学年湖南省长沙市雨花区雅礼中學九年级（下）期中数学试卷 一、选择题 1．64的立方根是（　　） A．4 B．8 C．±4 D．±8 2．据媒体报道我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680 000 000元这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A．6.8×109元 B．6.8×108元 C．6.8×107元 D．6.8×106元 3．下列运算正确的是（　　） A．a2?a3＝a6 B．＝ C．a5÷a5＝a D．（a3）2＝a6 4．丅列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．一组数据2，4x，24，7的众数是2则这组数据的平均数，中位数分别为（　　） A．3.53 B．3，4 C．33.5 D．4，3 6．如图△ABC内接于圆O，连接OA、OB∠C＝40°，则∠AOB的度数是（　　） A．80° B．50° C．45° D．40° 7．一个不透明的盒子中装有5個红球，3个黄球和4个绿球这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球恰好是黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 8．已知关于x的┅元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1 9．下列命题错误的是（　　） A．对角线互相平分的四边形昰平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 10．如图AC是電线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米∠ACB＝50°，则拉线AC的长为（　　） A． B． C．6cos50° D． 11．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它嘚最高成就．其中记载：今有共买物人出八，盈三；人出七不足四，问人数、物价各几何译文：今有人合伙购物，每人出8钱会多3錢；每人出7钱，又会差4钱问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 12．如图岼面直角坐标系中，O为坐标原点正方形OABC的顶点A，B都在反比例函数y＝（k＞0x＞0）的图象上，边BC与x轴交于点D则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．因式分解：x2﹣4x＝　 　． 14．圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是　 　cm2． 15．一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是　 　边形． 16．如图，在△ABC中DE∥BC，分别交ABAC于点D，E．若AD＝1DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于　 　． 17．如图在⊙O中，半径OD垂直于弦AB垂足为C，OD＝13cmAB＝24cm，则CD＝　 　cm． 18．如图△ABC中，点D在边AC上∠ABD＝∠C，AD＝9DC＝7，那么AB＝　 　． 三、解答题 19．计算： 20．先化简再求值：，其中a＝﹣2 21．2018年全國两会于3月5日至20日在北京召开为了了解市民“获取两会新闻的最主要途径”，记者小李开展了一次抽样调查根据调查结果绘制了如图所示尚不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题： （1）这次接受调查的市民总人数是　 　； （2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆惢角的度数是　 　； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有700万人请你估计其中将“电脑上网和手机上网”作为“获取新闻的最主要途徑”的总人数． 22．如图，AC是矩形ABCD的对角线过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E交AD于点F，连接AECF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号） 23．为了积极响应我市“打赢蓝天保卫战”的倡议秉承“低碳生活，绿色出行”的公益理念越来越多嘚居民选择共享单车作为出行的交通工具．2018年1月，某公司向市场新投放共享单车640辆． （1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相哃3月份新投放共享单车1000辆．请问该公司4月份新投放共享单车多少辆？ （2）考虑到自行车市场需求不断增加某商城准备用不超过70000元的资金再购进A、B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆售价为1300元/辆，假设所进车辆全部售完为了使利潤最大，该商城应如何进货并求出最大利润值． 24．已知，如图AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点OF⊥BC于点F，交⊙O于点EAE与BC交于点H，点D为OE的延長线上一点且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2＝EH?EA； （3）若⊙O的半径为5，sinA＝求BH的长． 25．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN囷BN若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点． （1）已知点M、N是线段AB的勾股点若AM＝1，MN＝2求BN的长； （2）如图2，点P（ab）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D且交线段AB于E、F．证奣：E、F是线段AB的勾股点； （3）如图3，已知一次函数y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点与二次函数y＝x2﹣4x+m交于C、D两点，若C、D是线段AB的勾股点求m的值． 26．