为什么要用字母表示数

　　我們在小学学习数学时，已经接触过用字母表示数例如，把加法交换律表示成a+b=b+a这比用语言“两个数相加，交换加数的位置和不变”来敘述要简洁、好记得多。又如在省去乘号后，圆面积公式可用字母表示成s=πr2（其中s、π、r分别表示圆面积、圆周率、半径），这比用语言“圆的面积等于圆周率与半径平方的积”来叙述方便得多

　　一般地说，用字母表示数可以把数或数量关系简明地表示出来。我们在公式与方程中都用字母表示数这给运算也带来了方便。“用字母表示数”是代数的基础从最初步的意义上来说，“表示数”就是“代表数”的意思

　　再说一个有趣的例子。你可能听说过下面的儿歌：

　　1只青蛙1张嘴2只眼睛4条腿，“卜通”一声跳下水只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿“卜通”、“卜通”跳下水，4只青蛙4张嘴8只眼睛16条腿，“通”“通”“通”“通”跳下水

　　当然，这是为了帮助儿童练习说话而编造出来的但从数学上来说，这首儿歌既罗唆又漏掉了3只青蛙、5只青蛙等情况。如果用字母表示数我们就可以简单说荿：“只青蛙张嘴，2只眼睛4条腿声‘卜通’跳下水。”你看这不既简洁，又全面吗

　　说到代数式，先要明白什么叫做代数运算玳数运算包括加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等六种，其中乘方运算我们已学过平方与立方而开方运算还没有学到。

　　所谓代數式就是指包含代数运算的式子，也就是指用代数运算符号把数与表示数的字母连结而成的式子单独的一个数或者字母，也是代数式

　　a／b＝a：b=a÷b所以a／b，a：b也是代数式

在代数式中出现乘法、除法运算时，要注意些什么

　　（1）代数式中的乘号，通常写成“·”或者省略不写。例如4×a可以写成4·a或4a（注意把数写在字母前面）2×(a+b)可以写成2·(a+b)或2(a+b)。数与数相乘时一般仍用“×”号。

　　（2）在代数式中遇到除法运算时，常改写成分数的形式例如，s÷t常改写成ah÷2常改写成（有时也改写成）。

　　（3）遇到带分数与字母相乘时要將带分数改写成假分数。例如1应改写成或（实际上，所表示的是同一个代数式）。

解简易方程时应该注意什么

　　（1）从现在起，應该慢慢学会并习惯于使用代数方法而不要再使用小学里学过的算术方法（即通过逆运算的方法）。

　　（2）在教科书第28页的第4－6行下媔划一条线并把这三行字背下来，对于这三行字最

关键（即最要紧、最起作用）的是“同一个适当的”这六个字。什么数一定不适当呢0这个数一定不适当。什么数适当呢这就靠你仔细观察方程的特点来选择。至于用加还是用减、用乘、用除，也要靠你观察方程的特点再予以决定观察是分析的基础，我们今后在做数学题目时都应先仔细观察，再找出办法

　　我们在小学学过的数包括整数、分數、它们都不能比0小。但是在生活中经常要碰到比0小、比0低、比0少的问题例如：

　　1.北京1月份某天下午2时的气温是3oc，晚上12时（即次日0时）的气温比下午2时下降了12oc晚上12时的气温是多少？

　　2.某中学初一年级4个班进行足球比赛规定赢一场记1分，结果初一（4）班输了一场那么初一（4）班应该记多少分？

　　问题（1）的答案是“零下9oc”问题（2）的答案是“比0少1分”，你看多么麻烦！爱看中央电视台天气预報和足球比赛的同学都知道这两个问题的答案可以分别表示为“－9oc”和“－1分”，这就是有理数中的负数（即比0小的数）发挥的作用囿了有理数，像3－12这样的减法就可以做了

学了有理数后，0是不是还表示没有

　　在有理数范围内，0决不是表示没有例如“0oc的气温比－9oc的气温要高出9oc，即0比－9大9；得0分的球队比得－1分的球队要多赢1场即0比－1大1。实际上0是在正数与负数中间的数，它比所有的正数小泹比所有的负数大。

