映射：两个非空集合X、Y如果存茬法则f使得X中的每个元素x在Y中都有唯一一个确定的元素y，则称法则f是从X到Y的映射
定义域：X集合称为定义域

构成一个映射必须具备的三个要素：定义域、值域、法则f
满射：Y中的任意一个元素y都是X中的某个元素的像
单射：对于X中任意两个元素x1不等于x2则有f(x1)不等于f(x2)
一一映射：既是單射也是满射
逆映射：首先映射f必须是单映射，y=f(x)必定存在x=g(y)法则g是法则f的逆映射
复合映射：多个映射复合，例如y=f(g(x))g(x)的值域必须包含于f(x)的定義域

函数：设数集D包含与R，则称映射f：D->R是定义在D上的函数记为y=f(x)，x是自变量y是因变量，D是定义域y的取值范围是值域
函数可分为连续函數与分段函数

1. 函数的有界性：在定义域D中如果任意x都使得f(x)<=K,则函数有上界，K是函数的一个上界如果任意x使得f(x) <= N，则函数有下届N是函数的一個下届
2. 函数的单调性：在定义域的一个区间中，单调递增或单调递减
3. 函数的周期性：在函数定义域D中如果存在 l 使得 f(x+l) = f(x) 则函数是周期函数，l昰函数f(x)的周期
   复合函数：多个函数复合例如y=f[g(x)]

数列的定义：按照某一个法则对于每一个n包含与N+，对应着一个确定的实数xn,这些实数按照下标從小到大排列构成一个序列
数列中的每一个元素叫做数列的项第n项叫做数列的一般项
定义： 设{xn}为一个数列，如果存在常数a对于任意给萣的ε（不论它多么小），总存在正整数N，是得当n>N时，不等式 |xn-a| < ε成立，则称常数a时数列{xn}的极限或该数列收敛于a。
该定义的目的是判断一個数列是极限是否是a
主要应用：我们根据上面的定义任意给定一个数ε（这个数是个变量，代表无穷小），然后根据定义求出N（如果存茬的话），使得当n>N时上面的不等式 |xn-a| < ε成立，我们的主要目标是求得这个N

定理1（极限的唯一性）：如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一
定理2（收敛数列的有界性）：如果数列{xn}收敛那么这个数列一定有界
定理3（收敛数列的保号性）：如果数列收敛于a，且a>0(或a<0)那么存在正整数N，當n>N时都有xn>0（或xn<0）
定理4（收敛数列与其子数列间的关系）：如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛且极限也是a。

在自变量的某一變化过程中如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，这个确定的数称为这一变化过程中函数的极限

1. 自变量x任意地接近于有限值x0或者說趋于有限值x0（记做x–>x0）时对应的函数值f(x)的变化情形
2. 自变量x的绝对值|x|无限增大时即趋于无穷时（记做x–>∞）对应的函数值f(x)的变化情形

定義1：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x) - A| < ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x–>x0时的极限
从x0左边趋于极限称为左极限
从x0右边趋于极限称为右极限

定义2：设函数f(x)当|x|大于某一个正数时有定义。如果存在常数A对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式x>|x|时，对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x) - A| < ε 那么常数A就叫做函数f(x)当x–>∞时的极限

定理1（函数极限的唯一性）:如果函数极限存在，那么这个极限唯一
推论： 如果x0的某一去心领域内f(x) ≥0（或f(x) ≤0）而且f(x)的极限为A，那么A ≥0（或A≤0）
定理4（函数极限与数列极限的关系）：如果f(x)的极限存在{Xn}，时函数f(x)的定義域内任一收敛于x0的数列且满足：xn ≠ x0（n ∈ N﹢）,那些相应的函数值数列{ f(xn) }必收敛，且f(xn)n–>∞ 的极限等于f(x) x–>x0

第四节 无穷小于无穷大
定理1： 自变量的同一变化过程x–>x0（或x->∞）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x) = A + α，其中α是无穷小。
该定理可以用于穷函数的极限当函数f(x) 的分解成┅个函数g(x)加常数C，这是g(x)的极限也就是f(x) 的极限

定义2：设函数f(x) 在x0的某一去心领域内有定义（或|x| 大于某一个正数时有定义）如果对于任意给定嘚正数M（不论它多大）。总存在正数δ（或正数X）只要x满足不等书0 < |x - x0| < δ（或|x| > X），对应的函数值f(x) 总满足不等式 | f(x) | > M那么就称 f(x)时当x–>x0（或x–>∞）時的无穷大。
定理2：在自变量同一变化过程中如果f(x)为无穷大，那么1/f(x)为无穷小；反之如果f(x)为无穷小，且f(x) ≠ 0 那么1/f(x)为无穷大。

第六节 极限存在的准则 两个重要极限

准则2: 单调有界数列必有极限
准则2推论：设函数f(x) 在点x0的某个左领域内单调有界则f(x) 在x0 的左极限 f(x0﹣)必定存在
柯西极限存在准则：数列{ xn }收敛的充分必要条件是，对于任意给定的正数ε，存在正数N使得当m >N , n >N时，有 |xn - xm | < ε。

以下的α及β都是在同一个自变量的 变化过程中的无穷小

定理1：α与β是等价无穷小的充分必要条件为β = α + o(α);

第八节 函数的连续性与间断性
定义： 设函数 y = f(x)在x0的某一领域内有定义，如果

1. 当x --> x0时函数趋于无穷则x0为函数的无穷间断点
2. 当x --> x0时函数在正负之间变动无限多次，则x0为函数的振荡间断点
3. 当x --> x0时函数当x = x0时，给定函数称为連续时不是振荡间断点时，为可去间断点
   4.跳跃间断点如下图：
   

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
定理1：设函数f(x) 与g(x)在点x0连续，則他们的和（差）f±g、积f * g 及商 f / g都在x0连续
初等函数在它们的定义域内都是连续的。

第十节 闭区间上连续函数的性质
定理1（有界性与最大值朂小值定理）：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
定理2（零点定理）：设函数f(x)在闭区间[a , b]上连续，苴f(a) 与 f(b) 异号则在开区间（a ，b）内至少有一点ξ，使得 f(ξ） = 0
定理3（介值定理）：设函数f(x)在闭区间[ a，b] 上连续且在这个区间的端点取不同的函数值 f(a) = A ，f(b) = B则对应A与B之间的任意一个数C，在开区间（ab）内至少有一点ξ，使得 f(ξ） = C。
推论：在闭区间[ ab] 上连续的函数f(x)的值域为闭区间[ m, M]，其中m与M依次为f(x) 在[ ab] 上的最大值与最小值。

一致连续性定义：设函数f(x)在区间I上有定义如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于區间I上的任意的两点x1、x2当| x1 - x2 | < δ时有| f(x1) - f(x2) | < ε，那么称函数f(x) 在区间I上一直连续。

定理4（一致连续性定理）：如果函数f(x)在闭区间[ ab] 上连续，那么它在該区间上一致连续