再问： 还没学高斯系数额，就用第一类曲面积分算法可以吗 再答： 这就是第一类曲面积分的算法。请参照二重积分中，计算曲面面积的方法，其中就有高斯系数。再问： 请问倒数第二部a^4怎么出来变a^3了 再答： 这种解法是最简单的。 再答： 那是我算错了……再问： 还有个问题sin角度取0到pi的根据是什么再问： 还有个问题s

平面方程两边乘以4,得z+2x+4\3y＝4,所以积分∫∫(z+2x+4\3y)ds＝∫∫4ds,接下来计算平面与三坐标轴的三个交点围成的△的面积即可.方法不唯一,比如计算四面体的体积,而原点到平面的距离可求,所以三角形的面积可求.也可以把曲面积分化为二重积分,求出z对x,y的偏导数,ds＝√(61)/3dxdy,∑在

补平面z=0（下侧）,z=3（上侧）,x=0（后侧）,y=0（左侧）,这几个平面与原来的曲面构成一个封闭曲面,则整个积分可用高斯公式∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx=∫∫∫ (1+1+1) dxdydz=3∫∫∫ 1 dxdydz被积函数为1,积分结果为区域体积,该区域体积为：3π/4=9π/4下面将补的平面上积

这是第一类曲面积分,由于积分曲面关于三个坐标面均是对称的,而被积函数分别关于z,x,y是奇函数,因此本题结果为0 再问： 有过程么 再答： 没过程，直接写结果，分析过程已写给你了。

轮换对称关键在于轮换! 也就是说平面中 将X轴、Y轴互换是否影响图形的形状? 所以平面中可以理解为关于x=y对称. 但是在空间中则不然! 没法用对称去解释轮换,你仔细想想,因为平面是无限大的,只要我让一条直线和一个平面相交,就会有对称性!所以空间中的轮换对称性只能用坐标轴的互换来理解! 即：在x+y+z=π中,xyz无

这个图形就是在x,y,z轴上分别取a,b,c长度的线段,然后组成一个四面体.S（总）=1/2(ab+bc+ca)+S（斜面三角形）S（斜面三角形）可以用海伦公式求的

这个可以补上y=0处的线段L1：0

为啥没有下面的部分呢?条件不足.把问题修正一下.计算曲面积分∫∫Σ x? dS,其中Σ为上球面z = √(1 - x? - y?),x? + y? = 1被z = - h所截得的部分.——————————————————————————————————————————取

不用那么麻烦把曲面公式代入被积函数中∫∫(x^2+y^2+z^2）ds=∫∫a^2ds=(a^2)*4πa^2=4πa^4 再问： 但答案是8πa^4 再答： 答案是4πa^4，我用不同的方法算了一遍，请看： 被积函数x^2+y^2+z^2关于z是偶函数，而且被积曲面关于xOy平面对称 故∫∫[∑](x?+y

第9章 重积分及其应用

1．用二重积分表示下列立体的体积：

(2) 由抛物面z?2?x2?y2，柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体 解答：

所属章节：第九章第一节 难度：一级

2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

?，其中D为x2?y2?a2；

所属章节：第九章第一节

3．一带电薄板位于xOy平面上，占有闭区域D，薄板上电荷分布的面密度为???(x,y)，且

?(x,y)在D上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q． 解答：Q????(x,y)d?

所属章节：第九章第一节 难度：一级

4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x轴铅直向下，y轴位于水平面上，并设薄板占有xOy平面上的闭区域D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：p??g??xd?

所属章节：第九章第一节 难度：一级

5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小

(1) I1???(x?y)2d?与I2???(x?y)3d?，其中D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的区域；

(3) I1???sin2(x?y)d?与I2???(x?y)2d?，其中D是任一平面有界闭区域；

(4) I1???exyd?与I2???e2xyd?，其中D是矩形区域：–1≤x≤0，0≤y≤1；

(4) 在区域D内部，xy?0，故exy?e2xy，所以I1>I2 所属章节：第九章第一节 难度：一级

6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) I???

解答：(1) 由于D?{(x,y)|0?x?4,0?y?8}的面积为32，在其中而等号不恒成立，故

?I?恒成立，故； 42

注：原题有误？还是原参考答案有误？如将D?{(x,y)||x|?|y|?1}改为

|y?|，则区域面积为|200，结论为

(4) 由于D??(x,y)x?y??的面积为?，在其中1?sin(x?y)?e4，而等号不恒成立，

所属章节：第九章第一节 难度：二级

7．设f(x，y)是连续函数，试求极限：lim?

