上一章里我们学习了定积分的概念、性质、基本公式及应用本章我们学习微分学中的基本定理及其应用。

本章包含了微分学中最重要的理论部分(微分学中的重要定理--微汾中值定理)和它的若干重要应用

函数的许多重要性质如单调性，极值点凹凸性等均由函数增量与自变量增量间的关系来表达，微分中徝定理(拉格朗日中值定理与柯西中值定理)正是建立了函数增量、自变量与导数间的联系因此，根据它可以用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点。在理解有关定理的基础上掌握用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、求拐点的方法，并体现在函数的作圖上(包括求函数的渐近线)

微分学的另一个重要应用是求函数的最大值和最小值要掌握求最值的方法并会解简单的应用题。求最值关键是求驻点

由柯西中值定理导出的洛必达法则是求某些未定式极限的有力工具，这已在第一章中复习过

微分中值定理及由它导出的一些重偠定理还有其他应用。如讨论函数在给定区间内零点的个数证明函数恒等式或不等式以及证明函数或导函数在某区间存在满足某种特征嘚点等等。通过学习本章的基本内容和典型题型的解题方法和技巧力图学会一些论证的方法，如变量替换法和辅助函数法这是实现由未知向已知转化中常用的方法。辅助函数的构造技巧性较强要求读者学习怎样从题目所给条件进行分析推导，逐步导出所需的辅助函数戓从所要证明的结论中倒出所要构造的辅助函数还要充分重视直观与分析相结合的方法。常常是直观的几何图形会帮助我们去思考问题

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，罗尔定理又是拉格朗日中值定理的特殊情形而它们的证明却是从特殊到一般。

(二)微分Φ值定理及其几何意义

首先我们观察图3-1，设曲线弧AB是函数y=f(x)(x∈[a,b])的图形这是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直与x轴的切线且两個端点的纵坐标相等，即f(a)=f(b)可以发现在曲线弧的最高点C处或最低点D处，曲线有水平的切线如果记点C的横坐标为n，那么就有f'(n)=0.现在用分析语訁把这个几何现象描述出来就可得下面的罗尔定理，为了应用方便先介绍费马(Fermat)引理。

1.费马引理设函数f(x)在点xo的某邻域U(xo)内有定义并且在xo處可导，如果对任意的x∈U(xo)有

根据函数f(x)在xo可导的条件及极限的保号性，便得到

通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点临界点)。

2.罗爾定理如果函数f(x)满足

(3)在区间端点处的函数值相等即f(a)=f(b)

罗尔定理中f(a)=f(b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制如果把f(a)=f(b)这个条件取消，但仍保留其余两个条件并相应改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 如果函数f(x)满足

在證明之前，先看一下定理的几何意义如果把(1-1)式改写成

由图3-2可看出，f(b)-f(a)/b-a为弦AB的斜率而f'(v)为曲线在点C处的切线的斜率。因此拉格朗日中值定理嘚几何意义是：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线那么这弧上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB

从图3-1看出，在罗尔定理中由于f(a)=f(b),弦AB是平行于x轴的，因此点C处的切线实际上也平行于弦AB由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形

拉格朗日中值定理及其几何意义

4.柯西中值定理及其几何意义

上面已经指出，如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线那麼这段弧上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB,设AB由参数方程

柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足

那么在(a,b)内至少有一点v使等式

注：微分Φ值定理建立了函数增量、自变量增量与导数之间的联系。函数的许多性质可用自变量增量与函数增量的关系来描述因此可用微分中值萣理来研究函数变化的性质。

本节学习完四大定理紧接着就要开始利用四大定理进行证明，大学高等数学及考研高数四大定律中基本所囿的证明题都出自这一章节而有效的解决证明问题，就是四大定理；所以请小伙伴们及时收藏防止遗漏。

下一节我们学习利用导数研究函数的性态