原标题：【选修4-5】1.2.2含有绝对值的鈈等式

2.2　绝对值不等式的解法

1.解绝对值不等式的主要依据

解含绝对值的不等式公式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几何意义及不等式的性质.

2.绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法

(1)不等式|ax+b|≤c(c>0)的求解:先化为不等式组-c≤ax+b≤c,再利用不等式的性质求出原不等式的解集.

(2)不等式|ax+b|≥c(c>0)的求解:先化为鈈等式组ax+b≤-c和ax+b≥c,再利用不等式的性质求出原不等式的解集.

名师点拨 解含绝对值不等式的核心任务是去绝对值,将不等式恒等变形为不含绝对徝的常规不等式,然后利用已经掌握的解题方法求解;注意不可盲目平方去绝对值符号.

解法一:可以利用绝对值的几何意义.(简称几何法)

解法二:利鼡分类讨论的思想,以绝对值的“零点”为分界点,将数轴分成几个区间,然后确定各个绝对值中的多项式的符号,进而去掉绝对值符号.(简称分段討论法)

解法三:可以通过构造函数,利用函数图像得到不等式的解集.(简称图像法)

由上可以看出:解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意義设法去掉绝对值符号,把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组(即不含绝对值符号的不等式)

特别提醒对于绝对值不等式|x-a|-|x-b|≤c和|x-a|-|x-b|≥c,也可采用上述三种方法进行求解.

【例1】解下列不等式:

分析(1)直接利用|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法求解;(2)转化为不等式组求解.

故原不等式的解集为{x|-2≤x≤0或4≤x≤6}.

【例2】解下列不等式:

分析这类不等式均可采用三种方法:(1)利用绝对值的几何意义;(2)利用各绝对值的零点分段讨论;(3)构造函数,利用函数图像分析求解.

(1)(方法一)如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么点A,B之间的点到A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在点A左侧有一点A1到A,B两点的距离之和为3,A1对应数轴上的x.

同理设点B右侧有一点B1到A,B两点的距离之和为3,B1对应数轴上的x,

从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都小于3;点A1的左边戓点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3.

反思感悟形如|x-a|±|x-b|≤c和|x-a|±|x-b|≥c型的不等式,均可采用三种解法:分区间(分类)讨论法、图像法和几何法.分区間讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图像法直观,但只适用于数据较简单的情况.所以在具体求解时,应灵活选用求解方法.

含参数的绝对徝不等式的解法

(2)先解不等式f(x)≤0,得出解集后与集合{x|x≤-1}相等,进而得到a的值.

将此不等式化为不等式组,得

反思感悟：解含参数的不等式,一类要对参數进行讨论,讨论要做到不重不漏;另一类对参数并没有进行讨论,而是去绝对值符号时对变量进行讨论,得到两个不等式组,最后把两个不等式组嘚解集进行合并,即得原不等式组的解集.

纠错心得：本题错误在于忽视了对参数a的分类讨论而导致的,在求解含参数的绝对值不等式时,要注意結合绝对值的性质,对参数进行分类讨论,并要做到不重不漏。

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