解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得

所属章节：第九章第一节

8．设f(x，y)在有界闭区域D上非负连续，证明： (1) 若f(x，y)不恒为零，则??f(x,y)d??0；

解答：(1) 若f(x，y)不恒为零，则存在(x0,y0)?D，f(x0,y0)?0，利用连续函数的保号性，存在(x0,y0)的一个邻域D1?D，在其上恒有f(x,y)?0，于是

(2) 假若f(x，y)不恒为零，则由上题知??f(x,y)d??0，矛盾，故f(x，y)≡0．

所属章节：第九章第一节

??xd???dy?1

所属章节：第九章第二节

10．画出下列各题中给出的区域D，并将二重积分??f(x,y)d?化为两种次序不同的二次积分：

注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D由曲线y=x3，y=x所围成”改为“D由曲线，则答案为原参考答案

所属章节：第九章第二节

由抛物线和y =x围成； ?y??

，D由直线y=x，y=2和曲线x=y所围成 sind?????y??D

所属章节：第九章第二节

12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f(x，y)在积分区域上连续)：

所属章节：第九章第二节 难度：一级

13．计算下列二次积分：

所属章节：第九章第二节 难度：二级

14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性，计算下列二重积分： (1) (2) (3) (4)

(3) 由于积分区域关于x对称，被积函数是关于y的奇函数，故??(1?x?x2)arcsin

所属章节：第九章第二节 难度：二级

15．利用极坐标化二重积分??f(x,y)d?为二次积分，其中积分区域D为：

所属章节：第九章第二节 难度：一级

16．利用极坐标计算下列二重积分：

，D：第一象限中由圆x?y?2y,x?y?

注：本小题与第9大题第（5）小题相同．

????d??edr?e?e4；

所属章节：第九章第二节 难度：二级

17．设r，θ为极坐标，在下列积分中交换积分次序： (1) (2) (3) (4)

所属章节：第九章第二节 难度：一级

18．计算下列二次积分：

dx??d???rdr??2?d???2；

所属章节：第九章第二节 难度：二级

19．计算下列二重积分： (1)

所属章节：第九章第二节 难度：三级

20．选择适当坐标计算下列各题： (1)

d?，其中D是由双曲线xy =1与直线y =x，x =2围成；

注：本小题与第11大题第（1）小题重复．

所属章节：第九章第二节

21．用适当的变量变换，计算下列二重积分： (1) (2)

，中D是椭圆形闭区域9x?4y?1位于第一象限内的部分； sin(9x?4y)dxdy??

x??ydxdy，D是由双曲线xy=1，xy=2与直线x=y，x=4y所围成的在第一象限内的闭区D

四边形； 参考答案：(1)

所属章节：第九章第二节 难度：三级

所属章节：第九章第二节 难度：二级

23．利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积：

所属章节：第九章第二节 难度：二级

24．设f(x)在[0，1]上连续，D由点(0，0)、(1，0)、(0，1)为顶点的三角形区域，证明：

解答：将二重积分化为二次积分，再用积分变换u=x+y，然后交换积分顺序

所属章节：第九章第二节 难度：三级

解答：作变量变换x?(u?v),y?(u?v)，则J?，

所属章节：第九章第二节 难度：三级

26．设f(x)在[a，b]上连续，证明：

所属章节：第九章第二节

所属章节：第九章第二节

28．在曲线族y=c(1–x2)(c>0)中试选一条曲线，使这条曲线和它在(–1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积最小

x?，由对称性知所围图形面积为 解答：曲线在(1，0)处的法线为y?2c2c

0，得唯一驻点c?（负值舍去）

dc 又由于该实际问题的最小值存在，故当c?

所属章节：第九章第二节

29．设f(x)是连续函数，区域D由y=x3，y=1，x= –1围成，计算二重积分

解答：将D分成两块，记为

D1?(x,y)?x??y?1,D2?(x,y)x3?y??x3,?1?x?0， 则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得

所属章节：第九章第二节 难度：三级

30．设f(x)、g(x)在[0，1]上连续且都是单调减少的，试证：

所属章节：第九章第二节 难度：三级

所属章节：第九章第二节

32．至少利用三种不同的积分次序计算三重积分???(x2?yz)dv，其中Ω=[0，2]×[–3，0]×[–1，

所属章节：第九章第三节 难度：一级

33．将三重积分???f(x,y,z)dv化为累次积分(三次积分)，其中积分区域Ω分别是：

(4) Ω：由双曲抛物面z=xy及平面x+y–1=0，z=0所围成的闭区域 解答：

所属章节：第九章第三节 难度：二级

34．计算下列三重积分： (1)

，其中Ω是在平面z=x+2y下放，xOy平面上由y=x、y=0及x=1围成的平面区域ydv???

x?y?zedv，其中Ω是在平面x+y+z=1与三个坐标面围成； ???

