一点五的六年级倒数的认识课件除以六分之五与零点三的差商是多少
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时间：2018-02-23 01:52
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用中点差商公式
计算在x=2处的一阶导数的近似值．取h=0.5，0.05，0.005，0.05，观测计算结
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用中点差商公式&&&(6.36)&&计算在x=2处的一阶导数的近似值．取h=0.5，0.05，0.005，0.05，观测计算结果，解释所发生的现象．设计高精度的算法，并重新计算．
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1根据f(x)=tanx的数值表(表6.3)用中点公式计算f'(1.4)的近似值，并估计误差，同时把结果和精确值比较．&&表6.3x1.361.381.401.421.44f(x)4.6734415.1774375.7978846.5811197.6018262证明数值微分公式&&&(6.44)&&对任意4次多项式精确成立，进一步求出微分公式的余项．3设f(x)∈C4[x0-h，x0+h]，证明&&&ξ∈(x0-h，x0+h)．4验证数值微分公式&&&&-30f(x0)+16f(x0+h)-f(x0+2h)]&(6.50)&&对5次多项式精确成立．进一步求出微分公式的余项．
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确认密码：一点五的倒数除以六分之五与零点三的差商是多少佳佳把一个非零自然数同他本身相加相减相除所得的和差商加起来正好等于145
根据除法的意义可知，如果一个数（0除外）除以带小数时，商一定小于被除数，当一个数（0除外）除以一个纯小数，则商一定大于被除数．所以一个数（0）除以小数，商不一定小于这个数．故答案为：×．
对的很高兴为您解答,【学习宝典】团队为您答题.请点击下面的【选为满意回答】按钮. 再问： 为什么是对的？ 再答： 这是数上的定义啊，而且自然数不能等于0，条件都满足了，所以是对的！再问： a=1的话，一分之一也行吗？ 再答： 行，1的倒数就是1本身！再问： 我明白了，谢谢。 再答： 明白请采纳！
除数是一个假分数，假分数≥1，即除数≥1；当除数=1时，商等于这个自然数，当除数＞1，商小于这个自然数；所以一个非零自然数除以一个假分数，商小于或等于这个自然数．故答案为：×．
将7920分解质因数：7920 = 2^4×3^2×5×11 ,因为,质因数 2 和 3 的指数是偶数,可以形成平方数；所以,只需要将 5 和 11 的指数配成偶数即可；可得：A的最小值是 5×11 = 55 .
420＝2＊2＊3＊5＊7,a最小是3＊5＊7＝105
应该是12015跟40的最小公倍数
（1）一个非零自然数除以带分数,商比这个自然数要小.（√ ） （2）将3分之2：6分之1化简成最简整数比是4 （×） （3）有一堆煤,如果每天烧10分之1吨,这堆煤一定可烧10天.（ ×）（4）苹果比橘子多5分之2.,就是橘子比苹果少5分之1 （ × ）（5）一个数的4分之1是4,这个数是16 （ √ ）
一个非零自然数×它的倒数=1（一定），是乘积一定，所以一个非零自然数和它的倒数成反比例．故判断为：正确．
n是一个非零自然数,与n相邻的两个自然数是（ n－1 ）和（ n＋1 ）.这三个自然数的和是(3n )
分子大于或者等于分母的分数叫假分数,假分数大于1或等于1因此n=5或6
240=16*15=42*15所以a,b最小值都是15.240*15=/15=16=42
即求15和40的最小公倍数,A是120.
15和40的最小公倍数 120
15×40÷5=120
对 任何非0自然数和它倒数的积都是1 也就是积一定 所以一个非零自然数和它的倒数成反比例（小学人教版六年级数学吧?）
不对.1也是自然数,它的倒数还是1,不是真分数.
一个非零自然数乘（1）时,积是它自己；乘（小于1）时,积小于它自己；乘（大于1）时,积大于它自己.
选b,因为乘以五分之一相当于除以五,也就是把它平均分成五份一点五的倒数除以六分之五与零点三的差商是多少_百度知道
一点五的倒数除以六分之五与零点三的差商是多少
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2/3÷(5/6-3/10)＝5/4
（1÷1.5）÷（5/6-0.3）＝2/3÷16/30＝5/4
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第五章 插值法
第五章 插 值 法第一节 引言 第二节 Lagrange插值 第三节 逐步线性插值 第四节 Newton插值 第五节 Hermite插值 第六节 分段多项式插值 第七节 三次样条插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-1 第一节 引言插值方法是数据处理、函数近似、计算机几何造 型的常用工具；为其它数值方法（数值微积分、非 线性方程数值解、微分方程数值解等）提供重要的 理论基础。SCHOOL OF MATHEMATICS72-2 一、插值问题设 ?0 ( x),?1 ( x), ,?n ( x) 是定义在[a, b]上的n+1个线性 无关的函数， f ( x) 是定义在[a, b]上的函数，x0 , x1 , , xn 是[a, b]中的n+1个互异节点， 已知 yi = f ( xi ), i = 0,1, , n.构造? ( x) = c0?0 ( x) + c1?1 ( x) ++ cn?n ( x)使之满足 ? ( xi ) = f ( xi ), i = 0,1, , n.? 插值函数： ( x) 被插函数：f ( x)插值节点：x0 , x1 , , xn 插值余项：r ( x) = f ( x) ? ? ( x)72-3SCHOOL OF MATHEMATICS 注： 称为多项式插值： 插值函数是多项式函数时， 构造n 次多项式函数 Pn ( x), 使之满足：插值条件：Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, ( xi , yi ) (i = 0,1, , n) , n.插值多项式：Pn ( x) 型值点： 插值余项：r ( x) = f ( x) ? Pn ( x)SCHOOL OF MATHEMATICS72-4 二、插值多项式的存在性和唯一性 定理5.1.1 满足插值条件的多项式存在且唯一．（用Cramer 法则易证，见P118）注：过 n+1 个点可唯一做一条 n 次代数曲线！Pn(x) f(x)x0x1x2SCHOOL OF MATHEMATICSx3x472-5 Lagrange（法）第二节 Lagrange 插值一、 Lagrange 插值多项式 二、 Lagrange 插值余项SCHOOL OF MATHEMATICS72-6 一、 Lagrange插值多项式 设 Pn ( x) = ∑ yi li ( x), 其中 li ( x) 满足：i =0 n?1, i = j , li ( x j ) = ? ?0, i ≠ j.( i = 0,1,, n)则 Pn ( x) 满足插值条件Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, , n.注：li ( x) = ? SCHOOL OF MATHEMATICS 72-7 分析： 由于 x0 , , xi ?1 , xi +1 , , xn 是 li ( x) = 0 的根，设li ( x) = Ai ( x ? x0 ) ( x ? xi ?1 ) ( x ? xi +1 ) ( x ? xn ),又 li ( xi ) = 1, 即Ai ( xi ? x0 ) ( xi ? xi ?1 ) ( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn ) = 1,( xi ? xn ) , 1 ( xi ? xi ?1 ) ( xi ? xi +1 )解得Ai =( xi ? x0 )( x ? x0 ) ( x ? xi ?1 ) ( x ? xi +1 ) ( x ? xn ) . 所以 li ( x) = ( xi ? x0 ) ( xi ? xi ?1 ) ( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn ) SCHOOL OF MATHEMATICS 72-8 定义5.2.1 称 Pn ( x) = ∑ yi li ( x) 为Lagrange 插值多项式．i =0n其中( x ? x0 ) li ( x) = ( xi ? x0 ) ( x ? xi ?1 ) ( x ? xi +1 ) ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 )n x?x ( x ? xn ) j =∏ , ( xi ? xn ) j =0 xi ? x j j ≠i( i = 0,1,, n)称为Lagrange 插值基函数．SCHOOL OF MATHEMATICS72-9 注：记 ωn ( x) =( x ? x0 )( x ? x1 )′ 则 ωn ( xi ) = ( xi ? x0 )( x ? xn ), ( xi ? xn ),( xi ? xi ?1 ) ( xi ? xi +1 )n ωn ( x ) ωn ( x ) , Pn ( x) = ∑ yi 故 li ( x) = ′ ′ ( x ? xi )ωn ( xi ) i = 0 ( x ? xi )ωn ( xi )P120 例5.2.1 P161 Ex1SCHOOL OF MATHEMATICS72-10 二、 Lagrange 插值余项 定理5.2.2 若 f ( x) 在包含插值节点的区间[a, b] 上n+1阶可导，则对 ?x ∈ [a, b], 存在与x 有关的 ξ ∈ (a, b),使得rn ( x) = f ( x) ? Pn ( x) =( n + 1)!ωn ( x )f ( n +1) (ξ ).证： 为插值节点时，结论显然成立！ 当x当 x ≠ xi ( i = 0,1, , n ) 时， 令ωn (t ) F (t ) = f (t ) ? Pn (t ) ? [ f ( x) ? Pn ( x)]. ωn ( x ) SCHOOL OF MATHEMATICS 72-11 显然 F(t) 具有n+1阶导数，且有n+2个零点 x, x0 , x1 , , xn由Rolle定理知，F ′(t ) 至少有n+1个零点，F ′′(t )至少有n个零点，F ( n +1) (t )至少有 1 个零点 ξ , 即F( n +1)(ξ ) = f( n +1)(n + 1)! (ξ ) ? 0 ? [ f ( x) ? Pn ( x)] = 0. ωn ( x )ωωnt( x) ( n +1) n( ) (ξ ). ? P t) ? F (t ) = f (tx))? Pnn(( x) = [ f (fx) ? Pn ( x)]. ω(nn x)1)! (+ 证毕！ SCHOOL OF MATHEMATICS 72-12 推论 若 f ( x) 是次数不超过 n 的多项式函数，则其n 次 Lagrange 插值多项式就是其本身．f ( n +1) (ξ ) = 0. 事实上，f ( x) ? Pn ( x) =( n + 1)!nωn ( x )f ( n +1) (ξ ) = 0 ? Pn ( x) = f ( x).特别的，f (x) ≡ x k ( k = 0, 1, … , n ) 时，x k = ∑ yi li ( x) = ∑ xik li ( x), k = 0,1,n, n.k =0 时，∑ li ( x) ≡ 1.i =0i =0 ni =0P161 Ex272-13SCHOOL OF MATHEMATICS Lagrange 插值法 小结：优点： 结构紧凑、系数的几何意义明确，便于理论分析！ 缺点： 不具有承袭性！ （即插值节点的变化将引起整体公式的变化！）逐步线性插值Newton插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-14 第三节 逐步线性插值一、 Aitken 插值 二、 Neville 插值思想：把高次插值转化为多步线性插值！SCHOOL OF MATHEMATICS72-15 一、Aitken 插值（算法） Step 1. 过 ( x0 , y0 ), ( xi , yi ) 作线性插值 p0i ( i = 1, 2, , n )Step 2. 