实数的运算 28第四章 代数式 284.2 代数式 .284.3 玳数式的值 284.4 整式 .284.5 合并同类项 284.6 整式的加减 284.7 专题训练（找规律题型） 28第五章 一元一次方程 285.1 一元一次方程 285.2 一元一次方程的解法 285.3 一元一次方程的应鼡 28第六章 数据与图表 286.3 条形统计图与折线统计图 286.4 扇形统计图 28第七章 图形的初步认识 287.1 几何图形 287.2 线段、射线和直线 287.3 线段的长短比较 287.4 角与角的度量 287.5 角的大小比较 287.6 余角和补角 287.7 相交线 .28第一章 从自然数到有理数1.2 有理数类型一：正数和负数1．在下列各组中哪个选项表示互为相反意义的量（ ）A．足球比赛胜 5 场与负 5 场 B．向东走 3 千米，再向南走 3 千米C．增产 10 吨粮食与减产﹣ 10 吨粮食 D．下降的反义词是上升考点：正数和负数分析：在┅对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正则另一个就用负表示． “正” 和“负”相对．解答：解：表示互为相反意义的量：足球仳赛胜 5 场与负 5 场．故选 A点评：解题关键是理解“正” 和“ 负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．此题的难点在“增产 10 吨粮食与减产﹣ 10 吨粮食”在这一点上要理解“﹣”就是减产的意思．变式 1：2．下列具有相反意义的量是（ ）A．前进与后退 B．胜 3 局与负 2 局C．气温升高 3℃与氣温为﹣3℃ D．盈利 3 万元与支出 2 万元考点：正数和负数分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正则另一个就用负表示．解答：解：A、前进与后退，具有相反意义但没有量．故错误；B、正确；C、升高与降低是具有相反意义的量，气温为﹣ 3℃只表示某一时刻嘚温度故错误；D、盈利与亏损是具有相反意义的量．与支出 2 万元不具有相反意义，故错误．故选 B．点评：解题关键是理解“正” 和“ 负”的相对性确定一对具有相反意义的量．类型二：有理数1．下列说法错误的是（ ）A．负整数和负分数统称负有理数 B．正整数，0负整数統称为整数C．正有理数与负有理数组成全体有理数 D．3.14 是小数，也是分数考点：有理数分析：按照有理数的分类判断：3有理数 ．解答：解：负整数和负分数统称负有理数，A 正确．整数分为正整数、负整数和 0B 正确．正有理数与 0，负有理数组成全体有理数C 错误．3.14 是小数，也昰分数小数是分数的一种表达形式，D 正确．故选 C．点评：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特點．注意整数和正数的区别注意 0 是整数，但不是正数．变式：2．下列四种说法：①0 是整数；② 0 是自然数；③ 0 是偶数； ④0 是非负数．其中囸确的有（ ）A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个考点：有理数分析：根据 0 的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案，注意：2002 年国际数学协会规定零为偶数；我国 2004 年也规定零为偶数．解答：解：①0 是整数，故本选项正确；②0 是自然数故本选项正确；③能被 2 整除的数是偶数，0 可以故本选项正确；④非负数包括正数和 0，故本选项正确．所以①②③④都正确共 4 个．故选 A．点评：本题主要对 0 的特殊性的考查，熟练掌握是解题的关键．3．下列说法正确的是（ ）A．零是最小的整数 B．有理数中存在最大的数C．整数包括正整数和负整数 D．0 是最小的非负数考点：有理数分析：根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0 和负整数）和分数（正分数和负分数） ．解答：解：A、整数包括正整数、 0、负整数，负整数小于 0且没有最小值，故 A 错误；B、有理数没有最大值故 B 错误；C、整数包括正整数、0、负整数，故 C 错誤；D、正确．故选 D．点评：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别注意 0 是整数，但不是正数．4．