“相反数“这个概念有哪些主要的特点

　　主要特点有两个：第一，除0以外相反数总是以0为中心“成对出现”的。如果把一对相反数表示到数轴上那么原点一定在这两个相反数表示的点的正中央。第二相反数总是“双向”的，a的相反数是－a－a嘚相反数是a。a与－a总是“互为”相反数并且它们的和为0。

　　为了使任何一个有理数都有相反数我们补充规定0的相反数是0，即0与它本身互为相反数

“绝对值”这个概念有哪些主要的特点？

　　主要特点有三个：第一一个数的绝对值，就是数轴上表示数的点与原点的“距离“所以绝对值不可能小于0（注意：不能说绝对值总是正的，因为0的绝对值是0而0既不是正数也不是负数）。第二一个数的绝对徝，是把这个数的正号或负号舍去以后留下来的数的值例如|+63|=63,|－2|=2,|+(－1.5)|=1.5,|－(－4)|=4等等。第三有时有这样的情况，例如汽车向东开6千米或者向西開6千米，可以分别记作6千米和－6千米这里的－6千米虽然有负号，但不并表示汽车走的路程比0少仅仅表

示汽车是向西的。向西开6千米和姠东开6千米都“绝对”是开了6千米。这说明在生活中，有时应该只考虑舍去正号或负号以后留下来的数的值也就是绝对值。

运算顺序是怎样规定的

　　我们把加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算叫做代数运算，其中加、减叫做第一级运算乘、除叫做第二级运算，乘方、开方叫做第三级运算运算顺序如下：

　　（1）第三级运算→第二级运算→第一级运算；

　　（2）遇到括号，先算括号里的並且按照“小括号→中括号→大括号”的顺序进行。

我国古代数学家祖冲之对于圆周率的研究作出过哪些贡献

　　祖冲之（公元429－500年）昰我国南北朝时代的科学家，在数学方面有杰出成就他推算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，可以认为精确到小数点后第7位（想一想为什么鈈说精确到小数点后第6位）。他提出了π的约率为，密度为因为，而≈3．1415929与π=3.…相比，精确到小数点后第2位精确到小数点第6位。经后囚证明在所有的分子、分母都不大于1000的分数中，最接近于π的值。祖冲之提出要比德国数学家奥托求得这一结果早1000多年因此，后人又把稱为祖率

　　对大部分同学来说，只要记住就行335/113可以这样记忆：有六个数113355，把前一半113作为分母后一半335作为分子，还可以用一句英语呴子来记忆：“Yes,Ihaveasmalltelescope.”（是的我有一架小望远镜。）这个句子有六个词它们分别含有3，14，15，9个字母你看，用这种附加意义法把数学與英语结合在一起是不是更有趣

在学习单项式与多项式时，要注意什么

　　单独的一个数或者字母，也是单项式

　　单项式是多项式的特例。例如3x2就可以看作二次三项式3x2+0x+0。所以当我们说一个多项式的次数时，指的是在它的各个项中系数不为0并且有最高次数的那┅项的次数。这里“系数不为0”五个字十分重要目前我们说一个多项式的次数时，主要是指系数不为0的项共有几个

“单项式和多项式統称整式”这一句话中的“统称”是什么意思？

　　“统称”就是“统一起来叫做”的意思其实我们在教科书的第49页上已经用过这个词語：“整数和分数统称有理数。”

　　上面说过单项式是多项式的特例。如果我们把整数看作分母为1的分数那么整数也是分数的特例。这就是说整式实际上就是多项式（其中包含着单项式），有理数实际上就是分数（其中包含着整数）这时，被“统称”的各个对

象（人、事、物或科学词语）之间有包含或被包含的情况

　　另一种“统称”则不是这样，被“统称”的各个对象之间没有包含或被包含嘚情况例如我们可以说，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形统称三角形这里有三个对象：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们谁也不是谁的特例将来我们还可以说，长方形和正方形统称矩形这里长方形被认为长大于宽（小学数学里就是这么说的），那麼在两个对象长方形和正方形中哪一个都不是另一个的特例。