过 ( x1 , p01 ), ( xi , p0i ) 作线性插值 p01i ( i = 2,3, , n ) Step 3. 过 ( x2 , p012 ), ( xi , p01i ) 作线性插值 p012i ( i = 3, 4, , n ) Step n. 过 ( xn ?1 , p012, n ?1), ( xn , p012, n ? 2, n) 作线性插值 p012npi ( x) ? pi ( x0 ) 注：P0i ( x) = pi ( x) + ( x ? xi ) xi ? x0 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-16 Aitken 算法：x0 x1 x2 x3y0 y1 p01 y2 p02 p012 y3 p03 p013 p0123xn yn p0n p01n p012nP123 例5.3.1 SCHOOL OF MATHEMATICSp012n72-17 二、Neville 插值（算法）x0 x1 x2 x3y0 y1 y2 y3p01 p12 p23pn ?1,np012 p123pn ? 2, n ?1,np0123p012pn ?3,n ? 2,n ?1,nnxn ynP125 例5.3.2SCHOOL OF MATHEMATICS72-18 小结： 逐步线性插值法优点： 算法简单，易于求值！具有承袭性！ 缺点： 不适合表示插值多项式本身！Newton插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-19 第四节 Newton插值一、差商及性质 二、 Newton 插值（英）NewtonSCHOOL OF MATHEMATICS72-20 考虑到插值法的承袭性，可设插值多项式pn ( x) = a0 + a1 ( x ? x0 ) + a2 ( x ? x0 )( x ? x1 ) ++ an ?1 ( x ? x0 )( x ? x1 )( x ? xn ?1 )由Pn ( x0 ) = f ( x0 ), 解得 a0 = f ( x0 ),f ( x1 ) ? f ( x0 ) , 由 Pn ( x1 ) = f ( x1 ), 解得 a1 = x1 ? x0f ( x2 ) ? f ( x0 ) f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? x2 ? x0 x1 ? x0 由Pn ( x2 ) = f ( x2 ), 解得 a2 = x2 ? x1SCHOOL OF MATHEMATICS72-21 一、差商及性质( 定义5.4.1 已知互异型值点： xi , f ( xi )), i = 0,1, , n. 称f [ xi , x j ] = f ( x j ) ? f ( xi ) x j ? xi ,i≠ j为f(x) 在 xi , xj 处的一阶差商，称f [ xi , x j , xk ] = xk ? xif [ x1 , , xk ] ? f [ x0 , xk ? x0f [ x j , xk ] ? f [ xi , x j ],i≠k称 为f(x) 在 xi , xj , xk 处的二阶差商，f [ x0 , x1 , , xk ] = , xk ?1 ]为f(x) 在 x0 , x1 , … , xk 处的 k 阶差商. SCHOOL OF MATHEMATICS 72-22 注1． 零阶差商： f [ xi ] = f ( xi ), i = 0,1, , n.lim 重节点差商：f [ xi , xi ] = x → x f [ xi , x], i = 0,1, , n.if ( x) ? f ( xi ) = lim = f ′( xi ) x → xi x ? xif [ x,kx , x0 , x1 ,d k ?1 , xm ] = k ?1 f [ x, x0 , x1 , dx, xm ]如：f [ xi , xi ] = f ( k ?1) ( xi ).kSCHOOL OF MATHEMATICS72-23 注2． 差商的计算： 差商表x0x1 f [ x0 ] f [ x1 ] f [ x2 ] f [ x3 ]f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ]f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ]x2 x3f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]SCHOOL OF MATHEMATICS72-24 ? 差商的性质 性质1. （常数可提性）若 F ( x) = Cf ( x), 则 F [ x0 , x1 , , xn ] = Cf [ x0 , x1 , , xn ].性质2. （代数和性质）若 F ( x) = f ( x) + g ( x), 则F [ x0 , x1 , , xn ] = f [ x0 , x1 , , xn ] + g[ x0 , x1 , , xn ].性质3. （对 称 性）任意调换 x0 , x1 , , xn 的位置，f [ x0 , x1 , , xn ] 不变． 即f [ x0 ,, xi ,, xj ,, xn ] = f [ x0 ,, xj ,, xi ,, xn ].72-25SCHOOL OF MATHEMATICS 性质4. 若 f [ x0 , x1 , , xn , x] 是一个关于 x 的 m 次多项式，则 f [ x0 , x1 , , xn , xn +1 , x] 是一个关于 x 的 m-1 次多项式． n 特别的， 次多项式的一阶差商是n-1 次多项式.性质5.f [ x0 , x1 ,f [ x0 ,, xn ] 可表示为 f ( x0 ),n i =0, f ( xn ) 的线性组合：, xn ] = ∑( xi ? x0 )f ( xi ) ( xi ? xi ?1 ) ( xi ? xi +1 )( xi ? xn ),.性质6. （Leibniz公式）若 f ( x) = ? ( x)ψ ( x), 则f [ x0 , x1 ,, xn ] = ∑ ?[ x0 , x1 ,j =0n, x j ]ψ [ x j , x j +1 ,, xn ].72-26SCHOOL OF MATHEMATICS 二、Newton 插值 定理5.4.1 多项式（Newton 插值多项式）pn ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x ? x0 )( x ? x1 ) + + f [ x0 , x1 , , xn ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 )满足插值条件：Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, , n. 插值余项：Rn ( x) = f ( x) ? Pn ( x) = f [ x, x0 , x1 , , xn ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ).SCHOOL OF MATHEMATICS72-27 证：设 pn ( x) 满足插值条件： Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, , n. pn ?1 ( x) 满足插值条件： n ?1 ( xi ) = yi , i = 0,1, , n ? 1. P 则 x0 , x1 , , xn ?1 为 Pn ( x) ? Pn ?1 ( x) = 0 的根，则Pn ( x) ? Pn ?1 ( x) = an ( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 )又 Pn ( xn ) = yn , 带入解得yn ? Pn ?1 ( xn ) yn = an = +Δ ( xn ? x0 ) ( xn ? xn ?1 ) ( xn ? x0 ) ( xn ? xn ?1 ) Δ=?∑ yi li ( xn )i =0n ?1( xn ? x0 )( xn ? x1 )( xn ? xn ?1 )72-28SCHOOL OF MATHEMATICS ( xn ? x0 ) ( xn ? xi ?1 )( xn ? xi +1 ) ( xn ? xn?1 ) ?∑ yi ( xi ? x0 ) ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn?1 ) i =0 Δ= ( xn ? x0 ) ( xn ? xi ) ( xn ? xn?1 ) n?1 yi =∑ ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn?1 )( xi ? xn ) i =0 ( xi ? x0 )n?1yn +Δ an = ( xn ? x0 ) ( xn ? xn ?1 ) n yi =∑ ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn?1 )( xi ? xn ) i =0 ( xi ? x0 ) = f [ x0 , x1 , , xn ] SCHOOL OF MATHEMATICS 72-29 又 Pn ( x) ? Pn ?1 ( x) = an ( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 ) 故 Pn ( x) = Pn ?1 ( x) + f [ x0 , x1 , , xn ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 ) 依次递推得Pn ?1 ( x) = Pn ? 2 ( x) + f [ x0 , x1 , , xn ?1 ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ? 2 )P ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) 1故 pn ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x ? x0 )( x ? x1 )+ + f [ x0 , x1 , , xn ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 )（插值余项证明略） SCHOOL OF MATHEMATICS 72-30 注：牛顿插值公式的另一种推导方法：f [ x] ? f [ x0 ] f [ x0 , x] = x ? x0f ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x]( x ? x0 )f [ x0 , x] ? f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x] = x ? x1 f [ x0 , x] = f [ x0 , x1 ] + f [ x0 , x1 , x]( x ? x1 ) f ( x) = f ( x0 ) + f [ x1 , x0 ]( x ? x0 ) + f [ x1 , x0 , x]( x ? x0 )( x ? x1 )SCHOOL OF MATHEMATICS72-31 P129 例5.4.1 P120 例5.2.1 差商表：22.50.5?0.2 ?0.1 0.050.4 0.254p2 ( x) = 0.5 ? 0.2( x ? 2) + 0.05( x ? 2)( x ? 2.5) = 0.05 x 2 ? 0.425 x + 1.15SCHOOL OF MATHEMATICS72-32 P123 例5.3.1 差商表：?2 ?1 1 25?2 3 73 17?1?1p3 (1.05) ≈ 17.34494 21p3 ( x) = 5 ? 2( x + 2) + 3( x + 2)( x + 1) ? ( x + 2)( x + 1)( x ? 1) = ? x3 + x 2 + 8 x + 9P161 Ex5 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-33 定理5.4.2 若 f ( x) 在包含插值节点的区间[a, b] 上n阶可导， 存在介于 x0 , x1 , , xn 之间的 ξ , 使得 则f ( n ) (ξ ) f [ x0 , x1 , , xn ] = . n! f ( n ) (ξ1 ) ( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 ). 