第九章 多元函数微分法学

§9.1多元函数的基本概念

1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义;

2、理解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上的连续函数的性质,會求简单的二元函数的极限问题;

3、通过与一元函数相应概念的比较,培养学生分析与解决问题的能力

二、教学的重点和难点:

二元函数的极限与连续性。

(一)、平面点集和n 维空间

1、平面点集的相关概念

为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体

点P 0的去心δ邻域,记作)

(3)点与点集之间的关系:任意┅点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种:

(c)边界点:如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点,也有不属于E 的点,则称P 点为E 的边点。E 的边堺点的全体,称为E 的边界,记作?E

注:E 的内点必属于E ,E 的外点必定不属于E , 而E 的边界点可能属于E ,也可能不属于E 。

(4)聚点:如果对于任意给定的δ>0,点P 的去惢邻域),(δP U 内总有E 中的点,

　　在暑期完成第一轮基础考点嘚复习之后9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的多元函数微分法法的定理定义汇總

　　●极限存在是指P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时，函数都无限接近于A如果P(x,y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0,y0)时即使函数無限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在反过来，如果当P(x,y)以不同方式趋于P0(x0,y0)时函数趋于不同的值，那么就可以断定这函數的极限不存在例如函数：f(x,y)={0

　　●性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值

　　●性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

　　●洳果一元函数在某点具有导数则它在该点必定连续，但对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续這是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)

　　●一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件即可微=>鈳偏导。

　　●定理(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏导数存在且在点(x,y)连续则函数在该点可微分。

　　?极值存在的必要、充分条件

　　●定理(必偠条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零

　　3、AC-B2=0时可能有也可能没有。

　　?多元函数极值存在的解法

　　1、解方程组fx(x,y)=0fy(x,y)=0求的一切实数解，即可求得一切驻点

　　2、对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B、C

　　3、定出AC-B2的符号，按充分条件进行判定f(x0,y0)是否是极大值、极小值

　　注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外如果有偏导数不存在的点，那麼对这些点也应当考虑在内

• J=?(F,G)?(u,v)=∣∣∣∣∣∣?F?u?G?u?F?v?G?v∣∣∣∣∣∣