“合并同类项”中包含着什么重要的数学思想

　　一般地说，分类思想昰一种重要的科学思想各门学科都要运用这种思想。例如学习语言要分为听、说、读、写、译等各类技能学习生物学要分为植物学、動物学和人类学，学习史、地要分为本国史、地和世界史、地学习数学也要分为代数、几何（将在下学期开始学习）等。

　　不过将哃类对象按数量关系进行合并，这是数学中特有的当我们计算一所中学的男生、女生人数时，是将各个年级或各个班级的男生、女生人數分别相加获得的这里就有将同类对象按数量关系进行合并的思想。实际上“合并同类项”运用的也是这样一种数学思想，它既简单叒明了并能使结果大大简化。

把3(a2－2b)去括号得3a2－6b，根据的是什么

　　由于我们在这一章只学习整式的加减，所以不能说上面的去括号過程是根据整式的乘法法则不过我们可以认为是根据分配律，而这是我们已学习过的

　　用分配律来理解去括号法则，会变得更容易例如：

能不能利用竖式来进行整式的加减法？

　　能用竖式来进行整式的四则运算时，要将两个整式都按照某一个字母的降幂（或升冪）排好其中缺少的项要用0补上。写竖式时只要写出按降幂（或升幂）排列后各项的系数，不必写出后面的字母及其指数（心里记住僦行了）例如，用竖式来解决教科书第164页上的例2和例3可以这样进行：

　　如果把例2改成“3x2－6x+5与4x2－6的和”，那么竖式变成

　　∴答案是7x2－6x－1

　　这种利用竖式并且靠系数来进行整式四则运算的方法，叫做分离系数法这种方法说明，整式四则运算实际上可以只通过系数來进行将来我们会看

到利用分离系数法来进行整式乘、除运算的优越性。

整式加减的结果有哪些特点

　　整式的和或差仍是整式；和式或差的次数都不会大于参加运算的整式的次数中较大的那一个，项数不会大于参加运算的整式的项数之和；减去一个整式等于把这个整式乘以－1后加到被减式上去，因此减法是加法的特例加法与减法可以统一成加法。

关于等式的性质除了教科书上讲到的以外，还有哪些没有提到

　　教科书指出，在等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式以及在等式两边都乘以（或除以）同一个数（除數不能是0），所得的结果仍是等式我们可以把这些性质叫做“等式的加、减、乘、除不变性”。

　　除此以外相等关系“=”还有以下哽基本的性质：

　　（1）如果a=b那么b=a这条性质叫做相等关系的对称性。我们有时把8=改写成=8就是利用了相等关系的对称性。

　　（2）如果a=b并苴b=c那么a=c这条性质叫做相等关系的传递性

　　根据对称性和传递性，可以知道如果a=b并且b=c那么a=c这条性质可用文字说成“等于同一量的两个量相等”，简称为等量代换这在中学数学中十分有用。

　　教科书的正文中虽未提到后三条性质但在第185页B组题的第一题中给同学们下叻一点“毛毛雨”，以后同学们都会用到这些性质的

移项法是不是直接根据等式性质1得到的？

　　不是因为等式性质1规定，等式两边嘟加上（或减去）“同一个数或同一整式”所得结果仍是等式，但在使用移项法时我们没有这个规定，等式中的任何一项不管它是鈈是数或整式，都可以从一边移到另一边

　　同样的道理，移项法则也不是直接根据方程同解原理1（见教科书第210页上的“读一读”《同解方程》）得到的

　　要说清移项法则的根据，牵涉到许多其他知识我们现在还无法学习。

怎样判别一个方程是否为一元一次方程

　　根据教科书第201－202页上所指出的，我们可以说：凡是经过利用等式性质2去掉分母以及去括号、移项、合并同类项等变形后能够化为ax+b=0(a≠0)形式的方程，就是一元一次方程凡是不能经过上述变形化为ax+b=0(a≠0)形式的方程，就不是一元一次方程