证： f ( x) ? Pn?1 ( x) = n! （ ξ1 介于 x0 , x1 , , xn ?1 , x 之间） f ( x) ? Pn?1 ( x) = f [ x0 , x1 , , xn ?1 , x]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 ) f ( n ) (ξ1 ) , xn ?1 , x] = , 取 x = xn 即证！ n!SCHOOL OF MATHEMATICS 72-34则 f [ x0 , x1 , f [ x0 , x1 ,f ( n ) (ξ ) , xn ] = n!1例1. 若 f ( x) = x5 ? 2 x3 + 3, 则 f [0,1, 2,3, 4,5] =f [0,1, 2,3, 4,5, 6] =0..2例2. 若 f ( x) = 2 x5 ? 2 x3 + 3, 则 f [0,1, 2,3, 4,5] =f [0,1, 2,3, 4,5, 6] =0..SCHOOL OF MATHEMATICS72-35 例3． 7 的近似值. 求7 = 2.645751解：作函数 f ( x) = x , 取 x0=4, x1=9, x2=6.25 , x 4 9 6.25 f(x) 2 0.2 3 2.5 0.108 f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2]p2 ( x) = 2 + 0.2( x ? 4) ? 0.00808( x ? 4)( x ? 9) p2 (7) = 2 + 0.2(7 ? 4) ? 0.00808(7 ? 4)(7 ? 9) = 2.64848 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-36 第五节 Hermite 插值（法，）一、三次Hermite 插值多项式 二、三次Hermite 插值余 项SCHOOL OF MATHEMATICS72-37 埃尔米特（Charles Hermite，） 法国数学家， 巴黎综合工科学校毕业。曾任法兰西学院、巴黎高等师范学 校、巴黎大学教授。法兰西科学院院士。在函数论、高等代 数、微分方程等方面都有重要发现。1858年利用椭圆函数首 先得出五次方程的解。1873年证明了自然对数的底e的超越 性。在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念（表示某种对 称性）很多，如“埃尔米特二次型”、“埃尔米特算子”等。 埃尔米特生下来右脚就残障，需扶拐杖行走。 数学是他一生的至爱，但是数学考试是他一生的恶梦。不 过这无法改变他的伟大！他的一生证明了“一个不会考试的 人，仍然能有胜出的人生”！SCHOOL OF MATHEMATICS72-38 由于当时肢障者不得进入工科学系，埃尔米特只好转到文 学系。文学系里的数学已经容易很多了，但他还是不及格。 有趣的是，他同时在法国的数学研究期刊《纯数学与应用数 学杂志》发表《五次方方程式解的思索》，震惊了数学界。 在人类历史上，多少一流数学家埋首苦思四次方程以上到 n次方程的解法，始终不得其解。没想到三百年后，一个文 学系的学生，一个数学常考不及格的学生，竟然提出正确的 解法。二十四岁时，他以及格边缘的成绩大学毕业。由于不 会应付考试，无法继续升学，只好做个批改学生作业的助教。 这份助教工作，做了几乎二十五年，尽管他这二十五年中发 表了代数连分数理论、函数论、方程论……已经名满天下， 数学程度远超过当时所有大学的教授，但是不会考试，没有 高等学位的埃尔米特，只能继续批改学生作业…… SCHOOL OF MATHEMATICS 72-39 实际问题中不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值 也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度），甚至要求高阶导数也相 等，满足这种要求的插值多项式称Hermite插值多项式． 现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交通工具的外形时，参 照海豚的标本上已知点及已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚 的外形制成飞机、汽车等外形。一、三次Hermite 插值多项式已知 f(x) 在两个插值节点处的函数值和导数值： ′ ′ y0 = f ( x0 ), y1 = f ( x1 ); y0 = f ′( x0 ), y1 = f ′( x1 ), 求三次多项式 H(x)， 使其满足：′ ′ H ( x0 ) = y0 , H ( x1 ) = y1 ; H ′( x0 ) = y0 , H ′( x1 ) = y1 , SCHOOL OF MATHEMATICS 72-40 方法一、（基函数法） 构造三次埃尔米特插值多项式： ′ ′ H ( x ) = y0? 0 ( x ) + y1?1 ( x ) + y0ψ 0 ( x ) + y1ψ 1 ( x ) 满足： 函数值 x0 x1 导数值 x0 x1 0 0 1 0 0 0 0 172-41?0 ( x) ?1 ( x ) ψ 0 ( x) ψ 1( x)1 0 0 00 1 0 0SCHOOL OF MATHEMATICS ?0 ( x) = [a + b( x ? x0 )]( x ? x1 ) 2 设1 由 ?0 ( x0 ) = 1， 得 a = ( x0 ? x1 ) 2 2 ′ 再由 ?0 ( x0 ) = 0， 得 b = ? ， 所以 3 ( x0 ? x1 )? x ? x0 ? ? x ? x1 ? ?0 ( x) = ?1 + 2 ?? ? x 1 ? x0 ? ? x0 ? x1 ? ?2? x ? x1 ? ? x ? x0 ? 同理 ( x0 ? x1 ) ， ?1 ( x) = ?1 + 2 ?? ? x0 ? x1 ? ? x1 ? x0 ? ? SCHOOL OF MATHEMATICS272-42 ′ 由ψ 0 ( x0 ) = ψ 0 ( x1 ) = ψ 0 ( x1 ) = 0， 可令ψ 0 ( x) = c( x ? x0 )( x ? x1 ) 2′ 再由ψ 0 ( x０) = 1， 得 c =1 ( x0 ? x1 ) 22? x ? x1 ? ψ 0 ( x) = ( x ? x0 ) ? ? , ? x0 ? x1 ? ? x ? x0 ? 同理 ( x0 ? x1 ) ， ψ 1 ( x) = ( x ? x1 ) ? ? x1 ? x0 ? ? SCHOOL OF MATHEMATICS272-43 满足条件的三次埃尔米特插值多项式：′ ′ H ( x ) = y0? 0 ( x ) + y1?1 ( x ) + y0ψ 0 ( x ) + y1ψ 1 ( x )? ? x ? x1 ? x ? x0 ?? x ? x1 ? ′ = y0 ? 1 + 2 ?? ? + y0 ( x ? x0 ) ? ? + x 1 ? x0 ?? x0 ? x1 ? ? ? x0 ? x1 ? ? ? x ? x0 ? x ? x1 ?? x ? x0 ? ′ y1 ? 1 + 2 ?? ? + y1 ( x ? x1 ) ? ? x 0 ? x1 ?? x1 ? x0 ? x1 ? x0 ? ? ?2 2 2 2特别的，x0 = 0, x1 = 1 时， ′ H ( x ) = y0 (1 + 2 x )( x ? 1)2 + y0 x ( x ? 1)2 +′ y1 (3 ? 2 x ) x 2 + y1 ( x ? 1) x 2 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-44 方法二、（带重节点的Newton插值法） 构造带重节点的Newton差商表：x0x0f ( x0 )f ′( x0 ) f [ x0 , x0 ]f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 )f [ x0 , x0 , x1 ]x1x1f [ x0 , x1 ]f [ x0 , x0 , x1 , x1 ]f [ x0 , x1 , x1 ]f [ x1 , x1 ]f ′( x1 )H ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x ? x0 ) + f [ x0 , x0 , x1 ]( x ? x0 ) 2+ f [ x0 , x0 , x1 , x1 ]( x ? x0 ) 2 ( x ? x1 ) SCHOOL OF MATHEMATICS 72-45 P135 例5.5.1 P161 Ex8 P161 Ex9f ( x) ∈C 3 [a, b], 定理5.5.1 设 f(x) 在(a, b)内四阶可导， x0 , x1 ∈[a, b], 则对 ?x ∈[a, b], ?ξ ∈(a, b), 满足f (4) (ξ ) R( x) = f ( x) ? H( x) = ( x ? x0 )2( x ? x1 )2 4!推广P136 ~ P137SCHOOL OF MATHEMATICS 72-46 §5.6 分段多项式插值( Piecewise Polynomial Approximation ) 一、高次多项式插值的 Runge 现象 二、分段线性插值 三、分段三次 Hermite 插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-47 一、高次多项式插值的 Runge 现象对于多项式插值而言，随着插值节点个数的增 加，插值多项式的次数也会升高。 多项式函数的图像是上下震荡的，且震荡的幅 度不尽相同，不同区段的震荡密度也不一样。SCHOOL OF MATHEMATICS72-48 20世纪初，德国数学家Runge发现：高阶插值 多项式计算的结果在两端会发生激烈的震荡，与 原来的函数相距甚远…… “ Runge 现象” 结果表明： 并不是插值多项式的次数越高，插值的效果越 好，精度也不一定是随次数的提高而升高！SCHOOL OF MATHEMATICS72-49 1 在[-5, 5]上考察 f ( x) = 的 Lagrange 插值 2 1+ x 多项式 Ln(x):取2.5 210 xi = ?5 + i n (i = 0, ... , n)1.510.50-0.5 -5-4-3-2-1012345SCHOOL OF MATHEMATICS72-50 不同次数的 Lagrange 插值多项式的比较21.5n=10f ( x) =11 1 + x20.5n 越大，端点 附近抖动越大n=20n=6-0.5Runge现象n=4 n=8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1-1.5 -5分段低次插值72-51SCHOOL OF MATHEMATICS 二、分段线性插值( Piecewise Linear Interpolation )在每个区间 [ xi , xi +1 ] 上,用1 次多项式（直线）逼近 f ( x) : x ? xi +1 x ? xi f ( x) ≈ P ( x) = yi + yi +1， 1 xi ? xi +1 xi +1 ? xi其中 x ∈ [ xi , xi +1 ] 失去了原来函数的光滑性！SCHOOL OF MATHEMATICS72-52 分段线性插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-53 三、分段三次 Hermite 插值( Hermite piecewise polynomials )′ 给定 x 0 , ... , y0 , ... , y 0 , ... , y ′ n 在 [ x i , x i + 1 ] 上利用两点的 y 及 y' 构 造 3 次 Hermite 函数导数一般不易得到!SCHOOL OF MATHEMATICS72-54 分段三次Hermite插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-55 插值问题： 给定平面上 n+1 个不同的点，要求通 过这些点作一条光滑曲线.Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值 可能发生龙格现象！分段线性插值、分段Hermite 插值 需要节点处的函数值和导数值！ 虽然可以得到整体连续的函数，但在连接点处 一般不光滑（特别是高阶可导性）!SCHOOL OF MATHEMATICS72-56 §5.7 三次样条插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-57 什么是样条？ ? 在船体、汽车或航天器的设计中，为描绘出 光滑的外形曲线（放样）所用的工具； ? 三次样条本质上是一段一段的三次多项式拼 合而成的组合曲线； ? 三次样条函数在拼接点处不仅是连续的，而 且一阶和二阶导数也是连续的； ? 1946年，Schoenberg 将样条引入数学，并给 出了严格的数学定义，即所谓的样条函数。72-58SCHOOL OF MATHEMATICS 定义：设 a = x0 & x1& xN & xN +1 = b 是 [a, b] 上的一组给定节点，若 s ( x) 满足： (1) s ( x) ∈ C 2 [a, b] ;(2) s ( x) 在 [ xi , xi +1 ] (i = 0,1,, N ) 上是三次多项式； , N + 1).(3) s ( xi ) = f ( xi ) = yi (i = 0,1,则称 s ( x) 为[a, b] 上的三次样条插值函数.( Cubic Spline Interpolating Function )注：共有 4N+2 个条件，4N+4 个待定系数！ SCHOOL OF MATHEMATICS 72-59 注： 要唯一确定三次样条函数，需补充2 个边界条件：(1) 第一类边界条件： s′(a ) = y0 , s′(b) = y′ +1 ; ′ N (2) 第二类边界条件： s′′(a ) = y0 , s′′(b) = y′′ +1 ; ′′ N（自然边界条件） （自然样条函数） (3) 第三类边界条件： （周期样条函数） s′(a ) = s′(b) , s′′(a ) = s′′(b) . （周期边界条件） SCHOOL OF MATHEMATICS 72-60特别的， s′′(a ) = s′′(b) = 0 ; 三次样条插值函数的推导： 设s′( xi ) = mi (i = 0,1, , N + 1)由 Hermite 插值公式（P134）可知， 当 x ∈ [ xi ?1 , xi ] 时，? ? x ? xi ? x ? xi ?1 ? ? x ? xi ? s( x) = ?1 + 2 ?? ? yi ?1 + ( x ? xi ?1 ) ? ? mi ?1 xi ? xi ?1 ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? x ? xi ?1 ? x ? xi ? ? x ? xi ?1 ? + ?1 + 2 ?? ? yi + ( x ? xi ) ? ? mi xi ?1 ? xi ? ? xi ? xi ?1 ? ? ? xi ? xi ?1 ? SCHOOL OF MATHEMATICS 72-612222 为了便于求导，形式上可化简为1 ? 2 s ( x) = 3 ( 2 x + xi ? 3 xi ?1 )( x ? xi ) yi ?1 hi ? + ( 3 xi ? xi ?1 ? 2 x )( x ? xi ?1 ) yi ? ?21 + 2 ? ( x ? xi ?1 )( x ? xi ) 2 mi ?1 + ( x ? xi ?1 ) 2 ( x ? xi )mi ? ? hi ?其中 hi = xi ? xi ?1 (i = 1, 2,, N + 1)., N + 1).72-62注：为了确定 s ( x) ， 只需确定 mi (i = 0,1, SCHOOL OF MATHEMATICS 注意到 s′′( xi ? 0) = s′′( xi + 0) (i = 1, 2,s′( x) = ? 6 ′′( x) = 3 ( 2 x ? xi ?1 ? xi ) ( yi ?1 ? yi ) s hi, N ),2 + 2 [ (3 x ? xi ?1 ? 2 xi ) mi ?1 + (3 x ? 2 xi ?1 ? xi ) mi ] hi故6 2 S ′′( xi ? 0) = 2 ( yi ?1 ? yi ) + (mi ?1 + 2mi ) hi hi 6 2 S ′′( xi + 0) = 2 ( yi +1 ? yi ) ? (2mi + mi +1 ) hi +1 hi +1SCHOOL OF MATHEMATICS72-63 由 s′′( xi ? 0) = s′′( xi + 0) (i = 1, 2,, N ), 可得?1 ? yi +1 ? yi yi ? yi ?1 ? 1 1 ? 1 mi ?1 + 2 ? + mi +1 = 3 ? + ? mi + ? 2 2 hi hi +1 hi ? hi hi +1 ? ? hi +1 ?1 1 两边同除以 + 得 hi hi +1hi +1 hi mi ?1 + 2mi + mi +1 hi + hi +1 hi + hi +1 ? hi yi +1 ? yi hi +1 yi ? yi ?1 ? = 3? ? + ? ? hi +1 hi + hi +1 hi ? ? hi + hi +1 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-64 hi +1 hi ，μ i = = 1 ? λi , 令 λi = hi + hi +1 hi + hi +1 ? yi +1 ? yi yi ? yi ?1 ? d i = 3 ? μi + λi ? hi +1 hi ? ?= 3 ( μi f [ xi , xi +1 ] + λi f [ xi ?1 , xi ])则λi mi ?1 + 2mi + μi mi +1 = di( i = 1, 2,,N)注：结合不同的边界条件，可得关于mi 的方程组. SCHOOL OF MATHEMATICS 72-65 (1) 第一类边界条件： m0 = y0 , mN +1 = y′ +1 ; ′ N?2 ? ? λ2 ? ? ? ? ? ? ?μ12μ2λN ?12λN′ ? ? m1 ? ? d1 ? λ1 y0 ? ?? ? ? ? m2 ? ? d2 ?? ? ?? ? ? ? ?? ?=? ? ?? ? ? ? μ N ?1 ? ? mN ?1 ? ? d N ?1 ? ?? ? ? m ? ? d ? μ y′ ? ? ? ? 2 ?? N ? ? N N n?注：关于 mi ( i=1, 2, …, N ) 的方程组. SCHOOL OF MATHEMATICS 72-66 (2) 第二类边界条件： s′′(a ) = y0 , s′′(b) = y′′ +1 ; ′′ N即6 2 ′′ y0 = 2 ( y1 ? y0 ) ? (2m0 + m1 ) h1 h1 y′′ +1 = N 6 h2 N +1( y N ? y N +1 ) +2 hN +1(mN + 2mN +1 )化简得y1 ? y0 1 ′′ 2m0 + m1 = 3 ? ? h1 y0 2 h1 y N +1 ? y N 1 + hN +1 y ′′ +1 mN + 2mN +1 = 3 ? N 2 hN +1SCHOOL OF MATHEMATICS72-67 化简得?2 ? ? λ1 ? ? ? ? ? ? ? 1 2μ1λN2 1y1 ? y0 1 ? ? ′′ ? 3? ? h1 y0 ? 2 h1 ? ? m0 ? ? ? ?? m ? ? ? d1 ?? 1 ? ? ? ? ?? ? ? = ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? mN ? dN μN ? ? ? ? ?? ? ? ? y ?y ? 2 ? ? mN +1 ? 1 N +1 N + hN +1 y′′ +1 ? ? 3? N ? ? 2 hN +1 ? ?注：关于 mi ( i=0, 1, …, N+1 ) 的方程组. SCHOOL OF MATHEMATICS 72-68 (3) 第三类边界条件： m0 = mN +1 , s′′(a ) = s′′(b) .6 2 ( y N ? y N +1 ) + ( mN + 2mN +1 ) = 2 ( y1 ? y0 ) ? (2m0 + m1 ) 2 hN +1 hN +1 h1 h1 mN ? 1 m1 3( y1 ? y0 ) 3( y N ? y N +1 ) 1 ? +? + = + ? 2mN +1 + 2 2 hN +1 ? h1 hN +1 ? h1 h1 hN +1 6 2λN +1hN +1 h1 mN + 2mN +1 + m1 h1 + hN +1 h1 + hN +1? hN +1 y1 ? y0 y N ? y N +1 ? h1 = 3? ? + ? ? h1 h1 + hN +1 hN +1 ? d N +1 ? h1 + hN +1SCHOOL OF MATHEMATICS 72-69μ N +1 化简得? 2 ? ? λ2 ? ? ? ? ? ?μ ? N +1μ12μ2λN2λN +1?? ? ? ? m2 ? ? d 2 ? ?? ?? ? ? ? ?? ?=? ? ?? ? ? ? μ N ? ? mN ? ? d N ? ?? ? ? ? ?? m ? ? d ? 2 ? ? N +1 ? ? N +1 ?λ1 ? ? m1 ? ? d1 ?注：关于 mi ( i =1, 2, …, N+1 ) 的方程组. SCHOOL OF MATHEMATICS 72-70 C 对应不同的边界条件，只要求出相应线性方 程组的解，便得到三次样条函数在各子区间 [xi-1, xi] 上的表达式. C 由于三个方程组的系数矩阵都是严格对角占 优矩阵，所以都有唯一解，前两个方程组均 可用追赶法求解，第三个方程组可用 LU 分 解法或 Gauss 消元法求解.SCHOOL OF MATHEMATICS72-71 P146 例5.7.1 （略） P162 Ex10 解：根据三次自然样条函数条件，有′ ′ ?6 x 2 ? 3, ? s? (1) = s+ (1), s′( x ) = ? ? ′′ ′′ 3a ( x ? 1) 2 + 2b( x ? 1) + c, ? s? (1) = s+ (1), ? ? s′′(2) = 0. ? ?12 x, ? + s′′( x) = ? s (1 ) = s (1 ), ?6a ( x ? 1) + 2b, s′′(0) = 0. ?c = 3, 即 ?3 = c , ? ? ? ?b = 6, ?12 = 2b, ?6a + 2b = 0. ? a = ?2. ? ? SCHOOL OF MATHEMATICS0 ≤ x & 1, 1 ≤ x & 2,0 ≤ x & 1, 1 ≤ x & 2,72-72
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第5 章 插值法 5.1 实验目的 了解插值问题及其适用的场合,理解并掌握常用的插值算法的构造和计算,了解差商概念、Runge 现象及 样条插值方法,学习用计算机求近似函...第五章 插值法 59页 2财富值 第二章 插值法 7页 免费 样条插值法 69页 免费 第2章 插值法1 34页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功...双线性插值算法 10页 免费 第五章 常用插值算法 6页 免费 插值算法汇总 26页...插值算法简介: 一 插值算法简介 1:插值的涵义 插值的涵义: 插值的涵义在离散...第五章 插值法 59页 2财富值 第二章 插值法 7页 免费 样条插值法 69页 免费 第2章 插值法1 34页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功...第5章 插值法 110页 免费 第2章 插值法 19页 5财富值 第五章 插值法 59页 2财富值 第二章 插值法 7页 免费 样条插值法 69页 免费 第2章 插值法1 ...第五章 代数插值? 在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中,相当一部分是通过...在用插值法寻求近似函数的过程中,根据所讨论问题的特点,对简单函数的 类型可有...第5章 插值法 110页 免费 第2章 插值法 19页 2下载券 第五章 插值法 59...插值法一、题目 求f ( x) = 2 x 4 在[0,4]上按5个等矩插值基点确定...第5章 插值法 110页 免费 第2章 插值法 19页 5财富值 第五章 插值法 59页 2财富值 第二章 插值法 7页 免费 样条插值法 69页 免费 第2章 插值法1 ...第5章 插值法 110页 免费 第2章 插值法 19页 5财富值 第五章 插值法 59页 2财富值 第二章 插值法 7页 免费 样条插值法 69页 免费 第2章 插值法1 ...插值法 5页 2财富值 插值法 2页 免费 第六章 插值法 41页 1财富值 第5章 插值法 110页 免费 第2章 插值法 19页 5财富值 第五章 插值法 59页 2财富...