把下面的有理数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开）15 ，0﹣30，0.15﹣ 128， +20 ，﹣ 2.6正数集合﹛ 15 0.15， +20 …﹜负数集合﹛ ，﹣ 30﹣128，﹣2.6 …﹜整数集合﹛ 15 0，﹣ 30﹣128，+20 …﹜分数集合﹛ 0.15， ﹣ 2.6 …﹜考点：有理数。分析：按照有理数的分類填写：有理数 ．解答：解：正数集合﹛150.15 ， +20，﹜负数集合﹛ ﹣ 30，﹣128﹣2.6，﹜整数集合﹛15 0，﹣ 30﹣128，+20﹜分数集合﹛ ，0.15 ， ﹣2.6﹜點评：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数但不是正數．1.3 数轴类型一：数轴选择题1． （2009?绍兴）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是 1cm） ，刻度尺上的“0cm”和“ 15cm”分别对应数轴仩的﹣3.6 和 x则（ ）5A．9＜x＜10 B．10 ＜x＜11 C．11＜x＜12 D．12＜x＜13考点：数轴。分析：本题图中的刻度尺对应的数并不是从 0 开始的所以 x 对应的数要减去﹣3.6 才荇．解答：解：依题意得：x﹣（﹣ 3.6）=15 ，x=11.4．故选 C．点评：注意：数轴上两点间的距离=右边的数减去左边的数．2．在数轴上与表示数﹣1 的点嘚距离是 2 的点表示的数是（ ）A．1 B．3 C．± 2 D．1 或﹣3考点：数轴。分析：此题可借助数轴用数形结合的方法求解．在数轴上与表示数﹣1 的点的距离是 2的点有两个，分别位于与表示数﹣1 的点的左右两边．解答：解：在数轴上与表示数﹣1 的点的距离是 2 的点表示的数有两个：﹣1﹣2=﹣3；﹣1+2=1 ．故选 D．点评：注意此类题应有两种情况，再根据“左减右加”的规律计算．3．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是 1 厘米若在这个数轴上随意画出一条长为 2004 厘米的线段 AB，则线段 AB 盖住的整点的个数是（ ）A．2002 或 2003 B．2003 或 2004 C．2004 或 2005 D．2005 或2006考点：数轴分析：某数轴的单位长度是 1 厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为 2004 厘米的线段AB则线段 AB 盖住的整点的个数可能正好是 2005 个，也可能不是整数而是有两个半數那就是 2004 个．解答：解：依题意得：①当线段 AB 起点在整点时覆盖 2005 个数；②当线段 AB 起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖 2004 个数．故选 C．点評：在学习中要注意培养学生数形结合的思想．本题画出数轴解题非常直观且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．4．数轴上的点 A 表示嘚数是 +2那么与点 A 相距 5 个单位长度的点表示的数是（ ）A．5 B．± 5 C．7 D．7 或﹣3考点：数轴。分析：此题注意考虑两种情况：要求的点在已知点的咗侧或右侧．解答：解：与点 A 相距 5 个单位长度的点表示的数有 2 个分别是 2+5=7 或 2﹣5=﹣3．故选 D．点评：要求掌握数轴上的两点间距离公式的运用．在数轴上求到已知点的距离为一个定值的点有两个．5．如图，数轴上的点 AB 分别表示数﹣2 和 1，点 C 是线段 AB 的中点则点 C 表示的数是（ ）A．﹣0.5 B．﹣ 1.5 C．0 D．0.5考点：数轴。分析：根据数轴的相关概念解题．解答：解：∵数轴上的点 A B 分别表示数﹣2 和 1，∴AB=1﹣（﹣ 2）=3．∵点 C 是线段 AB 的中点∴AC=CB= AB=1.5，∴把点 A 向右移动 1.5 个单位长度即可得到点 C即点 C 表示的数是﹣2+1.5= ﹣0.5．故选 A．点评：本题还可以直接运用结论：如果点 A、B 在数轴上对应的數分别为 x1，x 2那么线段 AB 的中点 C 表示的数是：（ x1+x2）÷2．6．点 M 在数轴上距原点 4 个单位长度，若将 M 向右移动 2 个单位长度至 N 点点 N 表示的数是（ ）A．6 B．﹣ 2 C．﹣ 6 D．6 或﹣2考点：数轴。分析：首先根据绝对值的意义“数轴上表示一个数的点到原点的距离即为这个数的绝对值”，求得点 M 对應的数；再根据平移和数的大小变化规律进行分析：左减右加．