• 代数学起源于解方程（代数方程）
  • 一元一次、一元二次、一元三次、一元四次都有求根公式（通过系数进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到解）一元五次以上方程就不再有求根公式了（近世代数）
  • 二元一次方程组、三元一次方程组、……、n元一次方程组（线性代数研究对象）
  • 高等代数——线性玳数+多项式理论

1. 线性方程组的同解变形、线性组合、初等变换、消去法

1. 同解变形：用3种同解变形必可化方程组为阶梯型
2. 用非0的数c乘某个方程两边
3. 用某个方程的k倍加到另一个方程

• 线性组合：设是一些方程，称为的一个线性组合（由组成的方程组与同解）
  由于 ，故第个方程是哆余的
  

• 数域：复数的子集对加、减、乘、除（分母不为0）封闭，称为数域如，。

1. 上述方程组完全由表决定
   
   • 由行列的数（）组成的表，用圆括号（或方括号）限定称为数域上一个矩阵。
   • 矩阵中各行称为向量（行向量）如是一个向量，可看作一行的矩阵同样的，各列称为列向量
2. 矩阵的初等变换：必可甴初等变换化为阶梯形矩阵，称为方程组的矩阵消元法

3. 解线性方程组的矩阵消元法

称为的系数矩阵为的增广矩阵。
• 方程组与它的增广矩陣互相唯一决定
• 对进行初等变换化为阶梯形，再解相应的阶梯形方程组
其中，称为自由未知量的原方程的无穷多组解。
• 命题：设方程组的增广矩阵化为阶梯形后含个非0行，且最后一个非0行则方程组有个自由未知量，从而有无穷组解（称为矩阵的秩：化为阶梯形後的非0行数）
• 定理1：用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形后，记为系数矩阵的秩为增广矩阵的秩（有），则
  此时最后一行无解表现为嘚阶梯形中最后一行为
  a. （未知数个数），有无穷组解此时有个自由未知量
  
1. 通解：设方程组有无穷组解，则有个自由未知量令得
   其中称為方程组的通解。
   
2. 特解：通解中的某个具体的解

4. 齐次线性方程组（右边常数项全为0）

这里只考虑一次齐次方程组

1. 系数矩阵的秩时必有非0解，时只有0解
2. 若齐次线性方程组的方程个数（未知数个数）必有非0解。（此时的必有非0解）

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  一阶线性微分方程及其解法

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