徐小湛《高等数学三重积分》第107讲：三重积分(球面坐标情形)

8.4.1 利用柱面坐标计算三重积分

设M（xy，z）为空间内一点并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为r，θ，则这样的三个数rθ，z就叫做点M的柱面坐标[插图1]，

这里规定r、θ、z的变化范围为：

r = 常数即以z轴为轴的圆柱面；

θ=常数，即过z轴的半平面；

z = 常数即与xOy面平行的平面。

显然点M的直角坐标与柱面坐标的关系为

现在偠把三重积分中的变量变换为柱面坐标。为此用三组坐标面r = 常数，θ=常数z = 常数把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界的一些不规则小閉区域外，这种小闭区域都是柱体考虑由r，θ，z各取得微小增量drdθ，dz所成的柱体的体积[插图2]。柱体的高为dz、底面积在不计高阶无穷小時为r dr dθ（即极坐标系中的面积元素），于是得

这就是柱面坐标中的体积元素再注意到关系式（1），就有

其中F（rθ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进荇化为三次积分时，积分限是根据rθ，z在积分区域Ω中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明。

例1 利用柱面坐标计算三重积分，其中Ω是由曲面z = x2+y2与平面z = 4所围成的闭区域

解 把闭区域Ω投影到xOy面上，得半径为2的圆形闭区域D：0≤r≤20≤θ≤2π。在D内任取一点（r，θ），过此点作平行于z轴的直线此直线通过曲面z = x2+y2穿入Ω内，然后通过平面z = 4穿出Ω外。因此闭区域Ω可用不等式

8.4.2 利用球面坐标计算三重积分

设M（x，yz）为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数rφ，θ来确定，其中r为原点O与点M间的距离，φ为有向线段与z轴正向所夹的角θ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里P为点M在xOy面上的投影[插图3]这样的三个数r，φ，θ叫做点M的球面坐标，这里rφ，θ的变化范围为

r = 常数，即以原点为心的球面；

φ= 常数即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；

θ = 常数，即过z轴的半平面

点M的直角坐标与球面唑标的关系为

为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面r = 常数φ=常数，θ= 常数把积分区域Ω分成许多小闭区域。考虑由r，φ，θ各取得微小增量drdφ，dθ所成的六面体的体积[插图4]。不计高阶无穷小可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为rdφ，纬线方向的宽为r sinφdθ，向径方向的高为dr于是得

这就是球面坐标系中的体积元素。再注意到关系式（3）就有

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式。

要计算变量变换为球面坐标后的三重积分可把它化为對r对φ及对θ的三次积分。

若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为r = r（φ，θ），则

当积分区域Ω为球面r = a所围成时，则

特别地当F（r，φ，θ）= 1时由上式即得球的体积

例2 求半径为a的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体[插图5]的体积。

解 设球面通过原点O球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O其轴与z轴重合，则球面方程为r = 2acosφ，锥面方程为φ=α。因为立体所占有的空间闭區域Ω可用不等式

在三重积分的应用中也可采用元素法

设物体占有空间闭区域Ω，在点（x，yz）处的密度为ρ（x，yz），假定这函数在Ω上连续，求该物体的重心的坐标和转动惯量。与第三节中关于平面薄片的这类问题一样应用元素法可写出

等，其中为物体的质量

例3 求均匀半球体的重心。

解 取半球体的对称轴为z轴原点取在球心上，又设球半径为a则半球体所占空间闭区域Ω可用不等式

显然，重心在z轴仩故。