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用中点差商公式
计算在x=2处的一阶导数的近似值．取h=0.5，0.05，0.005，0.05，观测计算结
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提问人：匿名网友
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用中点差商公式&&&(6.36)&&计算在x=2处的一阶导数的近似值．取h=0.5，0.05，0.005，0.05，观测计算结果，解释所发生的现象．设计高精度的算法，并重新计算．
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1根据f(x)=tanx的数值表(表6.3)用中点公式计算f'(1.4)的近似值，并估计误差，同时把结果和精确值比较．&&表6.3x1.361.381.401.421.44f(x)4.6734415.1774375.7978846.5811197.6018262证明数值微分公式&&&(6.44)&&对任意4次多项式精确成立，进一步求出微分公式的余项．3设f(x)∈C4[x0-h，x0+h]，证明&&&ξ∈(x0-h，x0+h)．4验证数值微分公式&&&&-30f(x0)+16f(x0+h)-f(x0+2h)]&(6.50)&&对5次多项式精确成立．进一步求出微分公式的余项．
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根据除法的意义可知，如果一个数（0除外）除以带小数时，商一定小于被除数，当一个数（0除外）除以一个纯小数，则商一定大于被除数．所以一个数（0）除以小数，商不一定小于这个数．故答案为：×．
对的很高兴为您解答,【学习宝典】团队为您答题.请点击下面的【选为满意回答】按钮. 再问： 为什么是对的？ 再答： 这是数上的定义啊，而且自然数不能等于0，条件都满足了，所以是对的！再问： a=1的话，一分之一也行吗？ 再答： 行，1的倒数就是1本身！再问： 我明白了，谢谢。 再答： 明白请采纳！
除数是一个假分数，假分数≥1，即除数≥1；当除数=1时，商等于这个自然数，当除数＞1，商小于这个自然数；所以一个非零自然数除以一个假分数，商小于或等于这个自然数．故答案为：×．
将7920分解质因数：7920 = 2^4×3^2×5×11 ,因为,质因数 2 和 3 的指数是偶数,可以形成平方数；所以,只需要将 5 和 11 的指数配成偶数即可；可得：A的最小值是 5×11 = 55 .
420＝2＊2＊3＊5＊7,a最小是3＊5＊7＝105
应该是12015跟40的最小公倍数
（1）一个非零自然数除以带分数,商比这个自然数要小.（√ ） （2）将3分之2：6分之1化简成最简整数比是4 （×） （3）有一堆煤,如果每天烧10分之1吨,这堆煤一定可烧10天.（ ×）（4）苹果比橘子多5分之2.,就是橘子比苹果少5分之1 （ × ）（5）一个数的4分之1是4,这个数是16 （ √ ）
一个非零自然数×它的倒数=1（一定），是乘积一定，所以一个非零自然数和它的倒数成反比例．故判断为：正确．
n是一个非零自然数,与n相邻的两个自然数是（ n－1 ）和（ n＋1 ）.这三个自然数的和是(3n )
分子大于或者等于分母的分数叫假分数,假分数大于1或等于1因此n=5或6
240=16*15=42*15所以a,b最小值都是15.240*15=/15=16=42
即求15和40的最小公倍数,A是120.
15和40的最小公倍数 120
15×40÷5=120
对 任何非0自然数和它倒数的积都是1 也就是积一定 所以一个非零自然数和它的倒数成反比例（小学人教版六年级数学吧?）
不对.1也是自然数,它的倒数还是1,不是真分数.
一个非零自然数乘（1）时,积是它自己；乘（小于1）时,积小于它自己；乘（大于1）时,积大于它自己.
选b,因为乘以五分之一相当于除以五,也就是把它平均分成五份一点五的倒数除以六分之五与零点三的差商是多少_百度知道
一点五的倒数除以六分之五与零点三的差商是多少
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如图所示望采纳
如果不懂可以追问
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2/3÷(5/6-3/10)＝5/4
（1÷1.5）÷（5/6-0.3）＝2/3÷16/30＝5/4
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第五章 插值法
第五章 插 值 法第一节 引言 第二节 Lagrange插值 第三节 逐步线性插值 第四节 Newton插值 第五节 Hermite插值 第六节 分段多项式插值 第七节 三次样条插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-1 第一节 引言插值方法是数据处理、函数近似、计算机几何造 型的常用工具；为其它数值方法（数值微积分、非 线性方程数值解、微分方程数值解等）提供重要的 理论基础。SCHOOL OF MATHEMATICS72-2 一、插值问题设 ?0 ( x),?1 ( x), ,?n ( x) 是定义在[a, b]上的n+1个线性 无关的函数， f ( x) 是定义在[a, b]上的函数，x0 , x1 , , xn 是[a, b]中的n+1个互异节点， 已知 yi = f ( xi ), i = 0,1, , n.构造? ( x) = c0?0 ( x) + c1?1 ( x) ++ cn?n ( x)使之满足 ? ( xi ) = f ( xi ), i = 0,1, , n.? 插值函数： ( x) 被插函数：f ( x)插值节点：x0 , x1 , , xn 插值余项：r ( x) = f ( x) ? ? ( x)72-3SCHOOL OF MATHEMATICS 注： 称为多项式插值： 插值函数是多项式函数时， 构造n 次多项式函数 Pn ( x), 使之满足：插值条件：Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, ( xi , yi ) (i = 0,1, , n) , n.插值多项式：Pn ( x) 型值点： 插值余项：r ( x) = f ( x) ? Pn ( x)SCHOOL OF MATHEMATICS72-4 二、插值多项式的存在性和唯一性 定理5.1.1 满足插值条件的多项式存在且唯一．（用Cramer 法则易证，见P118）注：过 n+1 个点可唯一做一条 n 次代数曲线！Pn(x) f(x)x0x1x2SCHOOL OF MATHEMATICSx3x472-5 Lagrange（法）第二节 Lagrange 插值一、 Lagrange 插值多项式 二、 Lagrange 插值余项SCHOOL OF MATHEMATICS72-6 一、 Lagrange插值多项式 设 Pn ( x) = ∑ yi li ( x), 其中 li ( x) 满足：i =0 n?1, i = j , li ( x j ) = ? ?0, i ≠ j.( i = 0,1,, n)则 Pn ( x) 满足插值条件Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, , n.注：li ( x) = ? SCHOOL OF MATHEMATICS 72-7 分析： 由于 x0 , , xi ?1 , xi +1 , , xn 是 li ( x) = 0 的根，设li ( x) = Ai ( x ? x0 ) ( x ? xi ?1 ) ( x ? xi +1 ) ( x ? xn ),又 li ( xi ) = 1, 即Ai ( xi ? x0 ) ( xi ? xi ?1 ) ( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn ) = 1,( xi ? xn ) , 1 ( xi ? xi ?1 ) ( xi ? xi +1 )解得Ai =( xi ? x0 )( x ? x0 ) ( x ? xi ?1 ) ( x ? xi +1 ) ( x ? xn ) . 所以 li ( x) = ( xi ? x0 ) ( xi ? xi ?1 ) ( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn ) SCHOOL OF MATHEMATICS 72-8 定义5.2.1 称 Pn ( x) = ∑ yi li ( x) 为Lagrange 插值多项式．i =0n其中( x ? x0 ) li ( x) = ( xi ? x0 ) ( x ? xi ?1 ) ( x ? xi +1 ) ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 )n x?x ( x ? xn ) j =∏ , ( xi ? xn ) j =0 xi ? x j j ≠i( i = 0,1,, n)称为Lagrange 插值基函数．SCHOOL OF MATHEMATICS72-9 注：记 ωn ( x) =( x ? x0 )( x ? x1 )′ 则 ωn ( xi ) = ( xi ? x0 )( x ? xn ), ( xi ? xn ),( xi ? xi ?1 ) ( xi ? xi +1 )n ωn ( x ) ωn ( x ) , Pn ( x) = ∑ yi 故 li ( x) = ′ ′ ( x ? xi )ωn ( xi ) i = 0 ( x ? xi )ωn ( xi )P120 例5.2.1 P161 Ex1SCHOOL OF MATHEMATICS72-10 二、 Lagrange 插值余项 定理5.2.2 若 f ( x) 在包含插值节点的区间[a, b] 上n+1阶可导，则对 ?x ∈ [a, b], 存在与x 有关的 ξ ∈ (a, b),使得rn ( x) = f ( x) ? Pn ( x) =( n + 1)!ωn ( x )f ( n +1) (ξ ).证： 为插值节点时，结论显然成立！ 当x当 x ≠ xi ( i = 0,1, , n ) 时， 令ωn (t ) F (t ) = f (t ) ? Pn (t ) ? [ f ( x) ? Pn ( x)]. ωn ( x ) SCHOOL OF MATHEMATICS 72-11 显然 F(t) 具有n+1阶导数，且有n+2个零点 x, x0 , x1 , , xn由Rolle定理知，F ′(t ) 至少有n+1个零点，F ′′(t )至少有n个零点，F ( n +1) (t )至少有 1 个零点 ξ , 即F( n +1)(ξ ) = f( n +1)(n + 1)! (ξ ) ? 0 ? [ f ( x) ? Pn ( x)] = 0. ωn ( x )ωωnt( x) ( n +1) n( ) (ξ ). ? P t) ? F (t ) = f (tx))? Pnn(( x) = [ f (fx) ? Pn ( x)]. ω(nn x)1)! (+ 证毕！ SCHOOL OF MATHEMATICS 72-12 推论 若 f ( x) 是次数不超过 n 的多项式函数，则其n 次 Lagrange 插值多项式就是其本身．f ( n +1) (ξ ) = 0. 事实上，f ( x) ? Pn ( x) =( n + 1)!nωn ( x )f ( n +1) (ξ ) = 0 ? Pn ( x) = f ( x).特别的，f (x) ≡ x k ( k = 0, 1, … , n ) 时，x k = ∑ yi li ( x) = ∑ xik li ( x), k = 0,1,n, n.k =0 时，∑ li ( x) ≡ 1.i =0i =0 ni =0P161 Ex272-13SCHOOL OF MATHEMATICS Lagrange 插值法 小结：优点： 结构紧凑、系数的几何意义明确，便于理论分析！ 缺点： 不具有承袭性！ （即插值节点的变化将引起整体公式的变化！）逐步线性插值Newton插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-14 第三节 逐步线性插值一、 Aitken 插值 二、 Neville 插值思想：把高次插值转化为多步线性插值！SCHOOL OF MATHEMATICS72-15 一、Aitken 插值（算法） Step 1. 过 ( x0 , y0 ), ( xi , yi ) 作线性插值 p0i ( i = 1, 2, , n )Step 2. 