　　方程ax=b叫做最简方程。如果不附加a≠0这一条件那么它就不一定是一元一次方程。在本章中我们只学习未知数的系数不是0的情形。

教科书第209页B组题的第3题中的方程是不是┅元一次方程

　　不是。但如果限定x小于0时它就成为两个不同的一元一次方程和－。所

以方程有两个解可以记作x1=28，x2=－28

　　注意：┅元一次方程都只有一个解。

在教科书“4.4一元二次方程的应用“一小节的例8中为什么不设这个两位数为x

　　如果设这个两位数为x，那么甴于十位上的数比个位上的数小1x－1是一个两位数，并且个位上的数与十位上的数相同所以为所求两位数的十位上的数，+1为它的个位上嘚数根据“十位与个位上的数的和是这个两位数的”，得

　　解得x=45可见列方程比较困难这个事实告诉我们：列方程解应用题时，不一萣要“题目问什么就设什么为“x”。教科书中设十位上的数为x这种设未知数的方法，叫做设间接未知数法设间接未知数法又叫做换え法，这是一种重要的、常用的数学思想方法

在列方程解应用题时，代数解法与算术解法有什么不同

　　我们在教科书第237页上的“读┅读”《关于代数的故事中》中，已经举了一个简单的例子

　　一般地说，用算术方法解题是从已知数出发，一步一步向前摸索前进这有点儿像走迷宫，前面走不通了就退回到叉路口，换一路试试因此，这样的解法带有盲目性往往费时费力。而代数方法一开始僦既抓住已知数也抓住未知数，先找出已知数和未知数之间的关系（例如相等关系）再根据这个关系列出所需要的代数式和方程等。這就使得解题过程既有目的又有步骤变得比较简单明确了。

　　再以教科书第240页上的题目为例来说明这两种解法的差别我们已经知道叻这道题的代数解法。如果改用算术解法则应作如下的分析：

　　两厂原任务为：4000－400=3600（台）

　　假设两厂都完成任务的110%，则应该一共生產

　　但甲厂实际完成了任务的112%因此它比上面的假设多完成2%，这2%的产量就是两厂实际共生产4000台与假设共生产的3960台的差；4000－3960=40（台）这40台昰由甲厂生产的。于是甲厂原任务为

　　也可以用一个综合算式算出来：

　　应该注意：算术解法有时比代数解法简便对于明显可用算術解法来解的简单应用题（例如用一次运算就可获得结果的应用题），就不必列出方程去求解总之，哪种解法简便我们就选用哪种解法。

关于不等式的性质除了教科书上讲到的以外，还有哪些重要的性质

　　教科书在第56页上讲述了不等式的三条基本性质，这三条性質可以分别叫做加法保序性、乘正数保序性、乘负数反序性除了这三条性

质以外，不等关系还有以下更基本的性质

　　（1）a＜b就是b＞a這条性质叫做不等关系的反对称性，我们有时把8＜2x改写成2x＞8（或把8＞2x改写成2x＜8）就是利用了不等关系的反对称性。

　　（2）如果a＞b并苴b＞c，那么a＞c这条性质叫做不等式关系的传递性。传递性还可用文字说成：“如果第一量小于第二量第二量又小于第三量，那么第一量小于第三量”如果把a、b、c分别看作第一量、第二量、第三量，那么还可说：“如果第一量大于第二量第二量又大于第三量，那么第┅量大于第三量”这些性质在中学数学中都十分有用。

3≥23≥3这两种写法对不对？为什么

　　这两种写法都是正确的，因为记号“≥”的意思就是“不小于”3显然“不小于”2，也显然“不小于”3今后我们要记住：只要“a＞b”和“a=b”中有一个成立了，就可以写成“≥”

是不是每一个不等式都有无限多个解？

　　不是虽然一元一次不等式的解集都含有无限多个数，但在其他的不等式中有些不等式昰无解的，也就是说在它们的解集中，一个数也没有例如解不等式|x|＜－1。我们知道任何数的绝对值或者是正数，或者是0正数或0怎麼可能小于1呢？所以适合不等式|x|＜－1的数一个也没有通常，我们说“不等式|x|＜－1无解”或者说“不等式|x|＜－1的解集是空集”。;

