高等数学求导导数定义求导的定义问题

这个系列文章讲解高等数学的基礎内容注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释并配以一些例题,大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题难度适中,其中包含一些考研数学中的经典题目本系列文章适合作为初学高等数学的课堂同步辅导,高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料既然是入门,就要舍去一些难度较大或不适合初学者的内容(例如用ε-δ语言证明极限,以及教材中多数定理的证明),有些较深入的问题(例如无穷大与无界的区别和联系,导函数的特性,拉格朗日中值定理的证明思路等)我们会以专题文章的形式给出,供有兴趣的读者选读。

本系列上一篇见下面的“经验引用”

  1. 用定义求函数在某点处的导数定义求导

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求導公式是用导数定义求导定义算出来的
当函数表达式是统一的表达式,可以用求导公式


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    人们最初研究导数定义求导是从各种物理现象开始的现在我们就先扯扯物理吧o(* ̄▽ ̄*)o

x表示位移,t表示时间

    这个公式又和导数定义求导有什么关系我们从研究瞬时速度嘚表达式说起

那么,对于x-t坐标轴而言有

k表示在x-t坐标轴的斜率,它表示速度; x(t)表示一个位移函数

    这个式子样子已经接近于导数定义求导的定義式了但是我们要求的是瞬时速度

    这就是瞬时速度的表达式了,其实这也是导数定义求导的定义式(不太正式而已hhh)

    由于专栏不支持公式编写,所以我用word打了一遍

导数定义求导的定义(改编自度娘百科)

dy和dx是微分求导过程也就是微分过程(我们以后见到更多的是微分形式!或许是不用写极限这个臭长的式子才流行的吧...)

有人说,导数定义求导的本质是什么其实这也不太好解释,毕竟有好多方面解释導数定义求导呢这里我就简单说说:

导数定义求导本质是瞬时变化率,就是Δy/Δx的比值(有人估计到这里还是不太懂)

直白的说设函數g(x)=kx,根据本质是瞬时变化率而一次函数的变化率保持不变,那么g'(x)=k.

可以说在线性函数中,导数定义求导就是斜率

如果在曲线函数,那麼导数定义求导就是切线斜率这个我会在后面解释

这里我就不给证明过程了,太长了(各大教科书都有证明过程的)

为了方便(偷懒)在这里我们用f'(x)=d(f(x))/dx表示

在这里,我尽量选择较简单的题(以基础为重)

在这里主要是想让读者先熟悉微分形式

很明显这个是让你求导的题

峩们将使用定义来求导:

现在就简单了,我们直接使用代入法最终得到

到了这里,我们得到了一个结论这个结论会使你的解题速度加赽:

我把这个结论称为分别求导原则(只有加减的时候有效)

只要你掌握了公式,这题瞬间就成了口算题

很明显这里考察的是导数定义求导的乘积法则,我们令

这里考察的是商法则的运用

这次我们试试如何用微分形式求导

到这里估计有人就看不懂了,这个du/dx究竟是什么东覀!

很简单,就是u对x求导(可以类比dy/dx)的意思也就是u是一个新的函数,自变量仍然是x而du/dx就是u函数的导数定义求导。

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