过 ( x1 , p01 ), ( xi , p0i ) 作线性插值 p01i ( i = 2,3, , n ) Step 3. 过 ( x2 , p012 ), ( xi , p01i ) 作线性插值 p012i ( i = 3, 4, , n ) Step n. 过 ( xn ?1 , p012, n ?1), ( xn , p012, n ? 2, n) 作线性插值 p012npi ( x) ? pi ( x0 ) 注：P0i ( x) = pi ( x) + ( x ? xi ) xi ? x0 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-16 Aitken 算法：x0 x1 x2 x3y0 y1 p01 y2 p02 p012 y3 p03 p013 p0123xn yn p0n p01n p012nP123 例5.3.1 SCHOOL OF MATHEMATICSp012n72-17 二、Neville 插值（算法）x0 x1 x2 x3y0 y1 y2 y3p01 p12 p23pn ?1,np012 p123pn ? 2, n ?1,np0123p012pn ?3,n ? 2,n ?1,nnxn ynP125 例5.3.2SCHOOL OF MATHEMATICS72-18 小结： 逐步线性插值法优点： 算法简单，易于求值！具有承袭性！ 缺点： 不适合表示插值多项式本身！Newton插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-19 第四节 Newton插值一、差商及性质 二、 Newton 插值（英）NewtonSCHOOL OF MATHEMATICS72-20 考虑到插值法的承袭性，可设插值多项式pn ( x) = a0 + a1 ( x ? x0 ) + a2 ( x ? x0 )( x ? x1 ) ++ an ?1 ( x ? x0 )( x ? x1 )( x ? xn ?1 )由Pn ( x0 ) = f ( x0 ), 解得 a0 = f ( x0 ),f ( x1 ) ? f ( x0 ) , 由 Pn ( x1 ) = f ( x1 ), 解得 a1 = x1 ? x0f ( x2 ) ? f ( x0 ) f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? x2 ? x0 x1 ? x0 由Pn ( x2 ) = f ( x2 ), 解得 a2 = x2 ? x1SCHOOL OF MATHEMATICS72-21 一、差商及性质( 定义5.4.1 已知互异型值点： xi , f ( xi )), i = 0,1, , n. 称f [ xi , x j ] = f ( x j ) ? f ( xi ) x j ? xi ,i≠ j为f(x) 在 xi , xj 处的一阶差商，称f [ xi , x j , xk ] = xk ? xif [ x1 , , xk ] ? f [ x0 , xk ? x0f [ x j , xk ] ? f [ xi , x j ],i≠k称 为f(x) 在 xi , xj , xk 处的二阶差商，f [ x0 , x1 , , xk ] = , xk ?1 ]为f(x) 在 x0 , x1 , … , xk 处的 k 阶差商. SCHOOL OF MATHEMATICS 72-22 注1． 零阶差商： f [ xi ] = f ( xi ), i = 0,1, , n.lim 重节点差商：f [ xi , xi ] = x → x f [ xi , x], i = 0,1, , n.if ( x) ? f ( xi ) = lim = f ′( xi ) x → xi x ? xif [ x,kx , x0 , x1 ,d k ?1 , xm ] = k ?1 f [ x, x0 , x1 , dx, xm ]如：f [ xi , xi ] = f ( k ?1) ( xi ).kSCHOOL OF MATHEMATICS72-23 注2． 差商的计算： 差商表x0x1 f [ x0 ] f [ x1 ] f [ x2 ] f [ x3 ]f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ]f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ]x2 x3f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]SCHOOL OF MATHEMATICS72-24 ? 差商的性质 性质1. （常数可提性）若 F ( x) = Cf ( x), 则 F [ x0 , x1 , , xn ] = Cf [ x0 , x1 , , xn ].性质2. （代数和性质）若 F ( x) = f ( x) + g ( x), 则F [ x0 , x1 , , xn ] = f [ x0 , x1 , , xn ] + g[ x0 , x1 , , xn ].性质3. （对 称 性）任意调换 x0 , x1 , , xn 的位置，f [ x0 , x1 , , xn ] 不变． 即f [ x0 ,, xi ,, xj ,, xn ] = f [ x0 ,, xj ,, xi ,, xn ].72-25SCHOOL OF MATHEMATICS 性质4. 若 f [ x0 , x1 , , xn , x] 是一个关于 x 的 m 次多项式，则 f [ x0 , x1 , , xn , xn +1 , x] 是一个关于 x 的 m-1 次多项式． n 特别的， 次多项式的一阶差商是n-1 次多项式.性质5.f [ x0 , x1 ,f [ x0 ,, xn ] 可表示为 f ( x0 ),n i =0, f ( xn ) 的线性组合：, xn ] = ∑( xi ? x0 )f ( xi ) ( xi ? xi ?1 ) ( xi ? xi +1 )( xi ? xn ),.性质6. （Leibniz公式）若 f ( x) = ? ( x)ψ ( x), 则f [ x0 , x1 ,, xn ] = ∑ ?[ x0 , x1 ,j =0n, x j ]ψ [ x j , x j +1 ,, xn ].72-26SCHOOL OF MATHEMATICS 二、Newton 插值 定理5.4.1 多项式（Newton 插值多项式）pn ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x ? x0 )( x ? x1 ) + + f [ x0 , x1 , , xn ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 )满足插值条件：Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, , n. 插值余项：Rn ( x) = f ( x) ? Pn ( x) = f [ x, x0 , x1 , , xn ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ).SCHOOL OF MATHEMATICS72-27 证：设 pn ( x) 满足插值条件： Pn ( xi ) = yi , i = 0,1, , n. pn ?1 ( x) 满足插值条件： n ?1 ( xi ) = yi , i = 0,1, , n ? 1. P 则 x0 , x1 , , xn ?1 为 Pn ( x) ? Pn ?1 ( x) = 0 的根，则Pn ( x) ? Pn ?1 ( x) = an ( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 )又 Pn ( xn ) = yn , 带入解得yn ? Pn ?1 ( xn ) yn = an = +Δ ( xn ? x0 ) ( xn ? xn ?1 ) ( xn ? x0 ) ( xn ? xn ?1 ) Δ=?∑ yi li ( xn )i =0n ?1( xn ? x0 )( xn ? x1 )( xn ? xn ?1 )72-28SCHOOL OF MATHEMATICS ( xn ? x0 ) ( xn ? xi ?1 )( xn ? xi +1 ) ( xn ? xn?1 ) ?∑ yi ( xi ? x0 ) ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn?1 ) i =0 Δ= ( xn ? x0 ) ( xn ? xi ) ( xn ? xn?1 ) n?1 yi =∑ ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn?1 )( xi ? xn ) i =0 ( xi ? x0 )n?1yn +Δ an = ( xn ? x0 ) ( xn ? xn ?1 ) n yi =∑ ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn?1 )( xi ? xn ) i =0 ( xi ? x0 ) = f [ x0 , x1 , , xn ] SCHOOL OF MATHEMATICS 72-29 又 Pn ( x) ? Pn ?1 ( x) = an ( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 ) 故 Pn ( x) = Pn ?1 ( x) + f [ x0 , x1 , , xn ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 ) 依次递推得Pn ?1 ( x) = Pn ? 2 ( x) + f [ x0 , x1 , , xn ?1 ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ? 2 )P ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) 1故 pn ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x ? x0 )( x ? x1 )+ + f [ x0 , x1 , , xn ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 )（插值余项证明略） SCHOOL OF MATHEMATICS 72-30 注：牛顿插值公式的另一种推导方法：f [ x] ? f [ x0 ] f [ x0 , x] = x ? x0f ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x]( x ? x0 )f [ x0 , x] ? f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x] = x ? x1 f [ x0 , x] = f [ x0 , x1 ] + f [ x0 , x1 , x]( x ? x1 ) f ( x) = f ( x0 ) + f [ x1 , x0 ]( x ? x0 ) + f [ x1 , x0 , x]( x ? x0 )( x ? x1 )SCHOOL OF MATHEMATICS72-31 P129 例5.4.1 P120 例5.2.1 差商表：22.50.5?0.2 ?0.1 0.050.4 0.254p2 ( x) = 0.5 ? 0.2( x ? 2) + 0.05( x ? 2)( x ? 2.5) = 0.05 x 2 ? 0.425 x + 1.15SCHOOL OF MATHEMATICS72-32 P123 例5.3.1 差商表：?2 ?1 1 25?2 3 73 17?1?1p3 (1.05) ≈ 17.34494 21p3 ( x) = 5 ? 2( x + 2) + 3( x + 2)( x + 1) ? ( x + 2)( x + 1)( x ? 1) = ? x3 + x 2 + 8 x + 9P161 Ex5 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-33 定理5.4.2 若 f ( x) 在包含插值节点的区间[a, b] 上n阶可导， 存在介于 x0 , x1 , , xn 之间的 ξ , 使得 则f ( n ) (ξ ) f [ x0 , x1 , , xn ] = . n! f ( n ) (ξ1 ) ( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 ). 