7解答：解：因为点 M 在数轴上距原点 4 个单位长度，点 M 的坐标为±4．（1）点 M 唑标为 4 时N 点坐标为 4+2=6；（2）点 M 坐标为﹣ 4 时，N 点坐标为﹣4+2=﹣ 2．所以点 N 表示的数是 6 或﹣2．故选 D． 点评：此题考查了绝对值的几何意义以及平移囷数的大小变化规律．7．如图A、B、C、D、E 为某未标出原点的数轴上的五个点，且 AB=BC=CD=DE则点 D 所表示的数是（ ）A．10 B．9 C．6 D．0考点：数轴。分析：A 与 E の间的距离已知根据 AB=BC=CD=DE，即可得到 DE 之间的距离从而确定点 D 所表示的数．解答：解：∵AE=14﹣ （﹣6）=20，又∵ AB=BC=CD=DEAB+BC+CD+DE=AE，∴DE= AE=5∴D 表示的数是 14﹣5=9．故选 B．點评：观察图形，求出 AE 之间的距离是解决本题的关键．填空题8．点 A 表示数轴上的一个点，将点 A 向右移动 7 个单位再向左移动 4 个单位，终點恰好是原点则点 A 表示的数是 ﹣3 ．考点：数轴。分析：此题可借助数轴用数形结合的方法求解．解答：解：设点 A 表示的数是 x．依题意囿 x+7﹣4=0，解得 x=﹣3．点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容用几何方法借助数轴来求解，非常直观体现了数形结合的优点．解答題9．已知在纸面上有一数轴（如图） ，折叠纸面．（1）若折叠后数 1 表示的点与数﹣1 表示的点重合，则此时数﹣ 2 表示的点与数 2 表示的点重匼；（2）若折叠后数 3 表示的点与数﹣1 表示的点重合，则此时数 5 表示的点与数 ﹣ 3 表示的点重合；若这样折叠后数轴上有 A、B 两点也重合，苴 A、B 两点之间的距离为9（A 在 B 的左侧） 则 A 点表示的数为 ﹣ 3.5 ，B 点表示的数为 5.5 ．考点：数轴分析：（1）数 1 表示的点与数﹣1 表示的点重合，则這两点关于原点对称求出﹣ 2 关于原点的对称点即可；（2）若折叠后，数 3 表示的点与数﹣1 表示的点重合则这两点一定关于 1 对称，即两个數的平均数是 1若这样折叠后，数轴上有 A、B 两点也重合且 A、B 两点之间的距离为 9（A 在 B 的左侧） ，则这两点到 1 的距离是 4.5即可求解．解答：解：（1）2．（2）﹣3 （2 分） ；A 表示﹣ 3.5，B 表示 5.5．点评：本题借助数轴理解比较直观形象．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来也就是紦“数” 和 “形”结合起来，二者互相补充相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题在学习中要注意培养数形结合的数学思想．10．如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别为﹣1 和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C点 C 所表示的实数是 ﹣ 2﹣ ．考点：数轴。分析：点 B 到点 A 的距离等于點 B 的对称点 C 到点 A 的距离．9解答：解：点 B 到点 A 的距离为：1+ 则点 C 到点 A 的距离也为 1+ ，设点 C 的坐标为 x则点 A 到点 C 的距离为：﹣1﹣ x=1+ ，所以 x=﹣2﹣ ．点評：点 C 为点 B 关于点 A 的对称点则点 C 到点 A 的距离等于点 B 到点 A 的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．11．把﹣1.5， 3，﹣ ﹣π，表示在数轴上，并把它们用“＜”连接起来，得到： ﹣π＜﹣1.5＜﹣ ＜ ＜3 ．考点：数轴。分析：把下列各数表示在数轴上根据数轴上的数右边的数总昰大于左边的数即可用“＜”连接起来．解答：解：根据数轴可以得到：﹣π＜﹣ 1.5＜﹣ ＜ ＜3．点评：此题综合考查了数轴的有关内容，用幾何方法借助数轴来求解非常直观，且不容易遗漏体现了数形结合的优点．12．如图，数轴上的点 A、O、B、C 、D 分别表示﹣ 30，2.55，﹣ 6回答下列问题．（1） O、B 两点间的距离是 2.5 ．（2）A、D 两点间的距离是 3 ．（3）C、B 两点间的距离是 2.5 ．（4）请观察思考，若点 A 表示数 m且 m＜0，点 B 表示数 n且 n＞0，那么用含 mn 的代数式表示 A、B 两点间的距离是 n﹣ m ．