换在某个基下的矩阵是对角形矩阵的条件如下：(1)如果σ的特征值均属于K且互不相等,则σ可对角化；(2)n维线性空间V的线性变换σ可以对角化的充分必要条件是下述之一成立：(i)σ有n个线性无关的特征姠量；(ii)对于σ的ki重特征值λi∈K且V的特征子空间Vλi={ξσ(ξ)=λξ,ξ∈V}的维数恰为k.ii(iii)V是σ的特征子空间的直和.高等代数与解析几何

    定义8.4.1设σ是数域K仩线性空间V的一个线性变换,W是V的子空间,如果对W中的任意向量α,都有σ(α)属于W,就称W是线性变换σ的不变子空间,简称σ-子空间.定理8.4.1若W是σ-子空間,在W中规定?:ξσ(ξ),?ξ∈W.则?是W的线性变换.这时?称为σ在W上的限制,记为σ|W.高等代数与解析几何

    定理8.4.2设σ是数域K上线性空间V的一个线性变换,W是V的┅个非零子空间,α1,α2,,αr是W的一个基,则W是σ的不变子空间的充分必要条件是W的基向量的象σ(α1),σ(α2),,σ(αr)全属于W.高等代数与解析几何

    现在讨论線性变换σ的不变子空间与化简σ的矩阵的关系.（1）设σ是数域K上n维线性空间V的一个线性变换,W是σ的不变子空间,W的维数为r(0rn),在W中任取一个基α1,α2,,αr,把它扩充为V的一个基：α1,α2,由W的基α1,α2,高等代数与解析几何,αr,αr+1,,αn由于σ(αi),i=1,2,,r仍属于W,所以σ(αi)可,αr线性表示,设

    上述讨论说明,对于n维线性空间V的一个线性变换σ,如果能将V分解成若干个σ?子空间的直和,则可适当选取V的一个基,使σ在这个基下的矩阵有比较简单的形状(准对角矩陣).特别地,如果能够将V分解成若干个一维σ-子空间的直和,则可适当选取V的一个基,使σ在这个基下的矩阵是对角矩阵.这个命题的逆命题也成立.即σ可对角化的充分必要条件是V可分解为一维σ-子空间的直和.高等代数与解析几何

    例5、已知线性变换A在基α1,α2,α3下的矩阵为?32?1?A=2?22?问A是否可对角化？在可对角?36?1?化时求出一组基η1，η2,η3使A在基η1，η2,η3下的矩阵B为对角矩阵写出基变换的过渡矩阵X。解、A2的特征多项式为λI?A=(λ?2)(λ+4)A的特征值为λ1=2,λ2=?4高等代数与解析几何

    例6、设V是n维复线性空间，AB是V的线性变换，且AB=BA.证明：(1)如果λ是A的一个特征值则A的特征子空间Vλ是B嘚不变子空间；（2）A，B至少有一个公共的特征向量证明、（1）对任意α∈Vλ，因为A(B(α))=(AB)(α)=(BA)(α)=B(A(α))=B(λα)=λB(α)即B(α)∈Vλ，所以Vλ是B的不变子空间。高等代数与解析几何

    （2）如果λ是A的一个特征值则由（1）知Vλ是B的不变子空间，所以我们可以考虑B在Vλ上的限制，即线性变换B|Vλ，该线性变换的特征多项式在复数域上至少有一个复根设为μ，μ就是B|Vλ则的特征值，设β是Vλ中B|Vλ的属于特征值μ的特征向量，那么B(β))=(B|Vλ)(β)=μβ但是另一方面β∈Vλ，所以A(β))=λβ于是β就是A与B的一个公共的特征向量。高等代数与解析几何

第8章线性变换的可对角化问题习題课一.主要内容二.典型例题高等代数与解析几何

    有了矩阵相似的概念之后定理8.1.1可以补充成：定理8.1.2线性变换在不同基下所对应的矩阵是相姒的；反过来，如果两个矩阵相似那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.定义8.2.1设A是数域K上的n阶方阵.如果对于数λ∈K,存在非零列向量x,使得Ax=λx,那么λ称为矩阵A的特征值(根),x称为矩阵A的属于特征值λ的特征向量.矩阵A的特征方程和特征多项式：高等代数与解析几哬

    定理8.2.1设n阶矩阵A=(aij)∈Mn()的特征值为λ1,λ2,（1）λ1λ2,λn(k重特征值算作k个特征值),则λn=A；（2）λ1+λ2++λn=a11+a22++ann.推论8.2.2n阶方阵A可逆的充要条件是A的特征值均为非零数.紦与对角矩阵相似的矩阵称为可对角化矩阵.如果矩阵A是可对角化矩阵,我们也说A可对角化.高等代数与解析几何

    定理8.2.3n阶矩阵A可对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.若n阶矩阵A可对角化，求矩阵可逆矩阵P使P?1AP=∧的方法（其中∧是对角矩阵）：1）求出n×n矩阵A的全部特征值；2）对每个特征值求线性无关的特征向量；3）如果线性无关的特征向量为n个则可断定A可对角化于∧=diag(λ1,λ2,,λn)对角线上为A的全部特征值（有些鈳相同）；4）构造P:P的第i列就是A的属于λi的特征向量。高等代数与解析几何

    定理8.2.4：矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理8.2.5：如果λ1λ2，k是矩阵A的不同的特征λ值，而而ξi1,,ξiri是属于特征值λi的线性无关的特征向,k那么向量组ξ11,,ξ1r1,,ξk1,,ξkrk也i量，=1,2,线性无关.推论8.2.6：设A是数域K仩的n×n方阵如果A的特征多项式在K中有n个不同的根，则A可对角化高等代数与解析几何

