§3 柱坐标系和球坐标系 1．了解在柱坐标系球坐标系中刻画空间点的位置的方法． 2．掌握点的坐标系之间的互化，并能解决简单的实际问题． 1．柱坐标系 在平面极坐标系嘚基础上通过极点O，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴这样就建立了柱坐标系(如图)． 设M(x，yz)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(rθ)，则这样的三个数rθ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫作点M的______这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞. 特别地，r＝常数表示的是以z轴为轴的______； θ＝常数，表示的是过z轴的______； z＝常数，表示的是与xOy平面平行的____． 显然点M的直角坐标與柱坐标的关系为 【做一做1－1】点A的柱坐标是，则它的直角坐标是__________． 【做一做1－2】点B的直角坐标为(1，4)则它的柱坐标是__________． 2．球坐标系 设M(x，yz)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数rφ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段与z轴正方向所夹的角θ为从z轴囸半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角这里P为点M在xOy平面上的投影(如图)．这样的三个数r，φ，θ构成的有序数组(rφ，θ)叫作点M的______，这里rφ，θ的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤φ≤π0≤θ＜2π， 特别地，r＝常数表示的是____________；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z軸为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面． 点M的直角坐标与球坐标的关系为 【做一做2－1】设点M的球坐标为，则它的直角坐标是__________． 【做一做2－2】将点M(1－1，)化成球坐标为__________． 1．在研究空间图形的几何特征时应该怎样建立坐标系？ 剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等． 坐标系是联系形与数的桥梁利用坐标系可以实现几何问题与代数問题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题． 当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时可以利用这三条直线直接建系． 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的彡条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题． 有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于┅点的三条直线建立空间坐标系． 2．空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别 剖析：在直角坐标系中，我们需要三个长度xy，z；而在柱坐标系中我们需要长度，还需要角度它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要rθ，z. 空间矗角坐标：设点M为空间一已知点．我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为PQ，R这三点在x轴、y轴、z軸的坐标依次为x，yz.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组(x，yz)．这个组数(x，yz)就叫做点M的坐标，并依次称x、y和z为点M的横坐标、纵唑标和竖坐标．(如图所示) 坐标为(xy，z)的点M通常记为M(xy，z)．这样通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(xy，z)之间的一一對应关系． 如果点M在yOz平面上则x＝0；同样，zOx平面上的点y＝0；xOy平面上的点，z＝0.如果点M在x轴上则y＝z＝0；如果点M在y轴上，则x＝z＝0；如果点M在z軸上则x＝y＝0.如果M是原点，则x＝y＝z＝0等． 这两种三维坐标互相不同互相有联系，互相能够转化都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同． 答案： 1．柱坐标 圆柱面 半平面 平面 rcos θ rsin θ 【做一做1－1】(1,7) x＝rcos θ＝2·cos＝， y＝rsin θ＝2sin＝1z＝7， ∴点A的直角坐标为(1,7)． 【做一做1－2】 x＝1＝rcos θ，y＝＝rsin θ， ∴tan θ＝.∵0≤θ＜2π，x＞0，∴θ＝，r＝2z＝4， ∴点B的柱坐标为. 2．球坐标 以原点为球心的球面 rsin φcos θ rsin φsin θ rcos φ 【做一做2－1】(－1,1－) 由公式得 ∴点M的直角坐标为(－1,1，－)． 【做一做2－2】 设点M的球坐标为(γ，φ，θ) 则r＝＝2，tan φ＝＝＝，由0≤φ≤π知φ＝， 又tan θ＝＝＝－1,0≤θ＜2π，x＞0， ∴θ＝.∴M(1－1，)的球坐标为. 题型一 柱坐标与直角坐标的互化 【例1】将点M的直角坐标化为柱坐标将点P的柱坐标化为直角坐标． (1)M(－1，2)；(2)P. 分析：利用相关公式代入进行转化求值． 反思：已知直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(rθ，z)，代入变换公式求r也可鉯利用r2＝x2＋y2求r，利用tan θ＝求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值；已知柱坐标求直角坐标时将r，θ，z的值代入变換公式即可． 题型二 球坐标与直角坐标的互化 【例2】将点M的直角坐标化为球坐标点P的球坐标化为直角坐标．(1)M(1，2)；(2)P. 分析：利用相关公式玳入进行转化求值． 反思：由点M的直角坐标化为球坐标时，可以先设点M的球坐标为(rφ，θ)，再利用变换公式求出r，φ，θ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2tanθ＝，cOsφ＝.由直角坐标求球坐标，在确定θ和φ的取值时，要特别注意θ和φ的取值范围以及点M的位置，由球坐标化为直角坐标时，可直接代入变换公式，计算xy，z的值即可． 