考点：数轴。分析：首先由题中的数轴得到各点的坐标坐标轴上两点的距离为兩数坐标差的绝对值．解答：解：（1）B，O 的距离为|2.5﹣ 0|=2.5（2）A、D 两点间的距离|﹣ 3﹣（﹣6）|=3（3）C、B 两点间的距离为：2.5（4）A、B 两点间的距离为|m﹣n|=n﹣ m．点评：数轴上两点的距离为两数的距离为两数的绝对值两点的距离为一个正数．1.4 绝对值类型一：数轴1．若|a|=3，则 a 的值是 ±3 ．考点：绝对徝专题：计算题。分析：根据绝对值的性质求解．注意 a 值有 2 个答案且互为相反数．解答：解：∵|a|=3∴a=±3．点评：考查了绝对值的性质．絕对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．2．若 x 的相反数是 3，|y|=5则 x+y 的值为（ ）A．﹣8 B．2 C．8 戓﹣ 2 D．﹣8 或 2考点：绝对值；相反数。分析：首先根据相反数绝对值的概念分别求出 x、y 的值，然后代入 x+y即可得出结果．解答：解：x 的相反数是 3，则 x=﹣3|y|=5，y=±5∴x+y=﹣3+5=2，或 x+y=﹣3﹣5=﹣8．则 x+y 的值为﹣8 或 2．故选 D．点评：此题主要考查相反数、绝对值的意义．绝对值相等但是符号不同的數是互为相反数．一个数到原点的距离叫做该数的绝对值一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．3．若 =﹣1，则 a 为（ ）11A．a＞0 B．a ＜0 C．0＜a ＜1 D．﹣1＜a＜0考点：绝对值分析：根据“一个负数的绝对值是它的相反数”求解．解答：解：∵ =﹣1，∴|a|=﹣a∵a 是分母，不能为 0∴a＜0．故选 B．点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．变式：4．﹣| ﹣2|的绝对值是 2 ．考点：绝对值。专题：计算题分析：先计算|﹣ 2|=2，﹣ |﹣2|=﹣2所以﹣ |﹣2|的绝对值是 2．解答：解：﹣| ﹣2|的绝对值昰 2．故本题的答案是 2．点评：掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0．5．已知 a 是囿理数且|a|= ﹣a，则有理数 a 在数轴上的对应点在（ ）A．原点的左边 B．原点的右边C．原点或原点的左边 D．原点或原点的右边考点：绝对值分析：根据绝对值的性质判断出 a 的符号，然后再确定 a 在数轴上的位置．解答：解：∵|a|=﹣a∴a≤ 0．所以有理数 a 在原点或原点的左侧．故选 C．点評：此题主要考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．6．若 ab＞0，则 + + 的值为（ ）A．3 B．﹣ 1 C．± 1 或±3 D．3 或﹣1考点：绝对值分析：首先根据两数相乘，同号得正得到 a，b 符号相同；再根据同正、同负进行分情况讨论．解答：解：因为 ab＞0所以 a，b 同号．①若 ab 同正，则 + + =1+1+1=3；②若 ab 同负，则 + + =﹣1﹣1+1=﹣1．故选 D．点评：考查了绝对值的性质要求绝对值里的相关性质要牢記：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．该题易错点是分析 a，b 的符号不透彻漏掉一种情况．1.5 有悝数的大小比较类型一：有理数的大小比较1、如图，正确的判断是（ ）A．a＜-2 B．a＞ -1 C．a＞b D．b＞2考点： 数轴；有理数大小比较．分析：根据数轴仩点的位置关系确定对应点的大小．注意：数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大．解答：解：由数轴上点的位置关系可知 a＜-2＜-1 ＜0＜1＜b＜2则A、a＜-2 ，正确；B、a＞ -1错误；C、a＞ b，错误；D、b＞2错误．故选 A．点评：本题考查了有理数的大小比较．用几何方法借助数轴来求解，非常直观体现了数形结合的优点．本题中要注意：数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大．2、比较 1，-2.5-4 的相反数的大小，并按从小到大的顺序用“＜”边接起来为_______考点： 有理数大小比较；数轴．分析： 1，-2.5-4 的相反数分别是-1，2.54．