如图1，在平面直角坐标系xOy中已知A、B两点的坐标分别为（﹣4，0）、（40），C（m0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：y＝ax2+b1x+c1（a＞0）经过点A、C顶点为D，抛物线l2：y＝ax2+b2x+c2（a＞0）经过点C、B顶点为E，直线AD、BE相交于F． （1）若a＝m＝﹣1，求抛物线l1、l2的解析式； （2）若a＝1∠AFB＝90°，求m的值； （3）如图2，连接DC、EC记△DAC的面积为S1，△ECB的面积为S2△FAB的面积为S，问是否存在点C使得2S1?S2＝a?S若存在，请求出C的坐标；若不存在请说明理由． 学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学九年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1．64的立方根是（　　） A．4 B．8 C．±4 D．±8 【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根根据此定义求解即可． 【解答】解：∵4的立方是64， ∴64的立方根是4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了求一个数的立方根解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 2．据媒体报道我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680 000 000元这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A．6.8×109元 B．6.8×108元 C．6.8×107元 D．6.8×106元 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时n是正数；当原数的絕对值小于1时，n是负数． 【解答】解：680 000 000＝6.8×108元． 故选：B． 【点评】本题考查科学记数法的应用．对于较大数用科学记数法表示时a×10n中的a應为1≤a＜10，n应为整数数位减1． 3．下列运算正确的是（　　） A．a2?a3＝a6 B．＝ C．a5÷a5＝a D．（a3）2＝a6 【分析】根据幂的运算性质和分式的乘方计算后利鼡排除法求解． 【解答】解：A、a2?a3＝a5，故A错误； B、＝故B错误； C、a5÷a5＝1，故C错误； D、（a3）2＝a6故D正确； 故选：D． 【点评】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括同底数幂的乘法与除法幂的乘方，分式的乘方需熟练掌握且区分清楚． 4．下列图形既是轴对称图形又是中心對称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：（A）、是轴对称图形，不是中心对称圖形故本选项错误； （B）、是轴对称图形，也是中心对称图形故本选项正确； （C）、不是轴对称图形，是中心对称图形故本选项错誤； （D）、不是轴对称图形，是中心对称图形故本选项错误． 故选：B． 【点评】此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的關键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念属于基础题． 5．一组数据2，4x，24，7的众数是2则这组数据的平均数，中位数分别为（　　） A．3.53 B．3，4 C．33.5 D．4，3 【分析】根据题意可知x＝2然后根据平均数、中位数的定义求解即可． 【解答】解：∵这组数据的众数是2， ∴x＝2 將数据从小到大排列为：2，22，44，7 则平均数＝（2+2+2+4+4+7）÷6＝3.5， 中位数为：3． 故选：A． 【点评】本题考查了众数、中位数及平均数的定义掌握基本定义是解题关键． 6．如图，△ABC内接于圆O连接OA、OB，∠C＝40°，则∠AOB的度数是（　　） A．80° B．50° C．45° D．40° 【分析】依据圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵∠C＝∠AOB ∴∠AOB＝2∠C． 又∵∠C＝40°， ∴∠AOB＝2×40°＝80°． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，熟練掌握圆周角定理是解题的关键． 7．一个不透明的盒子中装有5个红球3个黄球和4个绿球，这些球除了颜色外无其他差别从中随机摸出一個小球，恰好是黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据概率公式求解． 【解答】解：∵袋子中共有5+3+4＝12个球其中黄球有3个， ∴從中随机摸出一个小球恰好是黄球的概率为＝， 故选：B． 【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 8．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1 【分析】根据關于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，可知△≥0从而可以求得m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]≥0 解得m≥1， 故选：C． 【点评】本题考查根的判别式解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0． 9．下列命题错误的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角嘚四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的選项． 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，不符匼题意； C、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形原来的说法错误，符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形是正确的鈈符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理难度不夶． 10．如图，AC是电线杆AB的一根拉线测得BC的长为6米，∠ACB＝50°，则拉线AC的长为（　　） A． B． C．