课程：PKU数学双学位——实变函数与泛函分析pdf与泛函分析
教材：郭懋正《实变函数与泛函分析pdf与泛函分析》
双学位的课面向非数学系的其他院系学生总体要求较数学科学学院低。实变函数与泛函分析pdf和泛函分析在数学系是两门单独的课在双学位課程设置里合并为一个学期的内容。但是实变函数与泛函分析pdf和泛函分析本身难度不小想要掌握好这一部分内容非下一点力气是不行的。所谓“实变函数与泛函分析pdf学十遍泛函分析心犯寒”也。
本打算把所有的课后题都刷一遍写一份答案，后来想把作业题都做一份答案结果都是flag.现在没有心思和精力做这件事，姑且搁置了

1. 
   注：主要用到摩根律和分配律

2. 设A,B是集合，定义AΔB=(A?B)∪(B?A)为A与B的对稱差证明对称差具有以下性质：

   
   并证明对于给定的集合A与B，存在唯一的集合E使得
   

Lebesgue可测函数列的收敛性

1. （第1题）S为由一切复数列x=(ξ1,ξ2,?,ξn,?)组成的集合，在S中定义距离为

   (i)容易验证S上的距离满足正定性、对称性、三角不等式所以是一个距离空间。
   

   
   根据复数域C的完备性知存在
   根据(i)(ii)及完备空间定义，S是一个完备空间

2. (第3题)求证[0,1]上的多项式全体距离
   

   
   是不完备的，并指出它的完备化空间.

   
   所以{xk}为基本列
   不是哆项式函数，所以(P,ρ)不是一个完备空间
   

3. 对上半连续函数有类似结论。

   
   而f(x0)≥M是显然的所以
   即f(x)可以达到下确界。

4. (第17题)设M是C[x,b]中的有界集求證集合
   

   
   所以F(x)是等度连续的。
   

5. （第26题）设C是(C,d)中的有界闭集.映射T：C→C满足

   
   证明T在CC中存在唯一不动点.

1. （第1题）极化恒等式设a是复线性涳间X上的共轭双线性函数，q(x)=a(x,x)是a诱导的二次型求证：
   

2. 
   求证：两者中一个完备蕴含另一个完备。

3. （第22题）设f1,f2,?,fn是H上的一组有界线性泛函
   

Banach空间上的有界线性算子

Banach空间上的连续线性泛函

Banach空间的收敛性和紧致性