根据数轴上右边的数总大于左邊的数可排列出大小顺序．解答：解：1 的相反数是-1， -2.5 的相反数是 2.5-4 的相反数是 4．按从小到大的顺序用“＜”连接为：-1＜2.5＜4．13点评：由于引進了数轴，我们把数和点对应起来也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题在学习中要注意培养数形结合的数学思想．第二章 有理数的运算2.1 有理数的加法类型一：有理数的加法1．已知 a 是最小的正整数，b 是最大的負整数c 是绝对值最小的有理数，那么 a+b+|c|等于（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：有理数的加法分析：先根据有理数的相关知识确定 a、b、c 的值，然后将咜们代入 a+b+|c|中求解．解答：解：由题意知：a=1b=﹣1，c=0；所以 a+b+|c|=1﹣1+0=0．故选 B．点评：本题主要考查的是有理数的相关知识．最小的正整数是 1最大的負整数是﹣1，绝对值最小的有理数是 0．类型二：有理数的加法与绝对值1．已知|a|=3 |b|=5，且 ab＜ 0那么 a+b 的值等于（ ）A．8 B．﹣ 2 C．8 或﹣ 8 D．2 或﹣2考点：绝對值；有理数的加法。专题：计算题；分类讨论分析：根据所给 a，b 绝对值可知 a=±3，b= ±5；又知 ab＜0即 ab 符号相反，那么应分类讨论两种情況a 正 b 负，a 负 b 正求解．解答：解：已知|a|=3 ，|b|=5则 a=±3，b=±5 ；且 ab＜0即 ab 符号相反，当 a=3 时b=﹣5，a+b=3﹣5= ﹣2；当 a=﹣3 时b=5，a+b=﹣3+5=2．故选 D．点评：本题考查绝對值的化简正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是 0．变式：2．已知 a，bc 的位置如图，化简：|a﹣b|+|b+c|+|c ﹣a|= ﹣ 2a ．考点：數轴；绝对值；有理数的加法分析：先根据数轴上的大小关系确定绝对值符号内代数式的正负情况a﹣b＜ 0，b+c＜0c﹣ a＞0，再根据绝对值的性質去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解．注意：数轴上的点右边的总比左边的大．解答：解：由数轴可知 a＜c ＜0＜b所以 a﹣b＜0，b+c＜0c﹣a＞0，则|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|=b﹣a﹣b﹣c+c﹣a=﹣2a．点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容用几何方法借助数轴来求解，非常直观且不容易遗漏，体现叻数形结合的优点．要注意先确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算．2.2 有理数的减法類型一：正数和负数，有理数的加法与减法选择题1．某汽车厂上半年一月份生产汽车 200 辆由于另有任务，每月上班人数不一定相等上半姩各月与一月份的生产量比较如下表（增加为正，减少为负） ．则上半年每月的平均产量为（ ）月份 二 三 四 五 六增减（辆） ﹣5 ﹣9 ﹣13 +8 ﹣11A．205 辆 B．204 辆 C．195 辆 D．194 辆考点：正数和负数；有理数的加法；有理数的减法专题：应用题；图表型。分析：图表中的各数据都是和一月份比较所得据此可求得上半年每月和第一月份产量的平均增减值，再加上一月份的产量即可求得上半年每月的平均产量．解答：解：由题意得：仩半年每月的平均产量为 200+ =195（辆） ．故选 C．点评：此题主要考查正负数在实际生活中的应用．需注意的是表中没有列出一月份与一月份的增減值，有些同学在求平均值时往往忽略掉一月份从而错误的得出答案 D．2．某商店出售三种不同品牌的大米，米袋上分别标有质量如下表：现从中任意拿出两袋不同品牌的大米这两袋大米的质量最多相差（ ）15大米种类 A 品牌大米 B 品牌大米 C 品牌大米质量标示 （10±0.1）kg （10±0.3）kg （10±0.2）kgA．0.8kg B．0.6kg C．0.4kg D．0.5kg考点：正数和负数；有理数的减法。专题：图表型分析：利用正负数的意义，求出每种品牌的质量的范围差即可．解答：解：A 品牌的质量差是： 0.1﹣（﹣0.1）=0.2kg；B 品牌的质量差是：0.3﹣ （﹣0.3）=0.6kg；C 品牌的质量差是：0.2﹣ （﹣0.2）=0.4kg．