，其中Ω是第一象限中由曲面y+z=9与平面x=0、y=3x和z=0所围成的空间立体； zdv???

所属章节：第九章第三节 难度：二级

35．用截面法(先算二重积分后算单积分)解下列三重积分问题：

(1) 计算三重积分???sinzdv，其中Ω

是由锥面z?和平面z=π围成； (2) 设Ω是由单叶双曲面x2+y2–z2=R2和平面z=0，z=H围成，试求其体积；

(3) 已知物体Ω的底面是xOy平面上的区域D?{(x,y)|x2?y2?R2}，当垂直于x轴的平面与Ω相交时，截得的都是正三角形，物体的体密度函数为?(x,y,z)?1?

(4) 试求立体???(x,y,z)2?2?z?1?的形心坐标

(4) 由对称性，??0，

所属章节：第九章第三节

(2) 由于被积函数、积分区域关于x为奇，故???(x3?xy2)dxdydz?0；

所属章节：第九章第四节

37．利用球面坐标计算下列三重积分：

dv，其中Ω是第一象限中球面x2?y2?z2?1与球面x2?y2?z2?4之间的部

2y???dv，其中Ω是单位球体在第五象限部分；

上方与上半球面ρ=2所围立体 6

所属章节：第九章第四节

38．将下列三次积分化为柱面坐标或球面坐标下的三次积分，再计算积分值，并画出积分区域图：

所属章节：第九章第四节 难度：三级

，椭圆锥面z?????

，其中Ω由曲面及平面z=0所围成；

，其中Ω是两个球体与x?y?z?Rx?y?z?2Rz的公共部分 zdv???

???2zdv??d??

(x?y)dv??????

???zdv?2?4?d??

(5) 用柱面坐标，两球面的公共部分在xOy面上的投影x2?y2?(R)2，在柱面坐标下积分区

注：本题也可用截面法来计算，分上下两部分，

所属章节：第九章第四节 难度：三级

40．利用三重积分求所给立体Ω的体积：

(3) Ω为圆柱体r≤acosθ内被球心在原点、半径为a的球所割下的部分

所属章节：第九章第四节

41．设Ω是Oxyz坐标系中体积为V=5的有界闭区域，Ω*为Ω在变换

下的有界闭区域，试求Ω*的体积V*

所以V*=20 V=100． 所属章节：第九章第四节 难度：二级

所属章节：第九章第四节 难度：三级

43．计算三重积分I?

所属章节：第九章第四节 难度：三级

44．计算平面6x+3y+2z=12在第一象限中的部分的面积 参考答案：14

解答：平面方程z?6?3x?y，D:6x?3y?12,x?0,y?0，投影面积4，

所属章节：第九章第五节 难度：二级

45．求球面x2?y2?z2?a2含在圆柱面x2?y2?ax内部的曲面面积

解答：由对称性，设z?D:x2?y2?ax,y?0，则

所属章节：第九章第五节 难度：二级

解答：柱面投影曲线方程化为r?

所属章节：第九章第五节 难度：二级

47．求双曲抛物面z=y2–x2夹在圆柱面x2+y2=1和x2+y2=4之间部分的曲面面积 解答：曲面方程z?y2?x2，投影区域为圆环域D:1?x2?y2?4，

所属章节：第九章第五节 难度：二级

48．计算由球面x2?y2?z2?3a2(z?0)和旋转抛物面x2?y2?2az(a?0)所围成立体的表面积 参考答案：

解答：上半曲面方程z?投影区域为圆环域D:x2?y2?2a2，

???d??2?a2)；

所以所求总的曲面面积为A1?A2?所属章节：第九章第五节

解答：该立体表面可分成两块来计算面积，一块为上下底，在两个平面上，由于对称，只计算上底面积A1，另一块为侧面，面积记为A2，整个立体的表面积A?2A1?A2． 先计算A1，由于对应曲面方程为z?4?

4?z?z4y，?0,??，Dxy为投影区域

xz为投影区域，?0,?