证： f ( x) ? Pn?1 ( x) = n! （ ξ1 介于 x0 , x1 , , xn ?1 , x 之间） f ( x) ? Pn?1 ( x) = f [ x0 , x1 , , xn ?1 , x]( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? xn ?1 ) f ( n ) (ξ1 ) , xn ?1 , x] = , 取 x = xn 即证！ n!SCHOOL OF MATHEMATICS 72-34则 f [ x0 , x1 , f [ x0 , x1 ,f ( n ) (ξ ) , xn ] = n!1例1. 若 f ( x) = x5 ? 2 x3 + 3, 则 f [0,1, 2,3, 4,5] =f [0,1, 2,3, 4,5, 6] =0..2例2. 若 f ( x) = 2 x5 ? 2 x3 + 3, 则 f [0,1, 2,3, 4,5] =f [0,1, 2,3, 4,5, 6] =0..SCHOOL OF MATHEMATICS72-35 例3． 7 的近似值. 求7 = 2.645751解：作函数 f ( x) = x , 取 x0=4, x1=9, x2=6.25 , x 4 9 6.25 f(x) 2 0.2 3 2.5 0.108 f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2]p2 ( x) = 2 + 0.2( x ? 4) ? 0.00808( x ? 4)( x ? 9) p2 (7) = 2 + 0.2(7 ? 4) ? 0.00808(7 ? 4)(7 ? 9) = 2.64848 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-36 第五节 Hermite 插值（法，）一、三次Hermite 插值多项式 二、三次Hermite 插值余 项SCHOOL OF MATHEMATICS72-37 埃尔米特（Charles Hermite，） 法国数学家， 巴黎综合工科学校毕业。曾任法兰西学院、巴黎高等师范学 校、巴黎大学教授。法兰西科学院院士。在函数论、高等代 数、微分方程等方面都有重要发现。1858年利用椭圆函数首 先得出五次方程的解。1873年证明了自然对数的底e的超越 性。在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念（表示某种对 称性）很多，如“埃尔米特二次型”、“埃尔米特算子”等。 埃尔米特生下来右脚就残障，需扶拐杖行走。 数学是他一生的至爱，但是数学考试是他一生的恶梦。不 过这无法改变他的伟大！他的一生证明了“一个不会考试的 人，仍然能有胜出的人生”！SCHOOL OF MATHEMATICS72-38 由于当时肢障者不得进入工科学系，埃尔米特只好转到文 学系。文学系里的数学已经容易很多了，但他还是不及格。 有趣的是，他同时在法国的数学研究期刊《纯数学与应用数 学杂志》发表《五次方方程式解的思索》，震惊了数学界。 在人类历史上，多少一流数学家埋首苦思四次方程以上到 n次方程的解法，始终不得其解。没想到三百年后，一个文 学系的学生，一个数学常考不及格的学生，竟然提出正确的 解法。二十四岁时，他以及格边缘的成绩大学毕业。由于不 会应付考试，无法继续升学，只好做个批改学生作业的助教。 这份助教工作，做了几乎二十五年，尽管他这二十五年中发 表了代数连分数理论、函数论、方程论……已经名满天下， 数学程度远超过当时所有大学的教授，但是不会考试，没有 高等学位的埃尔米特，只能继续批改学生作业…… SCHOOL OF MATHEMATICS 72-39 实际问题中不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值 也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度），甚至要求高阶导数也相 等，满足这种要求的插值多项式称Hermite插值多项式． 现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交通工具的外形时，参 照海豚的标本上已知点及已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚 的外形制成飞机、汽车等外形。一、三次Hermite 插值多项式已知 f(x) 在两个插值节点处的函数值和导数值： ′ ′ y0 = f ( x0 ), y1 = f ( x1 ); y0 = f ′( x0 ), y1 = f ′( x1 ), 求三次多项式 H(x)， 使其满足：′ ′ H ( x0 ) = y0 , H ( x1 ) = y1 ; H ′( x0 ) = y0 , H ′( x1 ) = y1 , SCHOOL OF MATHEMATICS 72-40 方法一、（基函数法） 构造三次埃尔米特插值多项式： ′ ′ H ( x ) = y0? 0 ( x ) + y1?1 ( x ) + y0ψ 0 ( x ) + y1ψ 1 ( x ) 满足： 函数值 x0 x1 导数值 x0 x1 0 0 1 0 0 0 0 172-41?0 ( x) ?1 ( x ) ψ 0 ( x) ψ 1( x)1 0 0 00 1 0 0SCHOOL OF MATHEMATICS ?0 ( x) = [a + b( x ? x0 )]( x ? x1 ) 2 设1 由 ?0 ( x0 ) = 1， 得 a = ( x0 ? x1 ) 2 2 ′ 再由 ?0 ( x0 ) = 0， 得 b = ? ， 所以 3 ( x0 ? x1 )? x ? x0 ? ? x ? x1 ? ?0 ( x) = ?1 + 2 ?? ? x 1 ? x0 ? ? x0 ? x1 ? ?2? x ? x1 ? ? x ? x0 ? 同理 ( x0 ? x1 ) ， ?1 ( x) = ?1 + 2 ?? ? x0 ? x1 ? ? x1 ? x0 ? ? SCHOOL OF MATHEMATICS272-42 ′ 由ψ 0 ( x0 ) = ψ 0 ( x1 ) = ψ 0 ( x1 ) = 0， 可令ψ 0 ( x) = c( x ? x0 )( x ? x1 ) 2′ 再由ψ 0 ( x０) = 1， 得 c =1 ( x0 ? x1 ) 22? x ? x1 ? ψ 0 ( x) = ( x ? x0 ) ? ? , ? x0 ? x1 ? ? x ? x0 ? 同理 ( x0 ? x1 ) ， ψ 1 ( x) = ( x ? x1 ) ? ? x1 ? x0 ? ? SCHOOL OF MATHEMATICS272-43 满足条件的三次埃尔米特插值多项式：′ ′ H ( x ) = y0? 0 ( x ) + y1?1 ( x ) + y0ψ 0 ( x ) + y1ψ 1 ( x )? ? x ? x1 ? x ? x0 ?? x ? x1 ? ′ = y0 ? 1 + 2 ?? ? + y0 ( x ? x0 ) ? ? + x 1 ? x0 ?? x0 ? x1 ? ? ? x0 ? x1 ? ? ? x ? x0 ? x ? x1 ?? x ? x0 ? ′ y1 ? 1 + 2 ?? ? + y1 ( x ? x1 ) ? ? x 0 ? x1 ?? x1 ? x0 ? x1 ? x0 ? ? ?2 2 2 2特别的，x0 = 0, x1 = 1 时， ′ H ( x ) = y0 (1 + 2 x )( x ? 1)2 + y0 x ( x ? 1)2 +′ y1 (3 ? 2 x ) x 2 + y1 ( x ? 1) x 2 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-44 方法二、（带重节点的Newton插值法） 构造带重节点的Newton差商表：x0x0f ( x0 )f ′( x0 ) f [ x0 , x0 ]f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 )f [ x0 , x0 , x1 ]x1x1f [ x0 , x1 ]f [ x0 , x0 , x1 , x1 ]f [ x0 , x1 , x1 ]f [ x1 , x1 ]f ′( x1 )H ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x ? x0 ) + f [ x0 , x0 , x1 ]( x ? x0 ) 2+ f [ x0 , x0 , x1 , x1 ]( x ? x0 ) 2 ( x ? x1 ) SCHOOL OF MATHEMATICS 72-45 P135 例5.5.1 P161 Ex8 P161 Ex9f ( x) ∈C 3 [a, b], 定理5.5.1 设 f(x) 在(a, b)内四阶可导， x0 , x1 ∈[a, b], 则对 ?x ∈[a, b], ?ξ ∈(a, b), 满足f (4) (ξ ) R( x) = f ( x) ? H( x) = ( x ? x0 )2( x ? x1 )2 4!推广P136 ~ P137SCHOOL OF MATHEMATICS 72-46 §5.6 分段多项式插值( Piecewise Polynomial Approximation ) 一、高次多项式插值的 Runge 现象 二、分段线性插值 三、分段三次 Hermite 插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-47 一、高次多项式插值的 Runge 现象对于多项式插值而言，随着插值节点个数的增 加，插值多项式的次数也会升高。 多项式函数的图像是上下震荡的，且震荡的幅 度不尽相同，不同区段的震荡密度也不一样。SCHOOL OF MATHEMATICS72-48 20世纪初，德国数学家Runge发现：高阶插值 多项式计算的结果在两端会发生激烈的震荡，与 原来的函数相距甚远…… “ Runge 现象” 结果表明： 并不是插值多项式的次数越高，插值的效果越 好，精度也不一定是随次数的提高而升高！SCHOOL OF MATHEMATICS72-49 1 在[-5, 5]上考察 f ( x) = 的 Lagrange 插值 2 1+ x 多项式 Ln(x):取2.5 210 xi = ?5 + i n (i = 0, ... , n)1.510.50-0.5 -5-4-3-2-1012345SCHOOL OF MATHEMATICS72-50 不同次数的 Lagrange 插值多项式的比较21.5n=10f ( x) =11 1 + x20.5n 越大，端点 附近抖动越大n=20n=6-0.5Runge现象n=4 n=8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1-1.5 -5分段低次插值72-51SCHOOL OF MATHEMATICS 二、分段线性插值( Piecewise Linear Interpolation )在每个区间 [ xi , xi +1 ] 上,用1 次多项式（直线）逼近 f ( x) : x ? xi +1 x ? xi f ( x) ≈ P ( x) = yi + yi +1， 1 xi ? xi +1 xi +1 ? xi其中 x ∈ [ xi , xi +1 ] 失去了原来函数的光滑性！SCHOOL OF MATHEMATICS72-52 分段线性插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-53 三、分段三次 Hermite 插值( Hermite piecewise polynomials )′ 给定 x 0 , ... , y0 , ... , y 0 , ... , y ′ n 在 [ x i , x i + 1 ] 上利用两点的 y 及 y' 构 造 3 次 Hermite 函数导数一般不易得到!SCHOOL OF MATHEMATICS72-54 分段三次Hermite插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-55 插值问题： 给定平面上 n+1 个不同的点，要求通 过这些点作一条光滑曲线.Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值 可能发生龙格现象！分段线性插值、分段Hermite 插值 需要节点处的函数值和导数值！ 虽然可以得到整体连续的函数，但在连接点处 一般不光滑（特别是高阶可导性）!SCHOOL OF MATHEMATICS72-56 §5.7 三次样条插值SCHOOL OF MATHEMATICS72-57 什么是样条？ ? 在船体、汽车或航天器的设计中，为描绘出 光滑的外形曲线（放样）所用的工具； ? 