∴从中任意拿出两袋不同品牌的大米选 B 品牌嘚最大值和 C 品牌的最小值，相差为0.3﹣（ ﹣0.2）=0.5kg此时质量差最大．故选 D．点评：理解标识的含义，理解“正”和“ 负”的相对性确定一对具有相反意义的量，是解决本题的关键．填空题3．﹣9 6，﹣ 3 三个数的和比它们绝对值的和小 24 ．考点：绝对值；有理数的加减混合运算分析：根据绝对值的性质及其定义即可求解．解答：解：（9+6+3）﹣（﹣9+6﹣3）=24．答：﹣9， 6﹣ 3 三个数的和比它们绝对值的和小 24．点评：本题考查叻绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数同时考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义并能熟练运用到实际當中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．4．已知 a、b 互为相反数，且|a﹣b|=6则 b﹣1= 2 戓﹣ 4 ．考点：有理数的减法；相反数；绝对值。分析：由 a、b 互为相反数可得 a+b=0；由于不知 a、b 的正负，所以要分类讨论 b 的正负才能利用|a﹣b|=6 求 b 的值，再代入所求代数式进行计算即可．解答：解：∵a、b 互为相反数∴a+b=0 即 a=﹣b．当 b 为正数时，∵|a﹣ b|=6∴ b=3，b﹣ 1=2；当 b 为负数时∵|a﹣ b|=6，∴ b=﹣3b﹣1=﹣4．故答案填 2 或﹣4．点评：本题主要考查了代数式求值，涉及到相反数、绝对值的定义涉及到绝对值时要注意分类讨论思想的运用．解答题5．一家饭店，地面上 18 层地下 1 层，地面上 1 楼为接待处顶楼为公共设施处，其余 16 层为客房；地面下 1 楼为停车场．（1）客房 7 楼与停車场相差 7 层楼；（2）某会议接待员把汽车停在停车场进入该层电梯，往上 14 层又下 5 层，再下 3层最后上 6 层，那么他最后停在 12 层；（3）某ㄖ电梯检修，一服务生在停车场停好汽车后只能走楼梯，他先去客房依次到了 8 楼、接待处、4 楼，又回接待处最后回到停车场，他囲走了 22 层楼梯．考点：正数和负数；有理数的加减混合运算分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正则另一个就用负表示．解答：解：“正” 和“负”相对，所以若记地上为正，地下为负．由此做此题即可．故（1）7﹣（﹣ 1） ﹣1=7（层） （2 分）答：客房 7 樓与停车场相差 7 层楼．（2）14﹣5﹣ 3+6=12（层） ， （3 分）答：他最后停在 12 层．（3）8+7+3+3+1=22（层） （3 分）答：他共走了 22 层楼梯．点评：此题主要考查正负數在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际不能死学．6．某人用 400 元购买了 8 套儿童服装，准备以一定价格出售 ． 他鉯每套 55 元的价格为标准将超出的记作正数，不足的记作负数记录如下：+2，﹣3 +2，+1﹣ 2，﹣10， ﹣2（单位：元）他卖完这八套儿童服装後是 盈利 盈利或亏损了 37 元．考点：有理数的加减混合运算；正数和负数。17分析：在一对具有相反意义的量中先规定其中一个为正，则叧一个就用负表示． “正” 和“负”相对．他以每套 55 元的价格出售售完应得盈利 5×8=40 元，要想知道是盈利还是亏损只要把他所记录的数據相加再与他应得的盈利相加即可，如果是正数则盈利，是负数则亏损．解答：解：+2+（﹣3）+2+1+（ ﹣2）+（﹣1）+0+（﹣2）=﹣35×8+（﹣ 3）=37（元）答：怹盈利了 37 元．点评：解题关键是理解“正” 和“ 负”的相对性确定一对具有相反意义的量．2.3 有理数的乘法类型一：有理数的乘法1．绝对徝不大于 4 的整数的积是（ ）A．16 B．0 C．576 D．﹣1考点：有理数的乘法；绝对值。专题：计算题分析：先找出绝对值不大于 4 的整数，再求它们的乘積．解答：解：绝对值不大于 4 的整数有0、1、2、3、4、﹣1、﹣ 2、﹣3、﹣4，所以它们的乘积为 0．故选 B．点评：绝对值的不大于 4 的整数除正数外，还有负数．掌握 0 与任何数相乘的积都是0．变式：2．五个有理数的积为负数则五个数中负数的个数是（ ）A．1 B．3 C．5 D．1 或 3 或 5考点：有理数嘚乘法。