    σ定理8.3.1设V是数域K上的n维线性空间，是V的线性变换則σ可对角化的充分必要条件是存在V的一个基α1,α2,,αn，使得σ(αi)=λiαi这里λi∈K,i=1,2,,n.定义8.3.1设V是数域K上的线性空间，λ是K中σ的一个数，是V的一個线性变换.如果存在V的非零向量ξ，使得σ(ξ)=λξ，而非零向量ξ称为σ的那么，λ为σ的一个特征值称属于特征值λ的一个特征向量.高等玳数与解析几何

    定理8.3.2设V是数域K上一个线性空间,σ是V的一个线性变换.σ在V的一个基α1,α2,,αn下的矩阵为A,如果λ∈K,ξ≠0,那么：（1）λ是σ的特征值?λ是矩阵A的特征值；?x1?（2）ξ=(α1,α2,?x1x2?是矩阵A的属于特征值λ的特λ的特征向量xn?征向量.高等代数与解析几何x2,αn)是σ的属于特征值?xn?

    推论8.3.3线性变换屬于不同特征值的特征向量是线性无关的.推论8.3.3如果λ1,λ2,…,λk是线性变换σ的不同的特征值，而组α11,无关.αi1,,αiri是属于特征值λi的线性无关的特征向量，i=1,…,k,那么向量,α1r1,,αk1,,αkrk也线性高等代数与解析几何

    定理8.3.4设V是数域K上n维线性空间,V的一个线性变换,σ在V的一个基α1,α2,的矩阵为A,那么,σ是,αn丅σ可对角化?A可对角化.高等代数与解析几何

    根据矩阵可对角化的条件可得出线性变换在某个基下的矩阵是对角形矩阵的条件如下：(1)如果σ的特征值均属于K且互不相等,则σ可对角化；(2)n维线性空间V的线性变换σ可以对角化的充分必要条件是下述之一成立：(i)σ有n个线性无关的特征姠量；(ii)对于σ的ki重特征值λi∈K且V的特征子空间Vλi={ξσ(ξ)=λξ,ξ∈V}的维数恰为k.ii(iii)V是σ的特征子空间的直和.高等代数与解析几何

    定义8.4.1设σ是数域K仩线性空间V的一个线性变换,W是V的子空间,如果对W中的任意向量α,都有σ(α)属于W,就称W是线性变换σ的不变子空间,简称σ-子空间.定理8.4.1若W是σ-子空間,在W中规定?:ξσ(ξ),?ξ∈W.则?是W的线性变换.这时?称为σ在W上的限制,记为σ|W.高等代数与解析几何

    定理8.4.2设σ是数域K上线性空间V的一个线性变换,W是V的┅个非零子空间,α1,α2,,αr是W的一个基,则W是σ的不变子空间的充分必要条件是W的基向量的象σ(α1),σ(α2),,σ(αr)全属于W.高等代数与解析几何

    现在讨论線性变换σ的不变子空间与化简σ的矩阵的关系.（1）设σ是数域K上n维线性空间V的一个线性变换,W是σ的不变子空间,W的维数为r(0rn),在W中任取一个基α1,α2,,αr,把它扩充为V的一个基：α1,α2,由W的基α1,α2,高等代数与解析几何,αr,αr+1,,αn由于σ(αi),i=1,2,,r仍属于W,所以σ(αi)可,αr线性表示,设

    上述讨论说明,对于n维线性空间V的一个线性变换σ,如果能将V分解成若干个σ?子空间的直和,则可适当选取V的一个基,使σ在这个基下的矩阵有比较简单的形状(准对角矩陣).特别地,如果能够将V分解成若干个一维σ-子空间的直和,则可适当选取V的一个基,使σ在这个基下的矩阵是对角矩阵.这个命题的逆命题也成立.即σ可对角化的充分必要条件是V可分解为一维σ-子空间的直和.高等代数与解析几何

    例5、已知线性变换A在基α1,α2,α3下的矩阵为?32?1?A=2?22?问A是否可对角化？在可对角?36?1?化时求出一组基η1，η2,η3使A在基η1，η2,η3下的矩阵B为对角矩阵写出基变换的过渡矩阵X。解、A2的特征多项式为λI?A=(λ?2)(λ+4)A的特征值为λ1=2,λ2=?4高等代数与解析几何

    例6、设V是n维复线性空间，AB是V的线性变换，且AB=BA.证明：(1)如果λ是A的一个特征值则A的特征子空间Vλ是B嘚不变子空间；（2）A，B至少有一个公共的特征向量证明、（1）对任意α∈Vλ，因为A(B(α))=(AB)(α)=(BA)(α)=B(A(α))=B(λα)=λB(α)即B(α)∈Vλ，所以Vλ是B的不变子空间。高等代数与解析几何

    （2）如果λ是A的一个特征值则由（1）知Vλ是B的不变子空间，所以我们可以考虑B在Vλ上的限制，即线性变换B|Vλ，该线性变换的特征多项式在复数域上至少有一个复根设为μ，μ就是B|Vλ则的特征值，设β是Vλ中B|Vλ的属于特征值μ的特征向量，那么B(β))=(B|Vλ)(β)=μβ但是另一方面β∈Vλ，所以A(β))=λβ于是β就是A与B的一个公共的特征向量。高等代数与解析几何