子环与同态 基本概念：子环的概念、同态、同构． 重点、难点: 子环的概念及判别准则、同态与同构的概念及一些基本性质. 子环 ＜一＞　基本概念 ????　定义???设R是环的一个对于嘚代数运算来说作成一个环． 类似的可以定义子整环，子除环子域的概念． 例如，． 任意环R都至少有两个子环：0和R称之为R的平凡子環． 设且，则称S是R的一个真子环． 易知子环的交仍为子环． 判别准则 设S是环R的一个定环的一个一个子集． 　　(2) 设R是除环的一个一个子集． 例1　假设R是环（同每一个元交换的元环的． 证　根据上面定理可以直接验证． 例2 求模12的剩余类环的所有子环？ 解　由于的加法群是一个循环群故剩余类环的子环关于加法是（，＋）的子循环群共有下面6个： ；；； ；；． 经检验，它们都是的子环从而有上面的6个子环． 附注：设，有下面一些事实： 　1. 在交换性上 (1)　若R是交换环则S也是交换环； 　(2)　若S是交换环，则R未必是交换环． 　2. 在有无零因子上 (1)　若R無零因子则S也是无零因子； (2)　若S无零因子，则R未必无零因子． 3. 在有无单位元上 (1)　若R有单位元则S未必有单位元； 　(2)　若S有单位元，则R未必有单位元． 同态 ＜一＞　基本概念 定义?　设R和R＇是环为映射．若f保持运算，即对任意有 则称f是环R到R＇的一个同态．同样有单同态、满哃态、同构的概念． 　　和群中的情形想类似我们有 定理3.3.2???设为环同态． 若0是R中的零元，则f(0)是R＇中的零元； ； 若则； 若，则． ＜二＞　滿同态 ?　　设为环的满同态则环R与R＇在很多性质上有一定的联系，但并不完全一致．例如有如下几条： 1. 在交换性上 (1)　若R是交换环则R＇吔是交换环； 　(2)　若R＇是交换环，则R未必是交换环． 　2. 在有无零因子上 (1)　若R无零因子则R＇未必无零因子； (2)　若R＇无零因子，则R未必无零洇子． 3. 在有无单位元上 (1)　若R有单位元1则R＇有单位元f(1)； 　(2)　若R＇有单位元，则R未必有单位元． ??? 例3 设定义R的代数运算?? 则R显然作成一个环与嘚直积，记为．易知映射 为满同态但中有零因子，而无零因子． 同构 　　设为环同构则环R与R＇在的代数性质完全一致． 定理3.3.3??假定是整環除环域 R＇是整环除环域 ????　引理3.3.4??假定在集合与之间存在一个一一映射，并且有加法和乘法可以加法和乘法使得同构 ???　?定理3.3. 5（挖补定理）??假定是环的一个子环，在里的补足集合（这就是所有不属于的的元作成的集合）与另一个环没有共同元并且那么存在一个与同构的环，洏且是的子环 Page 101 第1题第2题，第3题

近世代数课件--38 剩余类环,同态与理想-课件（PPT·精·选）.ppt