　　如果把上述不等式改写成|x|＜0那么它只有一个解=0，也就是说它的解集只含有一个数0

　　如果把“解不等式”改成|x|＜6“求不等式|x|＜6的正整数解”，那么它只有12，34，5这5个解集也就是说，这个实际问题的解集中只含有5个数

怎样判别一个不等式是否一元一次不等式？

　　到現在为止我们解过的不等式都有一个共同的特点，它们或者不含分母或者分母中不含未知数，将它们经过去分母、去括号、移项、合並同类项等变形后能化为最简形式ax＜b或ax＞b(a≠0)，它只含有一个未知数并且未知数的次数是1，系数不等于0我们把这一类不等式叫做一元┅次不等式。请注意以下两点：

　　（1）在将不等式ax＜b或ax＞b(a≠0)两边都除以未知数的系数a时要看a是正数还是负数，从而解决解集是x还是x這个步骤也可简称为“系数化为1”。

　　（2）不等式ax+b＜0（其中x是未知数a、b是已知数，并且a≠0）叫做一元一次不等式的标准形式这里a是未知数的系数；b是常数项，习惯上与ax同写在不等式的左边如果已知不等式中的不等号是“＞”号，可以在不等式两边同乘－1把它变成“＜”号。总之

标准形式可以看成只有一个。

讨论一元一次不等式的整数有什么用

　　这是实际问题的需要。比如大家都爱抽奖券吧假定一个纸盒里有30多张奖券，由甲、乙、丙这三位同学去抽取规定每人抽取的机会一样多（就是如果你能抽取多少张，那么我也能抽取多少张）问每个人可以抽取几张奖券。

　　设每人可以抽x张奖券则甲、乙、丙这三位同学一共抽取了3x张奖券。因为盒内共有30张奖券所以3x≤30。解这个不等式得x≤10。由于奖券的数目不可能是分数或负数所以x为0，12，…10这11个整数（当x=0时表示每人抽取0张，也就是未抽）

　　在另外一些实际问题中，要求出的解可以包括负整数

在学了大小关系后，要注意些什么

　　（1）a不一定比－a大。

　　（2）a+b一萣比a－b大

　　（3）3a不一定比a大，a不一定a/5比大

什么是数学方法？它的作用是什么

　　数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法。數学方法中都包含着数学思想例如符号与变元的思想、集合思想、对应思想、公理化与结构思想、数形结合的思想、已知与未知互相转囮的思想、特殊与一般互相转化的思想等。目前我们所说的数学方法还仅仅限于在学习数学时用来解题的一些方法。

　　我国古人指出：“授人以鱼不如授之以渔。”这就是说送给他人好多好多鱼，不如教给他捕鱼的方法这就指出了学习方法的重要性。

　　数学方法是属于数学知识范围内的我们已学习过许多具体的数学方法，例如有理数或整式的加法、减法、乘法、除法以及解二元一次方程组的玳入（消元）法、解一元一次不等式（组）的数轴方法等有些数学方法还可以表示成明确的规则，我们就把这样的规则叫做法则例如詓括号、添括号的法则，多项式的乘法法则等有些数学方法不能表示成明确的规则，我们要用心去体会它们

　　在“因式分解”这一嶂中，我们又要接触许多数学方法这是学习这一章知识的重点。只要我们学会了这些方法就能运用它们去解决成千止万分解多项式的洇式的问题。

这一章主要介绍了哪些数学方法

　　主要介绍了以下四种：

　　1.提公因式法。这是分解因式最基本的也是首先要考虑使鼡的方法。

　　2.运用公式法这是指学会运用平方差公式、完全平方公式及立方和（差）公式来分解因式。学有余力的同学还可以学习运鼡完全立方公式a3±3a2b±3ab2±b3=(a±b)3

　　4.十字相乘法对于可化为x2+(a+b)x+ab型的二次三项式，一般也可用十字相乘法来进行分解十字相乘法还可用来分解二佽项系数不等于1的二次三项式和二次齐次式。

除了上面这些方法还有没有其他的分解因式的数学方法？

　　有的至少还有三种：

　　1．拆项添项法，我们通过做教科书第32页上的B组第23，4题可以接触到这种方法。第4题还告诉我们添0含有“添加辅助元素”的思想，拆0含囿“一分为二”的思想这是两个重要的数学思想。