三次样条本质上是一段一段的三次多项式拼 合而成的组合曲线； ? 三次样条函数在拼接点处不仅是连续的，而 且一阶和二阶导数也是连续的； ? 1946年，Schoenberg 将样条引入数学，并给 出了严格的数学定义，即所谓的样条函数。72-58SCHOOL OF MATHEMATICS 定义：设 a = x0 & x1& xN & xN +1 = b 是 [a, b] 上的一组给定节点，若 s ( x) 满足： (1) s ( x) ∈ C 2 [a, b] ;(2) s ( x) 在 [ xi , xi +1 ] (i = 0,1,, N ) 上是三次多项式； , N + 1).(3) s ( xi ) = f ( xi ) = yi (i = 0,1,则称 s ( x) 为[a, b] 上的三次样条插值函数.( Cubic Spline Interpolating Function )注：共有 4N+2 个条件，4N+4 个待定系数！ SCHOOL OF MATHEMATICS 72-59 注： 要唯一确定三次样条函数，需补充2 个边界条件：(1) 第一类边界条件： s′(a ) = y0 , s′(b) = y′ +1 ; ′ N (2) 第二类边界条件： s′′(a ) = y0 , s′′(b) = y′′ +1 ; ′′ N（自然边界条件） （自然样条函数） (3) 第三类边界条件： （周期样条函数） s′(a ) = s′(b) , s′′(a ) = s′′(b) . （周期边界条件） SCHOOL OF MATHEMATICS 72-60特别的， s′′(a ) = s′′(b) = 0 ; 三次样条插值函数的推导： 设s′( xi ) = mi (i = 0,1, , N + 1)由 Hermite 插值公式（P134）可知， 当 x ∈ [ xi ?1 , xi ] 时，? ? x ? xi ? x ? xi ?1 ? ? x ? xi ? s( x) = ?1 + 2 ?? ? yi ?1 + ( x ? xi ?1 ) ? ? mi ?1 xi ? xi ?1 ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? x ? xi ?1 ? x ? xi ? ? x ? xi ?1 ? + ?1 + 2 ?? ? yi + ( x ? xi ) ? ? mi xi ?1 ? xi ? ? xi ? xi ?1 ? ? ? xi ? xi ?1 ? SCHOOL OF MATHEMATICS 72-612222 为了便于求导，形式上可化简为1 ? 2 s ( x) = 3 ( 2 x + xi ? 3 xi ?1 )( x ? xi ) yi ?1 hi ? + ( 3 xi ? xi ?1 ? 2 x )( x ? xi ?1 ) yi ? ?21 + 2 ? ( x ? xi ?1 )( x ? xi ) 2 mi ?1 + ( x ? xi ?1 ) 2 ( x ? xi )mi ? ? hi ?其中 hi = xi ? xi ?1 (i = 1, 2,, N + 1)., N + 1).72-62注：为了确定 s ( x) ， 只需确定 mi (i = 0,1, SCHOOL OF MATHEMATICS 注意到 s′′( xi ? 0) = s′′( xi + 0) (i = 1, 2,s′( x) = ? 6 ′′( x) = 3 ( 2 x ? xi ?1 ? xi ) ( yi ?1 ? yi ) s hi, N ),2 + 2 [ (3 x ? xi ?1 ? 2 xi ) mi ?1 + (3 x ? 2 xi ?1 ? xi ) mi ] hi故6 2 S ′′( xi ? 0) = 2 ( yi ?1 ? yi ) + (mi ?1 + 2mi ) hi hi 6 2 S ′′( xi + 0) = 2 ( yi +1 ? yi ) ? (2mi + mi +1 ) hi +1 hi +1SCHOOL OF MATHEMATICS72-63 由 s′′( xi ? 0) = s′′( xi + 0) (i = 1, 2,, N ), 可得?1 ? yi +1 ? yi yi ? yi ?1 ? 1 1 ? 1 mi ?1 + 2 ? + mi +1 = 3 ? + ? mi + ? 2 2 hi hi +1 hi ? hi hi +1 ? ? hi +1 ?1 1 两边同除以 + 得 hi hi +1hi +1 hi mi ?1 + 2mi + mi +1 hi + hi +1 hi + hi +1 ? hi yi +1 ? yi hi +1 yi ? yi ?1 ? = 3? ? + ? ? hi +1 hi + hi +1 hi ? ? hi + hi +1 SCHOOL OF MATHEMATICS 72-64 hi +1 hi ，μ i = = 1 ? λi , 令 λi = hi + hi +1 hi + hi +1 ? yi +1 ? yi yi ? yi ?1 ? d i = 3 ? μi + λi ? hi +1 hi ? ?= 3 ( μi f [ xi , xi +1 ] + λi f [ xi ?1 , xi ])则λi mi ?1 + 2mi + μi mi +1 = di( i = 1, 2,,N)注：结合不同的边界条件，可得关于mi 的方程组. SCHOOL OF MATHEMATICS 72-65 (1) 第一类边界条件： m0 = y0 , mN +1 = y′ +1 ; ′ N?2 ? ? λ2 ? ? ? ? ? ? ?μ12μ2λN ?12λN′ ? ? m1 ? ? d1 ? λ1 y0 ? ?? ? ? ? m2 ? ? d2 ?? ? ?? ? ? ? ?? ?=? ? ?? ? ? ? μ N ?1 ? ? mN ?1 ? ? d N ?1 ? ?? ? ? m ? ? d ? μ y′ ? ? ? ? 2 ?? N ? ? N N n?注：关于 mi ( i=1, 2, …, N ) 的方程组. SCHOOL OF MATHEMATICS 72-66 (2) 第二类边界条件： s′′(a ) = y0 , s′′(b) = y′′ +1 ; ′′ N即6 2 ′′ y0 = 2 ( y1 ? y0 ) ? (2m0 + m1 ) h1 h1 y′′ +1 = N 6 h2 N +1( y N ? y N +1 ) +2 hN +1(mN + 2mN +1 )化简得y1 ? y0 1 ′′ 2m0 + m1 = 3 ? ? h1 y0 2 h1 y N +1 ? y N 1 + hN +1 y ′′ +1 mN + 2mN +1 = 3 ? N 2 hN +1SCHOOL OF MATHEMATICS72-67 化简得?2 ? ? λ1 ? ? ? ? ? ? ? 1 2μ1λN2 1y1 ? y0 1 ? ? ′′ ? 3? ? h1 y0 ? 2 h1 ? ? m0 ? ? ? ?? m ? ? ? d1 ?? 1 ? ? ? ? ?? ? ? = ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? mN ? dN μN ? ? ? ? ?? ? ? ? y ?y ? 2 ? ? mN +1 ? 1 N +1 N + hN +1 y′′ +1 ? ? 3? N ? ? 2 hN +1 ? ?注：关于 mi ( i=0, 1, …, N+1 ) 的方程组. SCHOOL OF MATHEMATICS 72-68 (3) 第三类边界条件： m0 = mN +1 , s′′(a ) = s′′(b) .6 2 ( y N ? y N +1 ) + ( mN + 2mN +1 ) = 2 ( y1 ? y0 ) ? (2m0 + m1 ) 2 hN +1 hN +1 h1 h1 mN ? 1 m1 3( y1 ? y0 ) 3( y N ? y N +1 ) 1 ? +? + = + ? 2mN +1 + 2 2 hN +1 ? h1 hN +1 ? h1 h1 hN +1 6 2λN +1hN +1 h1 mN + 2mN +1 + m1 h1 + hN +1 h1 + hN +1? hN +1 y1 ? y0 y N ? y N +1 ? h1 = 3? ? + ? ? h1 h1 + hN +1 hN +1 ? d N +1 ? h1 + hN +1SCHOOL OF MATHEMATICS 72-69μ N +1 化简得? 2 ? ? λ2 ? ? ? ? ? ?μ ? N +1μ12μ2λN2λN +1?? ? ? ? m2 ? ? d 2 ? ?? ?? ? ? ? ?? ?=? ? ?? ? ? ? μ N ? ? mN ? ? d N ? ?? ? ? ? ?? m ? ? d ? 2 ? ? N +1 ? ? N +1 ?λ1 ? ? m1 ? ? d1 ?注：关于 mi ( i =1, 2, …, N+1 ) 的方程组. SCHOOL OF MATHEMATICS 72-70 C 对应不同的边界条件，只要求出相应线性方 程组的解，便得到三次样条函数在各子区间 [xi-1, xi] 上的表达式. C 由于三个方程组的系数矩阵都是严格对角占 优矩阵，所以都有唯一解，前两个方程组均 可用追赶法求解，第三个方程组可用 LU 分 解法或 Gauss 消元法求解.SCHOOL OF MATHEMATICS72-71 P146 例5.7.1 （略） P162 Ex10 解：根据三次自然样条函数条件，有′ ′ ?6 x 2 ? 3, ? s? (1) = s+ (1), s′( x ) = ? ? ′′ ′′ 3a ( x ? 1) 2 + 2b( x ? 1) + c, ? s? (1) = s+ (1), ? ? s′′(2) = 0. ? ?12 x, ? + s′′( x) = ? s (1 ) = s (1 ), ?6a ( x ? 1) + 2b, s′′(0) = 0. ?c = 3, 即 ?3 = c , ? ? ? ?b = 6, ?12 = 2b, ?6a + 2b = 0. ? a = ?2. ? ? SCHOOL OF MATHEMATICS0 ≤ x & 1, 1 ≤ x & 2,0 ≤ x & 1, 1 ≤ x & 2,72-72
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第5 章 插值法 5.1 实验目的 了解插值问题及其适用的场合,理解并掌握常用的插值算法的构造和计算,了解差商概念、Runge 现象及 样条插值方法,学习用计算机求近似函...第五章 插值法 59页 2财富值 第二章 插值法 7页 免费 样条插值法 69页 免费 第2章 插值法1 34页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功...双线性插值算法 10页 免费 第五章 常用插值算法 6页 免费 插值算法汇总 26页...插值算法简介: 一 插值算法简介 1:插值的涵义 插值的涵义: 插值的涵义在离散...第五章 插值法 59页 2财富值 第二章 插值法 7页 免费 样条插值法 69页 免费 第2章 插值法1 34页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功...第5章 插值法 110页 免费 第2章 插值法 19页 5财富值 第五章 插值法 59页 2财富值 第二章 插值法 7页 免费 样条插值法 69页 免费 第2章 插值法1 ...第五章 代数插值? 在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中,相当一部分是通过...在用插值法寻求近似函数的过程中,根据所讨论问题的特点,对简单函数的 类型可有...第5章 插值法 110页 免费 第2章 插值法 19页 2下载券 第五章 插值法 59...插值法一、题目 求f ( x) = 2 x 4 在[0,4]上按5个等矩插值基点确定...第5章 插值法 110页 免费 第2章 插值法 19页 5财富值 第五章 插值法 59页 2财富值 第二章 插值法 7页 免费 样条插值法 69页 免费 第2章 插值法1 ...第5章 插值法 110页 免费 第2章 插值法 19页 5财富值 第五章 插值法 59页 2财富值 第二章 插值法 7页 免费 样条插值法 69页 免费 第2章 插值法1 ...插值法 5页 2财富值 插值法 2页 免费 第六章 插值法 41页 1财富值 第5章 插值法 110页 免费 第2章 插值法 19页 5财富值 第五章 插值法 59页 2财富...
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