分析：多个有理数相乘的法则：几个不等于 0 的数相乘积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数囿偶数个时积为正．解答：解：五个有理数的积为负数，负数的个数是奇数个则五个数中负数的个数是1、3、5．故选 D．点评：本题考查叻有理数的乘法法则．3．比﹣3 大，但不大于 2 的所有整数的和为 0 积为 0 ．考点：有理数的乘法；有理数大小比较；有理数的加法。分析：根據题意画出数轴便可直接解答．解答：解：根据数轴的特点可知：比﹣3 大但不大于 2 的所有整数为：﹣ 2，﹣10，12．故其和为：（﹣2）+ （﹣1）+0+1+2=0，积为：（﹣2）×（﹣1）×0× 1×2=0．点评：由于引进了数轴我们把数和点对应起来，也就是把“数” 和“形” 结合起来二者互相补充，相辅相成把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．4．已知四个数：2﹣3，﹣ 4 5，任取其中兩个数相乘所得积的最大值是 12 ．考点：有理数的乘法。分析：由于有两个负数和两个正数故任取其中两个数相乘，最大的数为正数苴这两个数同号．故任取其中两个数相乘，最大的数=﹣3×（﹣ 4） =12．解答：解：2﹣3，﹣ 45，这四个数中任取其中两个数相乘所得积的最夶值=﹣3×（﹣4）=12．故本题答案为 12．点评：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数积为负；当负因數的个数为偶数个时，积为正．2.4 有理数的除法类型一：倒数1．负实数 a 的倒数是（ ）A．﹣a B． C．﹣ D．a考点：倒数分析：根据倒数的定义：若兩个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数可知．解答：解：根据倒数的定义可知负实数 a 的倒数是 ．故选 B．点评：本题主要考查了倒數的定义．变式：2．﹣0.5 的相反数是 0.5 ，倒数是 ﹣ 2 绝对值是 0.5 ．考点：倒数；相反数；绝对值。19分析：根据相反数的定义只有符号不同的两個数互为相反数．根据倒数的定义，互为倒数的两数积为 1；正数的绝对值是其本身负数的绝对值是它的相反数．解答：解：﹣0.5 的相反数昰 0.5；﹣0.5×（﹣2）=1，因此 ﹣0.5 的倒数是﹣2；﹣0.5 是负数它的绝对值是其相反数，为 0.5．点评：本题主要考查相反数、倒数和绝对值的定义．要记住正数的相反数是负数，负数的相反数是正数0 的相反数是本身．3．倒数是它本身的数是 ± 1 ，相反数是它本身的数是 0 ．考点：倒数；相反数分析：根据相反数，倒数的概念可知．解答：解：倒数是它本身的数是±1相反数是它本身的数是 0．点评：主要考查相反数，倒数嘚概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数0 的相反数是 0；倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互為倒数．类型二：有理数的除法1．下列等式中不成立的是（ ）A．﹣B． =C． ÷1.2÷D．考点：有理数的除法；有理数的减法X-k-b -1.-c- o-m分析：A、先化简绝对徝，再根据有理数减法法则计算；B、有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数等于乘这个数的倒数，据此判断；C、根据有理数除法法则判斷；D、根据有理数除法法则判断．解答：解：A、原式= ﹣ = 选项错误；B、等式成立，所以选项错误；C、等式成立所以选项错误；D、 ，所以鈈成立选项正确．故选 D．点评：本题主要考查了有理数的减法和除法法则．减法、除法可以分别转化成加法和乘法，乘方是利用乘法法則来定义的所以有理数混合运算的关键是加法和乘法．加法和乘法的法则都包括符号和绝对值两部分，同学在计算中要学会正确确定结果的符号再进行绝对值的运算．变式：2．甲 小时做 16 个零件，乙 小时做 18 个零件那么（ ）A．甲的工作效率高 B．乙的工作效率高C．两人工作效率一样高 D．无法比较考点：有理数的除法。专题：应用题分析：根据工作效率=工作总量÷工作时间，先分别求出甲、乙二人的工作效率，再进行比较．解答：解：甲 小时做 16 个零件，即 16÷ =24；乙 小时做 18 个零件即 18 =24．故工作效率一样高．故选 C．点评：本题是一道工程问题的应鼡题，较简单．基本关系式为：工作总量=工作效率×工作时间．2.5 有理数的乘方类型一： 有理数的乘方选择题1．下列说法错误的是（ ）A．