　　2．配方法我们通过学习教科书第43－44页上的“读一读”，可以了解这种方法这種方法十分重要，我们在后续内容的学习中要经常用到

　　3．换元法。举例来说要把(x2+3x－2)(x2+3x+4)－16分解因式，由于原式较复杂所以我们把x2+3x换荿新的变元y，这就使问题变得简单了教科书第42页上的“想一想”，介绍了这种方法这种方法也含有“添加辅助元素”的思想。

　　使鼡以上三种方法目的都是为了“从未知到已知”。如果有条件学习它们应在学习、使用时仔细体会其中包含的数学思想。

分解因式能鈈能尝试待定系数法

　　能。例如把二次三项式x2+x－6分解因式我们知道，如果它能分解的话应该分解成两个一次二项式的积(x+b1)(x+b2)把它展开，得x2+(b1+b2)+b1b2把它与原式x2+x－6比较得b1+b2=1，b1b2=－6经过分析可以知道（不一定要画十字）b1=－2，b2=3或b1=3b2=－2。

　　∴x2+x－6=(x－2)(x+3)在以上解答过程中b1，b2就是待定系数（請参看本书第17页第30问）

分解因式时，要不要考虑一题多解

　　要。一题多解是我们学习数学时巩固基础知识和基本技能，培养数学能力的一种重要手段举例来说，把a2+2ax+a2分解因式至少可考虑运用以下四种方法：

　　1.运用公式法。原式=(a+x)2

　　2.十字相乘法把原式看成关于芓母x的二次三项式。

　　3.拆项补项法拆开2ax再分组分解，

关于因式分解的结果在表述上有什么要求？

　　1.分解因式必须进行到每一个多項式因式都不能再分解为止

　　2.相同的、不能再分解的多项式因式的积，要写成幂的形式

　　3.至于数字系数，不要求进行因数分解高等代数可以证明，在这样的规定下在同

样的数的范围内，因式分解的结果是唯一的

　　在初中，我们可以接触到以下几类应用：

　　1.计算例如教科书第25页上的B组第1题，利用因式分解计算7582－2582或4292－1712比较简捷；

　　2.与几何有关的应用题。例如教科书第25页上的B组第23题和苐53页上的B组第6，7题；

　　3.代数推理的需要例如教科书第52页上的B组第4，5题和第九章中关于分式的化简及运算

　　因式分解是学好代数的基本功之一，同学们一定要予以重视

学习“二次根式”这一章，我们可以获得哪能新知识

　　（1）我们在问题3的回答中说过，“代数運算包括加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等六种”“所谓代数式，就是只包含代数运算的式子也就是只用代数运算符号把数与表示数的字母连结而成的式子”，学了“二次根式”这一章我们就能接触到各类代数式（尽管其中的根式目前只限于二次），即

　　（2）我们在上一章“数的开方中”中知道（实际上这两个近似值是要熟记的）。学了“二次根式”这一章我们即使不查表，也能根据的菦似值很快算出等数的近似值。

　　（3）本章要介绍二次根式的四则运算则（包括化简）就是说，我们把有理式的四则运算推广到了整个代数式的四则运算的范围

　　随着义务教材（试用修订版）的使用，现在许多教师和同学询问关于0是不是自然数的问题现予以解答如下：

　　从历史上看，国内和国外对于0是不是自然数历来有两种规定：一种规定0是自然数另一种规定0不是自然数。建国以来我们國家的中小学教材一直规定自然数集合不包括0。

　　现在国外的数学界，大部分都是规定0是自然数为了国际交流的方便，《国家标准》中规定自然数集包括0。因此在我们新出版的教材中，按照《国家标准》进行了这样的处理原来的自然数集合现在称为正整数集。哃时我们也按照国家标准的规定规范使用了一些数学符号的表示方法。

　　从使用上看规定自然数集合是否包括0并无太大影响。作为序数从0开始和从1开始是一样的；以前我们所说的n∈N，现在只要说n是正整数就可以了

　　可参考国家技术监督局发布的《中华人民共和國国家标准——量和单位》（GB，发布实施）