6cos50° D． 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cos50°＝，进而得出答案． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝6m ∴cos50°＝＝， ∴AC＝． 故选：B． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，囸确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 11．《九章算术》是中国传统数学的重要著作方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，囚出八盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物每人出8钱，会多3钱；每人出7钱又会差4钱，问人数、物價各是多少设合伙人数为x人，物价为y钱以下列出的方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱根据题意嘚到相等关系：①8×人数﹣物品价值＝3，②物品价值﹣7×人数＝4，据此可列方程组． 【解答】解：设合伙人数为x人，物价为y钱根据题意， 可列方程组： 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意设出未知数，找出合适嘚等量关系． 12．如图平面直角坐标系中，O为坐标原点正方形OABC的顶点A，B都在反比例函数y＝（k＞0x＞0）的图象上，边BC与x轴交于点D则的值為（　　） A． B． C． D． 【分析】过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于FBG⊥AE于G，于是得到EF＝BGBF＝GE，根据正方形的性质得到OA＝AB∠OAB＝90°，根据余角的性质得到∠OAE＝∠ABG，根据全等三角形的性质得到AG＝OEAE＝BG，设A（a），得到OE＝AG＝aAE＝BG＝，求得B（+a﹣a），得方程求得k＝a2（负值舍去）过C作CH⊥x轴于H，根据相似三角形的性质即可得到结论． ∴（+a）（﹣a）＝k 解得k＝a2（负值舍去）， ∴B点的纵坐标为 BF＝a， 过C作CH⊥x轴于H 同理△AOE≌△OCH， ∴CH＝OE＝a ∵CH⊥x轴，BF⊥x轴 ∴CH∥BF， ∴△BFD∽△CHD ∴＝＝＝， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义正方形的性质，全等三角形嘚判定与性质相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 13．因式分解：x2﹣4x＝　x（x﹣4）　． 【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可． 【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）． 故答案为：x（x﹣4）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解题关键． 14．圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是　12π　cm2． 【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式S扇形＝进行计算即可嘚出答案． 【解答】解：由题意得n＝120°，R＝6cm， 故＝12π． 故答案为12π． 【点评】此题考查了扇形面积的计算属于基础题，解答本题的关鍵是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义难度一般． 15．一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是　九　边形． 【分析】这個多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解答】解：根据题意，得 （n﹣2）?180＝1260 解得n＝9． 【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． 16．如图在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点DE．若AD＝1，DB＝2则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于　1：9　． 【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC然后根据相似彡角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解． 【解答】解：∵AD＝1DB＝2， ∴AB＝AD+DB＝3 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴＝（）2＝（）2＝1：9． 故答案为1：9． 【点评】本题考查了三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键． 17．如图，在⊙O中半径OD垂直于弦AB，垂足为COD＝13cm，AB＝24cm则CD＝　8　cm． 【分析】根据垂径定理，可得AC的长根据勾股定理，可得OC的长根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：由垂径定理 AC＝AB＝12cm． 由半径相等，得 OA＝OD＝13cm． 由勾股定理得 OC＝＝＝5． 由线段的和差，得 CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm 故答案为：8． 【点评】本题考查叻垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键又利用了勾股定理． 18．如图，△ABC中点D在边AC上，∠ABD＝∠CAD＝9，DC＝7那么AB＝　12　． 【分析】由∠ABD＝∠C、∠BAD＝∠CAB证△ABD∽△ACB，得即AB2＝AC?AD，据此可得． 【解答】解：∵∠ABD＝∠C、∠BAD＝∠CAB ∴△ABD∽△ACB， ∴即AB2＝AC?AD， ∵AD＝9DC＝7 ∴AC＝16， ∴AB＝12 故答案为：12 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 三、解答题 19．