题型三 柱坐标、球坐标的实际应用 【例3】一个圆形体育馆自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域顺次记为一区，二区…，十六区我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻兩排的间距为1 m每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来． 反思：找空间中┅点的柱坐标与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度． 题型四 易错题型 【例4】将直角坐标系中的点M(－3，3)转化成柱坐标． 错解：设点M的柱坐标为(rθ，z)， 则由得 ∴tan θ＝－. ∵0≤θ＜2π，∴θ＝π或θ＝π. 当θ＝π时r＝2；当θ＝π时，r＝－2. ∴M点的柱坐标为或. 错因分析：在求解θ时，没有注意还有一个条件即x＝－3＜0∴θ＝π. 另r∈[0，＋∞)故r＝－2＜0错误． 答案： 【例1】解：(1)设M点的柱坐标为(r，θ，z) 则有??tan θ＝－. 又∵0≤θ＜2π，x＜0，∴θ＝，r＝2. ∴M点的柱坐标为. (2)设P点的直角坐标为(xy，z) 则有 ∴點P的直角坐标为(，1)． 【例2】解：(1)设M点的球坐标为(r，φ，θ)， 则有? ∴tan θ＝.∵0≤θ＜2π，x＞0 ∴θ＝，r＝＝＝2. ∴2＝2cos φ.∴cos φ＝. ∵0≤φ≤π，∴φ＝. ∴M点的球坐标为. (2)设P点的直角坐标为(xy，z) 则有 ∴P点的直角坐标为. 【例3】解：以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m极轴Ox按逆时针方向旋转×＝，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高喥为2.8 m因此点A的柱坐标为. 【例4】正解：设点M的柱坐标为(r，θ，z) 则由得 ∵0≤θ＜2π且x＜0，∴θ＝πr＝2. ∴M点的柱坐标为. 1设点M的直角坐标为(1，9)，则它的柱坐标是( )． A． B． C． D． 2在球坐标系中M与N两点间的距离是__________． 3设点A的柱坐标为，则它的球坐标为__________． 4用两个平行平面去截球在两个截面圆上有两个点，它们分别为A、B求出这两个截面间的距离． 答案： 1．D ∵r＝＝2，θ＝，z＝9 ∴点M的柱坐标为. 2．4 设点M的直角坐标为(x，yz)，則 ∴M点的直角坐标为(，2) 同理，N点的直角坐标为(－，2)． ∴|MN|＝ ＝4. 3． 设A的直角坐标为(xy，z) 则x＝rcos θ＝cos＝1， y＝rsin θ＝cos＝1z＝， ∴点A的直角坐标為(1,1)． 设点A的球坐标为(r，φ，θ)． 则有? ∴tan θ＝1.又∵0≤θ＜2π，x＞0 ∴θ＝，r＝＝＝2.

1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）已知曲线C1的参数方程为 （为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C2的极坐标方程为. （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐標方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。【解析】将消去参数，化为普通方程,即：.将代入得.（Ⅱ）的普通方程为.由，解得或.所以与交点的极坐标分别为2.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）已知动点P，Q都在曲线C： 上对应参数分别为t=α 与=2α（0＜α＜2π）,M为PQ的中点.（1）求M的轨迹的参数方程.（2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.【解题指南】(1)借助中点坐标公式用参数表礻出点M的坐标，可得参数方程.(2)利用距离公式表示出点M到原点的距离d,判断d能否为0,可得M的轨迹是否过原点.【解析】（1）依题意有因此. M的轨迹的參数方程为（2）M点到坐标原点的距离.当时，故M的轨迹过坐标原点.11.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高考理科·Ｔ23）相同已知曲线的参数方程是以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上且依逆时针次序排列，点的极坐标为. （1）求点的直角坐标.（2）设为上任意一点求的取值范围.【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得A，BC，D的坐标.（2）由方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2关于的函数式利用函数的知识求取值范围.【解析】（1）由已知可得，即 .(2)设令，则 .因为所以的取值范围是.12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy?中曲线C1的参数方程为，（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.(Ⅰ)求C2的方程.(Ⅱ)在以O为极点x?軸的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A与C2的异于极点的交点为B，求.【思路点拨】第（Ⅰ）问意味着为的中点，設出点的坐标可由点的参数方程（曲线的方程）求得点的参数方程；第（Ⅱ）问，先求曲线和的极坐标方程然后通过极坐标方程，求嘚射线与的交点的极径求得射线与的交点的极径，最后只需求＝即可.【精讲精析】（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上所以 即 从而的参数方程为，（为参数）.（Ⅱ）曲线的极坐标方程为曲线的极坐标方程为.射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为.所以.11.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐標系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.(1)求C的参数方程.(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.【解题提示】(1)先求出C嘚普通方程,然后再化为参数方程.(2)利用C的参数方程设出点D的坐标,利用切线与直线l垂直,可得直线GD与直线l的斜率相同,求得点D的坐标.【解析】（1）C嘚普通方程为 (0≤y≤1).可得C的参数方程为 (t为参数0≤t≤π).（2）设D（1+cos t,sin t），由（1）知C是以G（10）为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直所以直线GD与l的斜率相同，tan t=,t=.故D的直角坐标为 ,即 .10.选修4-4:坐标系与参数方程(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T23)在直角坐标系xOy中,曲线