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由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中，并且线性代数也是是理工类、经管类数学课程的重要内容。在考研中的比重也占到22%左右，既然线性代数知识如此重要，小编也为特地收录了这部由吉林大学名师主讲的关于线性代数的精品教程供您学习参考。
线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间(或称线性空间)，线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题;因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量(即 n 元组)用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的&有序&列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值(GNP)。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。
作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间(线性空间)属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有： 不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。
向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间(也可以是同一个线性空间)，保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究(包括行列式和特征向量)也被认为是线性代数的一部分。
我们可以简单地说数学中的线性问题&&-那些表现出线性的问题&&是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它(必要时可使用矩阵运算)的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。
线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。
吉林大学坐落在吉林省省是教育部直性全国重点大学，1995年首批通过国家教委&211工程&审批，2001年被列入&985工程&国家重点建设的大学之一。学校师资力量雄厚，有教师6360人，其中教授1298人 ，博士生指导教师740人。有中国科学院和中国工程院院士20人( 双聘7人) ，国务院学位委员会委员2人，国务院学位委员会学科评议组成员16人，中央马克思主义理论研究和建设工程项目首席专家4人，国家&973&项目首席科学家2人，国家有突出贡献的中青年专家14人，国家杰出青年基金获得者20人，教育部&长江学者奖励计划&特聘教授18人。 学校拥有190个具有现代化研究手段的实验室，其中教育部人文社会科学重点研究基地6个，&985工程&二期建设哲学社会科学创新基地5个，&985工程&二期建设科技创新平台8个，国室5个实验室10委重点。学校承担了大量国家级和省部级科研项目，有一批 产业化前景好、技术含量高的国家攻关项目、&863&项目、&973&项目等高新技术成果。
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重庆大学线性代数答案.doc 14页
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习题一解答
填空 （3）设有行列式含因子的项为
（5）设，的根为
解：根据课本第23页例8得到
（6）设是方程的三个根，则行列式=
解：根据条件，比较系数得到，
；再根据条件，，；
（7）设 ，则=
解：相当于中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.
（8）设，则=
将按第四列展开得到=，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以=0.
因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：
行列式的变换和行列式的变换完全相同，同样假设行列式变成
或将的第列连续经过次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第列连续经过次对换而成为第2列，如此下去，第列连续经过次对换而成为第列，共经过次列对换而变成，所以=。
7、计算下列行列式：
（1）， （2）其中
（4）（5）
解（1）第2行、第3行…、第和第行全加到第1行后，第1行提出得
（4）将按第一行展开
（5）+，其中
习题二解答
设，求为正整数）
解 记，则，
20题 设，，为正整数，证明
因为，，所以
21题设，，，求。
因为，=，，所以
23、填空选择题：（1）为阶方阵，为其伴随阵，，则
解 因,所以,
（7）设均为阶方阵，可逆，则可逆，且=
解法一：题目只说均为阶方阵，没有说可逆，于是全错.
解法二： 因可逆，设其逆矩阵为，则，于是.因为
所以可逆，且=
24、设，（为正整数），证明.
推论：设均为阶方阵，若，则，
26、设均为阶方阵，且，，证明 可逆，并求其逆.
由得，代入得到=，于是
，，所以可逆，
27、若对任意的矩阵，均有=0，证明必为零矩阵.
=，因为对任意的矩阵，均有=0，于是分别取=、、…，代入=0得到，，，….所以
28、设为阶方阵，证明的充分必要条件是.
若，则；反过来
则，，…，，于是
习题三解答
第97页2选择题（4）设线性相关，线性无关，则（
线性相关.线性无关.
能由线性表示.能由线性表示.
因为线性相关，所以线性相关，又因为线性无关；
于是能由线性表示.答：
（5）设向量能由向量组线性表示但不能由向量组（Ι）：
线性表示，记向量组（Ⅱ）：，则（
不能由（Ι）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示，
不能由（Ι）线性表示，但能由（Ⅱ）线性表示，
能由（Ι）线性表示，也能由（Ⅱ）线性表示
能由（Ι）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示.
因为向量能由向量组线性表示，所以存在，使=++；因为不能由向量组线性表示，于是，=++，即能由（Ⅱ）线性表示.
假若能由（Ι）线性表示，则存在，使=++
代入=++得到能由（Ι）线性表示.矛盾，故选择
7、设向量能由向量组线性表示，且表示唯一，证明线性无关.
因为向量能由向量组线性表示，即=++
（1）+（2）得
表示唯一得到
，，，于是全为零，故
8、设向量组线性相关，线性无关，证明：
（1）能由线性表示；（2）不能由线性表示
证（1）因为线性无关，所以线性无关，而线性相关，故能由线性表示，即存在使=+；
（2）假若能由线性表示，则存在，使=++；
将=+代入=++得到能由线性表示，于是线性相关，与条件线性无关矛盾.故不能由线性表示.
12、设维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，证明向量组线性无关.
证 因为维向量组能由单位坐标向量组线性表示，根据条件向量组与向量组等价.向量组的秩为.故向量组的秩为，因此向量组线性无关.
13、设是维向量组，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都能由它们线性表示.
设线性无关，为任一维向量. 向量组，一定线性相关，
于是能由线性表示；
若任一维向量都能由线性表示，则维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，根据第12题向量组线性无关.
14、设向量组（Ι）：的秩为，向量组（Ⅱ）：的秩为，
向量组（Ⅲ）：，的秩为，证明.
证不妨设向量组（Ι）的最大线性无关组为，向量组（Ⅱ）的最大线性无关组为.向量组（Ι）能由其最大线性无关组线性表示，向量组（Ⅱ）能由其最大线性无关组线性表示，于是向量组（Ⅲ）能由向量
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