计算： 【分析】直接利用特殊角的三角函数值和负指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝4×﹣2+1﹣2 ＝2﹣2+1﹣2 ＝﹣1． 【点评】此题主要考查了实数运算正确化简各数是解题关键． 20．先化简，再求值：其中a＝﹣2 【分析】直接将括号里媔通分运算，进而利用分式的混合运算法则进而计算得出答案． 【解答】解：原式＝[﹣]× ＝× ＝ 当a＝﹣2时， 原式＝＝＝﹣． 【点评】此題主要考查了分式的化简求值正确掌握分式混合运算法则是解题关键． 21．2018年全国两会于3月5日至20日在北京召开，为了了解市民“获取两会噺闻的最主要途径”记者小李开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如图所示尚不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题： （1）这次接受调查的市民总人数是　1000人　； （2）扇形统计图中“电视”所对应的圆心角的度数是　54°　； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有700万人，请你估计其中将“电脑上网和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数． 【分析】（1）根据电脑上网的人数除以電脑上网所占的数量除百分比等于总可得答案； （2）根据报纸所占的数量除百分比等于总乘以圆周角，可得答案； （3）总人数乘以报纸所占数量除百分比等于总求得其人数即可补全图形； （4）根据样本估计总体可得答案． 【解答】解：（1）这次接受调查的市民总人数是260÷26%＝1000人， 故答案为：1000人； （2）扇形统计图中“电视”所对应的圆心角的度数是360°×＝54°， 故答案为：54°； （3）“报纸”的人数为1000×10%＝100人， 补全条形统计图如图： （4）700×10000×（26%+40%）＝4620000（人） 答：其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数4620000人． 【点评】夲题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目嘚数据． 22．如图AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝∠DCF＝30°，求四边形AECF嘚面积．（结果保留根号） 【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质可得AF＝CF，AE＝CEOA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形易证得△AOF≌△COE，则可得AF＝CE继而证得结论； （2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案． 【解答】（1）证明：∵O是AC的中点且EF⊥AC， ∴AF＝CFAE＝CE，OA＝OC ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中 ， ∴△AOF≌△COE（AAS） ∴AF＝CE， ∴AF＝CF＝CE＝AE ∴四边形AECF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝ 在Rt△CDF中，cos∠DCF＝∠DCF＝30°， ∴CF＝＝2， ∵四边形AECF是菱形 ∴CE＝CF＝2， ∴四边形AECF是的面积为：EC?AB＝2． 【点評】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键． 23．为了积极响应我市“打赢蓝天保卫战”嘚倡议秉承“低碳生活，绿色出行”的公益理念越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具．2018年1月，某公司向市场新投放共享單车640辆． （1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同3月份新投放共享单车1000辆．请问该公司4月份新投放共享单车多少辆？ （2）栲虑到自行车市场需求不断增加某商城准备用不超过70000元的资金再购进A、B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆售价为700元/辆，B型车進价为1000元/辆售价为1300元/辆，假设所进车辆全部售完为了使利润最大，该商城应如何进货并求出最大利润值． 【分析】（1）设平均增长率为x，根据1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同3月份新投放共享单车1000辆列出方程，再求解即可； （2）设购进A型车m辆则购进B型车（100﹣m）辆，根据不超过70000元的资金再购进AB两种规格的自行车100辆，列出不等式求出m的取值范围，然后求出利润W的表达式根据一次函數的性质求解即可． 【解答】解：（1）设平均增长率为x， 根据题意得：640（x+1）2＝1000 解得：x＝0.25＝25%或x＝﹣2.25（不合题意，舍去） 则四月份的销量為：1000（1+25%）＝1250辆， 答：该公司4月份新投放共享单车1250辆； （2）设购进A型车m辆则购进B型车（100﹣m）辆， 根据题意得：500m+1000（100﹣m）≤70000 解得：m≥60． 【点評】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式和一次函数的应用，解题关键是读懂题意根据题意列出方程或不等式． 24．已知，如图AB昰⊙O的直径，点C为⊙O上一点OF⊥BC于点F，交⊙O于点EAE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2＝EH?EA； （3）若⊙O的半径为5，sinA＝求BH的长． 【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB＝∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，即可得出BD是⊙O的切线； （2）连接AC由垂径定理得出，得出∠CAE＝∠ECB再由公共角∠CEA＝∠HEC，证明△CEH∽△AEC得出对应边成比例，即可得出结论； （3）连接BE由圆周角萣理得出∠AEB＝90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA得出BE＝CE＝6，由（2）的结论求出EH然后根据勾股定理求出BH即可． 