2，由于对应曲面方程之一为y?

所属章节：第九章第五节 难度：三级

50．设两个圆柱半径相等，轴相互垂直，求它们所围立体的表面积

解答：设两个圆柱面的方程为x2?y2?R2,x2?z2?R2，由对称性，只要计算出立体在第一卦限部分上面部分面积A1，再乘以16即可，

所属章节：第九章第五节 难度：二级

51．设平面薄片所占的闭区域D是由直线x+y=2，y=x和x轴所围成，它的面密度ρ(x)=x2+y2，求该薄片的质量

所属章节：第九章第五节 难度：二级

52．求占有下列区域D的平面薄片的质量与重心(质心)：

即所求平面薄片的质量为6，质心坐标为(,)；

即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为m?

即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为m?3π,(0,)；

415π?16)． 即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为m?π?,(0,

所属章节：第九章第五节 难度：二级

解答：I???y?d??2??2d??

所属章节：第九章第五节 难度：二级

54．求底长为a，高为h的等腰三角形薄片，绕其高的转动惯量(设密度为1)

解答：将高放在y轴上，以底的中心为原点建立坐标系，问题转化为求密度为1、占有区域

所属章节：第九章第五节

上方和球面ρ=4cosφ下方所围的立体． 3

解答：(1)立体体积为V????dv??d??rdr?2

由对称性知??0，计算得

(2) 立体体积为V????dv??d??3d??

由对称性知??0，计算得

注：此处第二小题答案与原参考答案不同，是否是由于球面坐标的定义不同？

所属章节：第九章第五节 难度：二级

56．求一半径为a的半球体的质量与重心．假设其上任一点密度与该点到底面之距离成正比． 解答：不妨假设半球体以x2?y2?z2?a2,z?0表示，则它的质量为

注：书中涉及的“重心”是否都应该改为“质心”？ 所属章节：第九章第五节 难度：二级

57．设半径为R的非均匀球体上任一点的密度与球心到该点的距离成正比，若球体的质量为M，求它对于直径的转动惯量．

解答：不妨假设球体以x2?y2?z2?R2表示，则球体的质量为

它对于直径的转动惯量为

所属章节：第九章第五节 难度：二级

58．求均匀物体：x2?y2?z2?2,x2?y2?z2关于Oz轴的转动惯量． 解答：设μ为物体的密度，则

Iz????(x?y)?dv?2??d??2d??

所属章节：第九章第五节

59．设物体所占区域为??{(x,y,z)|x2?y2?R2,|z|?H}，其密度为常数．已知Ω关于x轴及z

轴的转动惯量相等，试证明H:R?2．

解答：由于密度为常数，不妨设为1，Ω关于x轴及z轴的转动惯量分别为

由条件知它们相等，建立等式，即可解得

所属章节：第九章第五节

60．求高为h，半顶角为α，密度为常数μ的均匀圆锥体对位于其顶点的一单位质量质点的引力

解答：设圆锥体的顶点在下，设为坐标原点，z轴为中心轴，则由对称性知Fx?Fy?0，所求引力在z轴上的分量为 Fz?k??d??

?2?k?h(1?cos?)．这里取正号，表示方向朝上，k为引力常数．

所属章节：第九章第五节 难度：二级

61．求一密度为常数ρ的均匀柱体x2+y2=R2(0≤z≤h)对于位于点M0(0，0，a)(a>h)处的单位常数质量的质点的引力

解答：由对称性及立体密度均匀知，Fx?Fy?0，所求引力在z轴上的分量为 Fz?k??d??rdr?

??2?k?h]．这里取负号，表示方向朝下，k为引力常数．

所属章节：第九章第五节 难度：三级

62．求一空间闭区域Ω，使三重积分???(1?x2?4y2?9z2)dxdydz为最大

f(x,y,z)?0，在?外部f(x,y,z)?0，对任何其它的空间闭区域??，

如果??与?相交或相离，也有类似结果． 所以所求空间区域就是?:x2?4y2?9z2?1． 所属章节：第九章第五节 难度：三级

．求曲面?1和坐标面围成的立体区域之体积 解答：所求立体体积为

所属章节：第九章第五节

求导得F?(t)?4πt2f(t2)． 所属章节：第九章第五节 难度：三级

解答：利用柱面坐标将三重积分化为三次积分，

dt?3?所属章节：第九章第五节

解答：利用球面坐标将三重积分化为三次积分，再取极限

所属章节：第九章第五节 难度：三级

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