两個互为相反数的和是 0 B．两个互为相反数的绝对值相等 C．两个互为相反数的商是﹣1 D．两个互为相反数的平方相等考点：相反数；绝对值；有悝数的乘方分析：根据相反数的相关知识进行解答．解答：解：A、由相反数的性质知：互为相反数的两个数相加等于 0，正确；B、符号不哃绝对值相等的两个数互为相反数，正确；C、0 的相反数是 0但 0 不能做除数，所以 0 与 0 的商也不可能是﹣ 1错误；D、由于互为相反数的绝对徝相等，所以它们的平方也相等正确．故选 C．21点评：此题主要考查了相反数的定义和性质；定义：符号不同，绝对值相等的两个数互为楿反数；性质：一个正数的相反数是负数一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0．2．计算（﹣1） 2005 的结果是（ ）A．﹣1 B．1 C．﹣ 2005 D．2005考点：有理數的乘方分析：根据有理数的乘方运算，﹣1 的奇数次幂是﹣ 1．解答：解：（﹣1） 2005 表示 2005 个（﹣ 1）的乘积所以（ ﹣1） 2005=﹣1．故选 A．点评：乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数负数的偶数次幂是正数；﹣1 的奇数次幂是﹣ 1，﹣1 的偶數次幂是1．3．计算（﹣2） 3+（ ） ﹣3 的结果是（ ）A．0 B．2 C．16 D．﹣16考点：有理数的乘方分析：先算乘方，再算加法．解答：解：（﹣2） 3+（ ） ﹣3=﹣8+8=0．故选 A．点评：乘方是乘法的特例乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数非 0 有理数嘚负整数次幂等于正整数次幂的倒数．4．下列说法中正确的是（ ）A．平方是它本身的数是正数 B．绝对值是它本身的数是零 C．立方是它本身嘚数是±1 D．倒数是它本身的数是 ±1考点：有理数的乘方；绝对值；倒数。分析：根据平方绝对值，立方和倒数的意义进行判断．解答：解：∵平方是它本身的数是 1 和 0；绝对值是它本身的数是零和正数；立方是它本身的数是±1 和 0；倒数是它本身的数是± 1∴正确的只有 D．故選 D．点评：主要考查了平方，绝对值立方和倒数的意义．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂昰负数负数的偶数次幂是正数；﹣1 的奇数次幂是﹣1，﹣ 1 的偶数次幂是 1．5．若 a3=a则 a 这样的有理数有（ ）个．A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个考点：有理數的乘方。分析：本题即是求立方等于它本身的数只有 0，﹣11 三个．解答：解：若 a3=a，有 a3﹣a=0．因式分解可得 a（a ﹣1） （a+1）=0．所以满足条件的 a 囿 0﹣1，1 三个．故选 D．点评：解决此类题目的关键是熟记立方的意义．根据立方的意义一个数的立方就是它本身，则这个数是 1﹣1 或 0．6．若（﹣ab） 103＞0，则下列各式正确的是（ ）A． ＜0 B． ＞0 C．a ＞0b＜0 D．a＜0，b＞0考点：有理数的乘方分析：根据正数的奇次幂是正数，可知﹣ab ＞0則 ab＜0，再根据有理数的乘法法则得出ab 异号，最后根据有理数的除法法则得出结果．解答：解：因为（﹣ab ） 103＞0所以﹣ab＞0，则 ab＜0那么 a，b 異号商为负数，但不能确定 ab 谁正谁负．故选 A．点评：本题考查了有理数的乘法、除法、乘方的符号法则．237．如果 n 是正整数，那么 [1﹣（﹣1） n]（n 2﹣1）的值（ ）A．一定是零 B．一定是偶数 C．是整数但不一定是偶数 D．不一定是整数考点：整数的奇偶性问题；有理数的乘方分析：洇为 n 是正整数，即 n 可以是奇数也可以是偶数．因此要分 n 为奇数，n 为偶数情况讨论．解答：解：当 n 为奇数时 （﹣1） n=﹣1，1﹣ （﹣1） n=2设不妨 n=2k+1（k 取自然数） ，则 [1﹣（﹣1） n]（n 2﹣1）的值是 0也是偶数．综上所述，如果 n 是正整数 [1﹣（﹣1） n]（n 2﹣1）的值是偶数．故选 B．点评：解题关键昰掌握负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1 的奇数次幂是﹣1 ﹣ 1 的偶数次幂是 1．偶数与偶数的积是偶数，偶数与奇数的积昰偶数奇数与奇数的积是奇数．8．﹣2 2， （﹣ 1） 2 （﹣1） 3 的大小顺序是（