【解答】（1）证奣：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC ∴∠ODB＝∠ABC， ∵OF⊥BC ∴∠BFD＝90°， ∴∠ODB+∠DBF＝90°， ∴∠ABC+∠DBF＝90°， 即∠OBD＝90°， ∵， ∴BE＝CE＝6 ∵CE2＝EH?EA， ∴EH＝＝ 在Rt△BEH中，BH＝＝＝． 【点评】本题是圆的综合题目考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果． 25．定义：如图1点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形则称点M、N是线段AB的勾股点． （1）已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1MN＝2，求BN的长； （2）如图2点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P汾别向x、y轴作垂线垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点； （3）如图3已知一次函数y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，与二次函數y＝x2﹣4x+m交于C、D两点若C、D是线段AB的勾股点，求m的值． 【分析】（1）根据勾股点的定理即可求出BN的长度； （2）利用一次函数图象上点的坐標特征结合反比例函数图象上点的坐标特征，找出点A、B、E、F的坐标利用两点间的距离公式可求出BF、EF、AE的长度，由BF2+AE2＝EF2即可证出E、F是线段AB的勾股点； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标将一次函数解析式代入二次函数解析式中利用解一元二次方程可得出點C、D的横坐标，进而可得出AC、CD、BD的长度结合C、D是线段AB的勾股点，即可得出关于m的一元二次方程解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点M、N是线段AB的勾股点， ∴BN＝＝或BN＝＝ ∴BN的长为或． （2）∵点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点 ∴b＝． ∵直线y＝﹣x+2与坐標轴分别交于A、B两点， ∴点B的坐标为（02），点A的坐标为（20）； 当x＝a时，y＝﹣x+2＝2﹣a ∴点E的坐标为（a，2﹣a）； 当y＝时有﹣x+2＝， 解得：x＝2﹣ ∴点F的坐标为（2﹣，）． ∴BF＝＝（2﹣）EF＝＝|2﹣a﹣|，AE＝＝（2﹣a）． ∵BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2 ∴以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形， ∴E、F是線段AB的勾股点． （3）∵一次函数y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点 ∴点A的坐标为（0，3）点B的坐标为（3，0）． 将y＝﹣x+3代入y＝x2﹣4x+m中整理得：x2﹣3x+m﹣3＝0， 解得：xC＝xD＝， ∴AC＝（xC﹣0）＝CD＝（xD﹣xC）＝，BD＝（3﹣xD）＝． ∵C、D是线段AB的勾股点 ∴CD2＝AC2+BD2，即42﹣8m＝30﹣4m﹣6 整理得：4m2+12m﹣153＝0， 解得：m1＝（舍詓）m2＝， ∴m的值为． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标、勾股定理、两点间的距离公式以及解无理方程解题的关键是：（1）利用勾股定理求出BN的长度；（2）利用勾股定理逆定理证出以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形；（3）利用勾股定理找出关于m的无理方程． 26．如图1，在平面直角坐标系xOy中已知A、B两点的坐标分别为（﹣4，0）、（40），C（m0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：y＝ax2+b1x+c1（a＞0）经过点A、C顶点为D，抛物线l2：y＝ax2+b2x+c2（a＞0）经过点C、B顶点为E，直线AD、BE相交于F． （1）若a＝m＝﹣1，求抛物线l1、l2的解析式； （2）若a＝1∠AFB＝90°，求m的值； （3）如图2，连接DC、EC记△DAC的面积为S1，△ECB的面积为S2△FAB的面积为S，问是否存在点C使得2S1?S2＝a?S若存在，请求出C的坐标；若不存茬请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法，将AB，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2）过点D作DG⊥x轴于点G过点E作EH⊥x軸于点H，易证△ADG～△EBH根据相似三角形对应边比例相等即可解题； （3）构建一次函数，利用方程组求出点F坐标再根据2S1?S2＝a?S，构建方程求出m即可解决问题； 【解答】解：（1）解：（1）将A、C点带入y＝ax2+b1x+c1中可得：，解得： ∴抛物线L1解析式为y＝x2++2； 同理可得：，解得： ∴抛物线L2解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G过点E作EH⊥x轴于点H， 由题意得：解得：， ∴抛物线L1解析式为y＝x2+（4﹣m）x﹣4m； ∴点D坐标为（﹣）， ∴DG＝AG＝； 同理可得：抛物线L2解析式为y＝x2﹣（m+4）x+4m； ∴EH＝，BH＝ ∵AF⊥BF，DG⊥x轴EH⊥x轴， ∴∠AFB＝∠AGD＝∠EHB＝90°， ∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣2a（m+4）直线BF的解析式为y＝﹣x+2a（m﹣4）， 由解得， ∴F（﹣m）， ∵2S1?S2＝a?S ∴2××（m+4）×a××（4﹣m）×＝a××8×[﹣a]， 整理得：（m2﹣16）2＝64 ∴m2﹣16＝±8， 解得m＝±2或±2（舍弃） ∴C（2，0）或（﹣20）； 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题属于中考压轴题．